В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 25
Текст из файла (страница 25)
а) С помощью принципа сжимающих отображений доказать, что в шаре ]]х]((~го оператор Ф имеет единственную неподвижную точку. 1с] в. х тооноснн и хо 144 б) С помощью пршппша РНаудсра доказать, что в шаре зх( ( т* оператор Ф имеет ио крайней мере одну неподвижную то и;у, $25. Неявные операторы Пусть Х, У, Л вЂ” бана;оеы про< ~рансзнсп Х р Л вЂ” прямая сумма пространств Х и Л. Уравнение г(х, ).) =-О, где Е: Х т Л 1, може1 определять решения х = х(Е), каждое из которых называется неявныл операторол (неявной функцией), определяемым исходным уравнением. Теорема 25.1. Пусть оператор Е(х, й) непрерывна дифференцируеч в окрестности точки (х,„)„,), Пусть, далее, Е(х„, ).,) = О.
а оператор Е„(х„,, ),„) непрерывно обратил. Тогда найдутся посла р > 0 и т ) 0 такие, что для кахсдого й ш Я,().,) ураенение Е(х, )„) 0 илеет в шаре 5,(х,) единственное решение х = х(й). При зтол х().,) х„неявная функция х(й) диффергнцируела г Я,(х„) и х ( й ) Е 1 ( х ( Е ) ) ) Е ( х ( й ) й ) В частности, х' (й,) = — Е, (х,.
5,) Г; (х,. 5„). Теорема 25.2. Ес.ш г условиях теорелы 25.1 оператор Е(х, ).) аналитичен в точке (х„й,), то неявный оператор х(7.) такзке аполитичен в точке ).„, т. е. в нгкоторол шаре з), — ).„'~ ( р (р и. 0) представи.ч аосолютно и раенолерно сходящился рядол х (й) = ~ х, (), — ).„)'.
25.1. Проверить, что при х, ). ы Н уравнение; а) х'+ й" т 1 =-0 ие определяет ви одной неявной функции; б) х' + Х"- = 0 определяет едипственну|о неявную функцию х — = О, определенную только при й = 0; в) х — л' = 0 определяет единственную иеяентю функцию, определенную для любого ), ж Й: г) х'+)'=1 оиределнет две непрерывные неявные функцш| при й = ( — 1, 1); д) х — й'=0 определяет на Н две дифференцируемые неявные функции и четыре непрерывные функции. 25.2.
Доказать, что в пунктах г) и д) аадачп 25.1 существует бесконечное множество разрывных неявных функций. 146 25.3. Найти числа р и г, о которых говорится в формулировке теоремы 25.1, в пункте г) задачи 25,1, когда г хг+ )., = ! (х„Ф 0). Применима лп зта теорема в точках х,=О, 2==1? 25.тк Найти числа р п т, о которых говорится в формулировке теоремы 25.1, в пункте д) задачи 25.1, когда х, = ).„(х, Ф 0). Применима лп зта теорема в точке (О, 0)? 25.5. Переформулировать теоремы 25.1, 25.2 о неявных функциях для случаев: а) Х=Л= У=В; б) Х=У=Е" 25.6. Пусть Х = У = С(а, 51, Л = П. Переформулировать теоремы 25.1 и 25.2 о неявных операторах для интегрального оператора: а) Е (х, ),) ==- х (г) — ~ Е ((, г) ((г, х (г), ),) дг; а о) Г (х, й) = х(() — ) Л ((, г, х(г), й) Йг; в) Е (х, Е) = сР (х (Г),?, Е) — ~ ф (Г, г, х(1), х (г), й) аг, 25.7.
Доказать, что интегральное уравнение х (Г) = — ' ~ а!п г (х (г) з1п г -1- х (г)) дг о имеет при ). = й„= 1 решение х„(Г) = вш й 1!айти непрерывное ио ((, й) решение злого уравнения х(г, к) такое, что х(й 1) = е(пй 25.8. Найти все неявные функции, определяемые интегральным уравнением задачи 25.7. 25.9. Рассмотрим крневую задачу для нелинейного обыкновенного диффсрешшальпого уравнении 2-го порядка с малым параметром х" +)(Г, х, х',.) =О, О=-Г 1 х(О) =х(1) =О.
Предположим, что функция 1(й х, у, е) является достаточно гладкой ио совокупности своих переменных прн гж(О, 11, — аа(Х, у +~ч, )Е)~Е,. Пусть, далее, прп е = 0 зта задача имеет решение х,(г), 16" 147 причем линеарпзованная задача х' + 1„(г, х, (г), х„' (г), о) + 1, (,г,.г, (г)..г,' (г), О) з = О имеет только тривиальное решение "= — О.
1(слагая Х = — С'(О, 11, У = С(0, 1), Х = й, 1г(х, с) х" +1(г, х, х, е), переформулировать для данного случая теоремы 25.1, 25.2 о неявных фуигзциях. 25ЛО. Найти с точностью до 0(е-') решение краевой задачи х" +з!пх =за)гзлг, х(0) =х(1) =О. 25Л1.
Пусзь функция г((х), гр: й — й аналитична в окрестности о' точки а,. Рассмотрим уравнение х = а+ ш((х) с п цыметрами а ы5 п е ы ( — е„, е„). Доказать, что: а) существуют числа р)0 и г)О такие, что ири всех (а, е), удовлегворягощггх условиям 1а — а„! < р, 'г ~ < р, рассматриваеаше уравнение имеет на интервале )х — а,! <г единственное решение х=х(а, е); зто решение акали гичио по и, е и удовлетворяет условинз х(а„,О) =- =и„; о) для производных х(а, е) по е справедливы формулы Лапласа азх а'-' Г „,зхз — [г! (з) — '~, й ~ Х, из которых, в частности, следует, что за аз — з —, (гр (а)1; ш с=,з да в) для х(а, е) справедлива форчула Лагранн;а (, )=- ° + ' — „ы,, Г а()1 25.12.
Пошзуясь формулой Лагранжа пз задачи 25.11, док,шатчп чзо аналитическое при е = 0 раин иие уравне- ния йеплера (стг. задачу 24,8) Š— ев(пЕ= !1, 0<е -1, 143 вадаетс: рядом Е = )1 + ее!и.)1 + —,„г,ге(гз-'.)1+ Е н а'1- 1 + — — гйп,)1 + г ни" 25.!3. Сформулировать и реиипь задачу 25.11 для случая, когда гр — отображение комгглексяог! плоскости, а е и и — комплексные параметры. 25.14. Рассмотрич уравнение 1(х) = е, где функция 1(х) аналитична в точке х=О, 1(0) =О, 1'(О) з'-"О.
Это уравнение определяет в окрестности точки с =О единственнуго обратную функцию х=х(е), причем х(0) О, н зта функция аналитична в точке е = О. !(усть 1(х) = Х 1,. ", Ф(х) = Х.га'л-'. Ь=! а:-1 Доьазать, что обратная функция определяется рядом Лагранжа х (е) = 25Л5.
Пусть функция Г(х, ).), Г: Е'- й непрерывна вместе с частной ироизводион Е„(х, Л) в полосе а < Л ~ (б <х <+, и в этой полосе О < гя < Г„(х, Л) <.)1, где О < лг < М вЂ” постоянные, ие зависящие от т и ).. Дока- зать, что уравнение Е(х, Л) = О определяет в простран- стве С(а, (г) единственную неявную функцию х=х().). 25ЛИ. Пусть оператор Г(х, Л), Г: Е" г Е' Е" непре- рывен вместе с частной производной Г,(х, ).) в цилиндре хы Е", Ля Ю сЕ", где 6 — замкнутая ограниченная оо- ласть. Пусть для точек этого цилиндра выполняется не- равенство ягЧ~Р < (Г„(х, ).))г, А) ~ М!)грз, где 0 < гн < 51 — постоянные, не зависягцпе от х п Доказать, что уравнение Е(х, ).) = 0 определяет едиист- вешзыи неявный оператор х = х(Л), непрерывный на С. 25.17. Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка .ах — + ах гр(,т), О(г(+ оо, х(г з — — —.
гр, где а>0, функция гр(х) гзепрерывно дпфферепцпруема в окрестности Е точки х = О, а ее 5, гр(0) =- гр'(0) = О. До- !49 кааать, что зта задача экзпвзтснтнз пчгегратьяому уравнению х(г) = ае 'г + ~ е и 'с, (с(в)) сгв, о т. е. всякое решение аадачи Коши является решением интегрального уравнения и ооратно, всякое непрерывное решение интегрального уравнения непрерывно дифференцируемо па полуоси, удовлетворяет начальному условию и является решением дифференциального уравнения.
25.18. Запишем интегральное уравнение предыдущей задачи в виде х = Ф(а, х). С помощью теоремы о неявных операторах доказать, что при достато шо малых (а( интегральное уравнение имеет единственное малое решение х(г, а) — О прп а - О в пространстве С (см. задачу 7.31). Переформулировать полученное утверждение для задачи Коши пз 25.17. Глава 7 ;[НСКРЕТНЫЕ ПРПБЛНЛ(ЕНПЯ РЕШЕНПЙ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕН11Й э 26.
Приближенные и разностные схемы Для приближенного решения уравнения Ах = у с ли- нейным оператором А, действующим иа области опреде- ления Р(А) ~ Х в область значений Н(А) ~ У (Х, У— банаховы пространства), и правой частью у гн У рассмат- ривают последовательность приближенных уравнений А„х,. = у„(п гн л), называемую ггриб.гиакенной схелой с линенными операторами А„, действующими нз Р(А„) ~ с Х„в )7(А„) с У„и у, гн У„(Х„п ӄ— бзнаховы прост- ранства). Связь между пространствами Х и Х (У и У„) осуществляется линепными операторами Т„гн:и'(Х, Х„) (соответственно Т„сн 2' (1, У„)) такими, что Т„Х = Х„ .(Т'„1 = Уе), и назьтаемыми операгорали сужения. Последовательность Р„гн Х,„(п я Х), называется Т-схог йягг(еггся и элементу хюХ (записывают х„- х, и — ), еслгг)х„— Тех(Х вЂ” «О при п — . Если х„- х при ив "Л то говорят, что х„аппроксилирует х.
Аналогично опреде- ляется Т-сходгглосгь последовательности у„юУ„к элемен- ту у ы У. Есдн при некотором натуральном )с справедливо неравенство !)ха — Т„х'г-. ~с(х),'гг, "е то говорят, что х„аппраксимирует х с порядком )а Аналогично определяется порядок аппроксимации элемента у ги У последовательностью г)„ги У„. Говорят, что па решении х~ исходного уравнения выполнено условие аппроксилауии, если Т«хэ ы Р(А„) и при п- ,А,Т,;,—,, ~р О. В этом случае говорят также, что исходное уравнение аппроксилируегся на хв приближенной схемой.
Если, 151 Доказать, что прн ). 0 )(1 )(нт (((Т»Х,'(са = ~ ) )Х(Е) Р дЕ л» о откуда вытекает невырожденность сферпческпх норм в Л „. 26.8. Доказать неравенство 1/ ((Хл (Юб(~((Х» Есб1(~ т' 1~~хл)Л1тб („) хл -. х равномерно; т в) еслнха- х в среднем со скоростью(р„= о (=), т 1 т ~ )т л то хл- х равяомерно со скоростью )'и(р,. 26.11. П . Пусть хИ) — достаточно гладкая функция на (О, Л , а операторы суткення Т и пространства Х„заданы, как в аадаче 26.6.
Будет лн х» Т-сходпться к х и с каким порндком, еслп Е, 111п, 1=0, 1, 2, ..., и и: а) хл ~ ~ х(Е','О) + — х(тЕ(,"()) л 1 !1-1 (со 26.12. Пусть (,) — прямоуголкнпк: 0 ~х - 1, 0 < Е( О, С(Е))— — пространство непрерывных на () функций с нор- 1511 26.9. Последовательность х„(н Х называют Т-сходя- и)ейся к алементу х ю Х: а) в среднем, еслк ~(х» — Т„х(',ь — О, и - л; б) равнотчерно, если ((х» — Т„х1„„- О, и - л», Доказать, что пз равномерной Т-сходпмостп вытекает Т-сходпмость в среднем, но ооратное утверждение не- верно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
