В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Зададим Р. с)„, как в задаче 28Л7. П ачей 28.6, ользуясь за- дачей ., доказать, что для оператора А выполнено ус- ловие галеркинской аппроксимации. 28.19. П усть А А, + Ам где оператор А, определен в задаче 28.17, а оператор А, — в задаче 28.18. Польз ясь задачей 28.7 п ., проверить, что для оператора А выполнено — че .. ользуясь условие аппроксимации по Галеркину. 28.20. П усть А — дифференциальный оператор, оп е- деленный в задаче 28.17. реа) Доказать, что для любого х1нЮ(А) выполняется 1 (Ах,х) = ) х" (С) Й, з б) И спользуя аадачу 22.19, доказать, что для любого А выполняется неравенство (Ах, х) > я'(х, х).
у дачу 28.9, доказать что для оператора в) Использ я за А выполнено условие устойчивости. У 28.21. П сть А— — оператор, определенный в задаче сП) ~и. о 28.18, причем всюду па [О, 1] выполпяется неравенс тво . Доказать, что для оператора А выполпено с- ловно (Лх, х) > а(х, х), о ус- 28.22. Д 8.22. Доказать, что для оператора А = А, + А,, где А1 определен в задаче 28.17, а' А« — в задаче 28.21, чем а ) — я' 1 — в задаче ' ., прн- 28.23.
П вЂ” „выполнено условие устоичнвости. 8.23. Пусть функция УП) непрерывна на [О, 1]. Рас- смотрим краевую задачу -х" + с(С)х у, х(0) = х(1) = О. Пусть 1р« = 1у« = 12 з и), С (Ь,— [«]) а) Доказа ь Д . ть, что галеркипские прполп кения решения атой задачи имеют вид л х„(С) = 2~ $«р»(С) «=1 где козфф1щиенты з «1, $1, ..., $.
определяются из системы С 74 линейных уравнений « (Йя)'3«+ ~ сСД1 йю 1= 1, 2... и. 1=1 б) Найти выражения для с„и т), (С, й 1, 2, ..., и). 28.24. Пользуясь аадачами 28.17 — 28.23, проверить для краевой задачи 28.23 выполнение условий теоремы о схо- димости галеркинской схемы. Дать оценку скорости схо- димости галеркинского приближения к точному решению, 28.25.
Пусть А ш.9~ (Х, У), операторы С)„АР„непре- рывно обратимы и для и ш [«] выполняется неравенство ([(Р.АР„)-'[! ~ 7. а) Доказать, что галеркинское условие устойчивости выполнено. б) Пусть А непрерывно обратим, точное решение х является Р-предельной точкой, а )4 1 < с. Доказать, что условие галеркинской аппроксимации выполнено и что справедлива оценка [)х.
— х[! ~ 7с)!А)! ))Р„х — х)!. 28.26. Пусть У Х, А -1 — К, К ы Ы(Х), ()„=Р„. Предположим, что операторы 1„-Р„КР, где 1 — тож- дественный оператор в Р„Х, непрерывно обратимы, и для любого и ы М справедливо неравенство )]О 1 КРа) 1< 7. Доказать устойчивость галеркинской схемы. 28.27. В условиях предыдущей задачи пусть операто- ры 1 — К н 1 — Р„К (и ш Х) непрерывно обратимы и для любого иш ]«[ выполняется неравенство ])Р„К вЂ” К[! ~ о[)(1 — К) (! ', где о е (О, 1). Доказать устойчивость галеркинской схе- мы с ]( — СС)-'[! 1 — д 28.28. Пусть в условиях задачи 28.26 Р„К К пря и-, а Р„х- х прп и- . Доказать, что: а) для галеркинской схемы выполнены условия аплрокснмацпи и устойчивости; б) выполняется неравенство [!х„— х)! ( 7)!Р„х — х!!.
28.29. Пусть в условиях задачи 28.26 при и - < Р„К вЂ” К, Р.у — у. Доказать, что справедлива оценка ))х. — х( ~ 71Р„у — у!+ ()!(1 — К) '))]!Р.К вЂ” К))[)у)! 175 28,30, В пространстве 1,1[0, 11 рассмотрим интегральный оператор 1 Кх = ] К (с, 1) х ( ) "" о где К (г, г) = 4 — 41СОЗ Си+ ие Выберем в /„[О, 1] координатную слстему сре = )'2соз/сл? (/с ез ]тс) п построим проекторы и Р„х = ~ (х, срс) срс,, 1=1 Доказать, что Р„К К прп и— 28.31. В пространстве С [О, 1] рассмотрим интеграль- ное уравнение Фредгольма 2-го рада х (?) — ~ К (?, з) х (з) с]г = у (1).
о Выберем в Се[0, 1) координатную систему срс(1) (/с ю [т[). а) Выписать систему для вычисления коэффициентов галеркипского приближения. б) Для сл)чая, рассмотренного в задаче 28.30, дока- вать гсходкмос сь галеркпкской схемы. 28.3'. В прострапссве С[О, 1] рассмотрим интеграль- 2'3о В ное уравнение предыдущей задачи с у(с) сн С[0, 1] и яд- ром К(с, гс, непрерывным прп 0 ( г, г =.- 1. Положим о Р, т = ф,х = ~с ь,со, (с), е=-о где фуиишп со,(с) определены в задаче 27.8.
а) Выписать систему уравнении для определения коэффициентов 13„3, ... с„. б) Пусть шах ] К (С, з) [ =- й(1,2. Доказать, что с..иСе, С 2! при сс) — '., прпблп,с еппые уравнения однозначно разрешимы и галеркпнская схема тссоичпва. в) Доказать сходпмость галеркпкскоп схемы. 28.33. На отрезке [О, Л рассмотрим задачу Коши Ах х'+ с(с)х- у(с), х(0) - О с Р(А) ~Н'[О, Л вЂ” пространством функций пз Н'[О, Л, 1?6 удовлетворяющих начальному условию х(0) = О, и с Я(А) = 1.1[0, 1) (предполшается, что с(С) ~ С[0, Л), Для равномерной иа [О, Л сетки с шагом т введем проекторы Р„х = ~'., х (с,) о>, (с), о 4 = х [ ] ус ) е. с'с е'/е Ос е=1 С е-1 где а,(с) (с = О, 1, ..., и) — базпсссые функции подпространства линейных сплайнов (задача 27 8), а 6,(с) — характеристическая функция отрезка [с, „с,] (с = 1, 2, ...
..., и). а) Вычнслить (Аос,, 6,), (у, 6,) п выписать систему для определения коэффициентов о„еео ..., ц„галерксснского приближения х„== ~ $,ос,(1). б) Доказать, что прп т[~с"осе,п ( 1 существует единственное галеркппское приближение. в) Для исследования схадпмостп полол;пм г= х — х„. Доказать, что г есть решение задачи 1(ошп г'+с(с)г=/(с), г(0) =О, где /(с) си Се[0, Л п (/е/ = О.
Пользуясь эы!и, доказать, что если /сн /1[0, Л, то при т — О, а если /Й) еще и ограничена, то [] 1нцми — — 0(т'? при т- О. 5 29. Метод монотонных операторов Пусть Х вЂ” вещественное сепарабгюьное нормированное пространство, Х* — пространство, сопряскенное к Х, А: Х вЂ” Х* — нелнпепный оператор с Р(А) = Х и Н(А) ~ Х'. Оператор А называется .чоногон>сыас, если для любых х, у сиХ выполняется керавекшво <х — у, А(х) — А(у)> ~ ~ О. Если при х'Фу имеет место строгое неравенство, то оператор А называется строго шонотонныак Если же су- 12 В.
А. тренагии и зр. 177 ществует непрерывная п неотрицательная при 1 > 0 функция с(1) такая, что с(0) О, сИ) ~ 0 ирп П ) О, с(1)— прп 1 в и такая, что справедливо неравенство <х — у, А(х) — А(у)> ~ с(((х — у~О . ~(у — х(~, то оператор А называется сильно монотонным, Оператор А называется когрцитив>сым, если существует функция 7(1), вадаплая при П ~ 0 и стремящаяся к + при Г- +» такая, чго для любого хшХ выполняется неравенство <х, А(х)> ~ ~ 7(ПхП) . (~хП.
Оператор А нааывается делсинепрерывным в точке х, си Х, если из х. — х, по норме Х следует, что Л(х„) — А(х,) (и — ) слабо, т. е. <х, А(х„)> - <х, А(х,)> (и — ») для любого х ш Х. Теорема 29.1. Пусть оператор А отображает вещественное сепарабельное банахово пространство Х в иросгрансгво Хь сс является сильно лсонотонным и деминепрерывным. Тогда уравнение А(х) у имеет единственное решение х для любого у сн Хв. Для приближенного отыскания решения х в условиях теоремы 29Л применяется метод Галеркина. Пусть Х„ (и ш (П() — последовательность и-мерных надпространств (ч> ч в Х с базисом (срс )с>лс, предельно плотная в Х.
Галеркинское приближение хь Х ьс ц>с с с здесь разыскивается из системы уравнений (срьь">, А(х„)) = Орсэ">, у), й 1, 2,..., и. Теорема 29.2. В ус.совиях теоремы 29.1 при каждом п существует единственное галеркинское приближение х, точного решения х. Ври этом х — х (и — ) по норме пространства Х.
Если ПА(и) — А(о)(((КПи — оП в некотором шаре Е, содержащем все х„и х, то справедлива оценка скорости сходимости Пх„— хП си с-'(К)!1х — Р„хП, где с(1) — функция иэ определения сильной монотонности, а Р. — проектор на Х„. 29.1. Пусть оператор >(х), (; К вЂ” й удовлетворяет условию (х — у)Фх) — >(у)) ~ 0 для любых х, у сн й. Дока- вать, что П вЂ” монотонный оператор. 29.2. Пусть оператор Дх), >': К вЂ” й удовлетворяет условспо (х — у)(>(х) — П(у)) >а)х — у(' для любых х, у сий, 178 где а) 0 — постоянная. Доказать, что П вЂ” сильно монотонный оператор. 29.3. Доказать, что функция П(х) = х'+ х+ 1 (х ш К) определяет в К сильно монотоннный оператор.
29А. Пусть функция >(х), >: й — й днфферепцируема на й и 1*(х) > а на й, где а — постоянная. Доказать, что при а > 0 1 — монотонный оператор, а при а > 0 (в сильно монотонный оператор. 29.5. Пусть для всех х = (х,)'-, ~ Еь определен оператор Л: Е'- Е", А(.г) = Проверять, что еслл для лсобых х си Е" выполняется неравенство ~~с (х; — У,) (7,(х„..., хч) — ),(У„..., У„)) ~ )с ~ (х,— Ус(г, где с — постоянная, то прп с>0 оператор А(х) моното- нен, а прп с ) 0 — сильно монотонен. 29.6.
Рассмотрссм оператор Л(х) задачи 29.5 при Пс = 2. Пусть координатные функции >, и >, имеют всюду в Е' д(с частные производные — ' ((, )'=1, 2), прссчеьс.во всех точках Е' выполпясогся неравенства д(с д(, — с)а, >=1,2; — ' ((П, с -ь); с,)'=1,2, где а, 9 — постоянные. Доказать, что оператор Л(х) при (П( а является монотонным, а при 9 (а — строго монотонным с гй) = (а — р)П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
