В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 21
Текст из файла (страница 21)
21.9. Найти решение уравнения 1 х(г) — Х ) К (ь, С) х(С) Й = С (г), о в пространстве Ыа, Ы, если: а) С(г)=г, г(С вЂ” 1) при О~а~ С~1, К (г, С) =- С(г — 1) при 0(С~о< 1; б) /(г) = сов лг, [(г+ 1) С при 0«, г ( С(1, К(ь', С) = [(С + 1) г при 0 ~ С ( г ~ 1. 21ЛО. Рассмотрим линейное дифференциальное урав- нение —, + а,(С) —, + ... + а„(С) у = г'(С) (о) с непрерывными коэффициентами аь(С) (Ь = 1, 2... и) и начальными условиями Сс(0) = с„у (0) с„ , р" '(0) =с„,.
а) Доказать, что для любой непрерывнои функции фх) справедлива формула ах ~ бх... ~ ср (х) СС = — „,, ~ (* — $)' 'Ч (ь) 4. о о б) Полагая г/"??Я/" .=- х(/) и используя рсзултлзт пРеДыДУЩего пУп1,1а, Доглылттч ыо УРевненпо (х) с Уштон начальных условпй равносильно уравпс1ппо Вольшрре 2-го рода х(') ( К(" ?) г(П с-/ - /(ч), о где ?г <- — й" ' (е~ — - О! ы 7(г) = Г(з) — с,1 1а1(1) — (с„гг /- се з) а1(г) — ... ° "-(- и— Я ь-1 ' (и О) + + етг + со/а., (г). 21.11.
Используя преооразовашю Лапласа, рсшпть уравнение (г) — ~ К (. — /) Я « = Пз), О если: а) К(г) =е-1', /(г) =1+ г; б) К(з) в1пз, /(г) =г; в) К(г) =2сог1, /(з) =е', г) К(з) 1, /(г) =- сов г. 21.12. Для пптегралы1ого уравнения ь х (з) — ~ К'(г, /) х (/) г// = / (з), где ядро К(з, г) непрерывно прп а -.-. з, г -- Ь, /(з) се С(а, Ь), рассмотрим разбиение о1резка (а, Ь): з1 =- а, г, = а + /1,..., г„,,= а+ 2и?ц Ь = —, Я Тогда равенства ь х (зз) — ~ К (гю /) х (?) с?/ = / (з„~, ?' .=- 1, 2,, 2и + 1, а являются точнызш.
С поношт,ю формулы Симпсона заменни пх на п)шолпжепные 1>< Ь1 х(зь) — ~, .4,„К(г„, з,„) х(з„,) = ~(г1), /'=.1, 2, ..., 2и+1, т 1 420 где Л, =- Л, — /1?З, Л„-. Л, =... -,41 — 4Ь?3, Л,- Аь =... = Л„,, 2/1?З. Полученная система лннейпых алгебрапческпх уравнений относнтельно ненавестных х(г.) (ги 1, 2, ..., 2и+1) монет быть решена чпслепно; в итоге получаем прпблпженные аначенпя решеппя походного уравншп1я в точках разбненпя.
Составпть и реализовать на ЭВ51 «лгорнтм чпсленпого решения данного нптегрального уравнонпя прн и 5, и = 10, и 15 и сравнить полученные прнблнження, еслн. а) а=О, Ь 1, К(г, /) гсозз/, /(г) =1 — в!па) б) а О, Ь 1, К?г, П г(е" — 1), /(г) =е' — г — 2; в) а=О, Ь и, /(г) в1пз, г(н (г+ — ")ггп(? — -'") пРн 0 =г~/-~п' 4/' ~ 4? ч;и (/+ "") з),1(г — — 'и) прн 0 1(а~и; 4/ '1 4? К(г, /) = г) а= — 1, Ь = 1, К(г, /) = 1,125г'+ 1,1251' — З,З75г'Р— — 1,5г/ — 1,875, /(г) = г; д) а -1, Ь = 1, К(г, /) — 1,125з' — 1,125/1+ + и7531?1+ 1,5г/+ 1,Я75, Дз) = г. 21.13.
Пусть ядро и правая часть уравнения (6) удовлетворяют следующяя услевпям: 1) фувкцнн К(г, /), К,(г,/) непрерывны в осластп а~1~/(Ь; 2) ХПз, з) чь 0 для всех з; 3) /(з) еС'[а, Ь), /(0) О. Доказать, что уравнение (б) равноспльпо уравненшо Вольтерра 2-го рода 1 ГЛ,( ?) /'(1) .и+ ) — х(?)В= —, А (1, 1) /1 Рь1) а ,и, следовательно, имеет в интервале (а, Ь) единственное непрерьгвпое рсшеппс. 21Л4, Сугцествует лн в классе непрерывных функций решение уравнеппя в 1 (/ — г): (/) г// — ? (г), о еслп: а) /(з) — соз г, б) /(г) з1п г; в) /(г) = еш' г, 121 н уравпенпе (ч») гдв К (г, !) = при Оя, г(г 1.
6(г, !) = !22 !23 21А5. Использ я п у реобразованне Лапласа, в простран. стае (а, Ы найтп решение уравнения ) К(г — !) х(!) Й = !(г), ю еслн: а) К(г) = соа г, !(г) = з!и г; б) К(г) соз г, Дг) = г тйп г; в) К(з) -соз г, )!г) -г+ г'! г) К(з) е', )(!) = г' д) К(г) з)п г, !(г) = 1 — соч г. 21.16. Рассмотрим оператор А: Е:.(О, 1) — Е!(О, 1] 1 Ах(г) = ) е !,т (!) о!! а Ах=). 1) Доказать, что А" = А я 1 А«Ах (г) — ) К (г, !) х(!) !)г, о -г!.в . '! е — 'е »-! — + (! — г+1) е при 0(г(г(1, -8 — ! — 2+г->! + (г !+ 1)е! ! 2) Найти А"!'= А/ н прп и = 1; 0,1; 0 01; 0 001 п и 10 методом, описанным в задаче 21.!2, численно шить уравнение (7), если: численно рея) )(г) 2г+е ' — 2е' '; б) г(г) е'(1 — г) + зй г; в)Дг) 2 — в' — е''; ) Л ) = Ч(2 + 1) -'- '-'1 ч) д Доказать, что если 1(г) ~С-'(О, 1) и у авнение («ч)! редгольма 2-го рода 1 ! Г (г) — 2 )Ге ' пх(!) А! = — — ', Пг).
Исиолы! я )и.!! !ь!а!ы з«лечи 2!.6 д) п утверждснпе пульта 3), дш;азаты ч!о уравнение (»») не имеет решения при )(г) --=. аг )- Ь, аб Ф О. 5) При )(г) г, и = 1; 0,1; 0,01; 0,001 и п 10 методом, описанным в задаче 2!.!2, численно решнть уравненпе (7) п объясяигь подучештые результаты. 2 22. Неограниченные операторы в гпльбертовом пространстве В комплексном гпльбертовом пространстве Н рассмот- рим линейный оператор А с плотной в Н ооластью опре- деления Р(А), Пусть .4* — сопря,кеяный к А оператор. Оператор А называется сизтетрическив, если Р(А») ~ РО!) н на Р(А) выполняется равеле!во А*х .4х Опе- ратор А называется салосопрягкенным, если Р(А") Р(А) н на Р(А) выполняется равенство Ачх Ах.
Та- кпм образом, как для симметрпческого, так н для само- сопряженного оператора при любых х, уыР(А) справед- ливо равенство (Ах, у) (х, Ау). Симметрический оператор А называется неотрицатель- ным, если (Ах, х) ~ 0 для любого х !и Р(А). Оператор (); Е,(а, Ы вЂ” Й!(а, Ы, (7 (!) = — ~ ( р (!) — ~ + д (!) х (!) с областью определения Р(Ю, состоящей пз дважды не- прерывно днфференцкруемых на (а, Ы функций хО), удовлетворяющих граничным условиям агх (а) — агх' (а) = О, и', + агг ~ О, (),. (Ь) — бгх (Ь) = О, 6! + 61 ~ О, называется оператором гг!тург!а — Лиувилля. Прп этом предполагается, что рО) ы С'(а, Ь) н не обращается в нуль на [а, Ы, ц(Ю ы (а, Ь).
Теорема 22.1. Оператор 1! — сика!етрический в про- странстве Яа, Ь). Функцией Грина для оператора У нааывается функ- ция и(г) г(!) прн а(г(~г(Ь! о — и(!) г(г) при а(!(г(Ь где п(Е) и е(Е) — веи)лг вь! г!, — еи)лг шзе Ргш, ния ) Рненсвиз ( х =- Сс, удовлетворяющие соо!'гетств» 1 всо соч ,ос!со .! Рзоч! и всо сои, гс! ~ х 7 ивеет адис!отвея!!ее !!сисе!с!се х(е) гиЕс(Е', яяегвое раеенстеазс е ), онреае- ь х(с) =- ! С(е, Е) С(Е,'.!Е.
22.1. В пространстве ',(О, 1) а .. Расстсогриз! оп! ратор х сооластью определения Е)(А), состоя ей из функций хИ) таких, что х(Е ш С!с,О, 1) и овлет ет граничным условиям х(0) = х(!) = 222 Ч .. Доказать, что опера!о ! зз, а отрпцательпых|. г; 1 зада ш 22.! является не- 2 .3. В пространстве Е!(сс, Ь! 22.3. х'Е' = Е , а, рассмотрим оператор состоящей ( ) = ~ с ооластью определения ЕС(А) пз абсолютно непрерывных пз . р р сых функций х(Е) таких, ч'со р щих граничным условиям г а,, п удовлетво яю и.
снпй, ио не самосопр . й. Доказать, что операто А 22.4. осопряткепвый. р симметриче- 2.4. В пространстве Е,(-с ) Ах(Е) Ех(Е) о б — ) рассмотрим оператор о о ластью определения, состоя 'е" функцсш х(Е), для которых ЕхИ) елЕ,(— — р жеииый оператор. ора е выполняется соотношение ГЛ(А))х = ерио ли в з — Л(.4*) 7 в атом случае соотиошени ( с(А))ь— аз х . е 22.6.
Д .. Доказать, что снимет вч .. Д, . р еский оператор А, для есть оператор сах'осоир"и!авив'н. усть А,  — симметрические опе ато ы с — етрический опе)затор. 28.Пст А— 2,8. у ь А — симметрический опе ато е з ч и" Л(А) " В Д -.. Пусть АснЖ(Н) — ограниченный ь вьш !!оратор п оператор 1 !24 ратор с ограиичепвый вли неогра- ничеввый) сув(естз) ст. Доказать, !го А ' — сасгосопря- женпый озе)се!!о(ь 22.10.
Доказассе что сгсбгсгвеивые звачоипя симметри- ческого оператора вещее веввы, а сооствсввыо векторы, прппадлсгасцве 1ззлсгсссыс! со~.гвешпш! в!ашикам, ортогонч ч ь'! ' ! 22.1!. Пусть А — симметрический операт~р. Доказать, что след) ющпс утвер ьдеиия зквиваловтаы; а! А — сассосовряшеи; б) А — замкну! в:"сг(Ае х У) 0; в) Л(г! — с1) = В. 22.12.
1-'ассзсотрсгс! уравнение р,(Е)х" + р,(Пх' + р,(Е)х = гг(Е), где р.(Е) !вС'(а, Ы и ве обращается в пуль на (а, Ы, а функции р,(с), Ес.(Е), с((Е) непрерывны па (а, Ы. Дока- вать, что прп ус;ио пеппи ооспх частеи етого уравнения на !' Есс (с) — г, (с) — о 3 р,(с) оно сводспгя к виду Ух 22.13.
Доказать, что собствешюе подпростравство оператора Штурма †.'1пувплля, соотьетствующее данному собственному аиачеивю, одномерно. 22.14. Найти функцию Грина для оператора У прп данных граничных условиях; а) Гх — х", х(0) х(1) = О; б) Гх — х", х'(0) х(0), х'(!)+х(1) 0; в) Гх — х" — х, х(0) х(л) =-0; г) !'х — х" +х, х(0) х(1) =0; дс Г.с = — х " + х, х(0) х'гО), х (1) + 7х'(1) = О, "! ш П. 22.!5. Свестп к интегральному уравнению в пространстве Е,(0, 1) нахогкденпе решения данного диффоренциалы|ого уравнения при данных граничных условияхи а) — (1+ Е')х" — 2сх'+).х О, х(0) =х'(1) =0; б) — х" +),х = Е(с), х(0) -2х'(О), х(1) =0; ь) — х" + )х = Е(Е), х(0) + х'(0) О, х(1) О. 22.16. Пусть во!оду иа (а„Ь) РВ) ) О, д(Е) > О, а, ~ О, сс,> О, !), > О, Д, ~ О.
Доказать, что для оператора Штурма — Лиувилля существует функция Грссна, если выполняется хотя бы одно вз следующих условий! а) сг(с) чв 0; б) сс! ФО; в) ~, чь О. 22 17. Доказать, что в предголожениях предыдущей задачи: 125 127 тельным; а) оператор Штурма — Лиувплля лвллет — лвллется псотрпцаб) мио;ие т '' с во собсгвсииых зпагеиий оиграго а Шт ма — Лиуеилля пеи сг, — г у го, ие более чем счетно п пе нмоег ра тур- конечггых предельных точек; в) система собственных функций опепатора Штурма— Ляувплля плотна в пространстве Та(а, 6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
