В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Что можно утверждать о разрегпимостн этих уравнений; если А — вполне непрерывный операторг 30.21. Доказать, что пзопериметрнческая задача для функционала о гр (х) = ~ [ р (1) х'о + о (х) х'1 Й а при граничных условиях х(а) = х(Ы = 0 и условии ь 1 ор)Й=1, о где р(Н гиС'(а, Ы, р(1) « 0 на (а, Ы, о(1) и С(а, Ь), о(1) > ~ О на (а, Ь), равносильна задаче о собственных функциях оператора Штурма — Лиувилля. 5 31. Достаточные условия экстремума функционала Теорема 31Л.
)г усть функционал ц(х) дважды непреръгвно дифференцируем по Фреиге в окрестности Я точки х, банахова пространства Х и гр'(х,) =О. Если сугцестеует а) 0 такое, что для лпобого ЬыХ выполняется неравенство гр" (х )Ь' > а~)Ь~Р (цг" (хо))гг ~ -а~)Ь1г), то х, — точка локального лгинилгума (максилгума) гр(х). Ниже рассматривается вопрос о достаточных условиях экстремума функционала цг (х) = ) Р (1, х, х') Й (1) 'о о в пространстве С" (1о, 1г) (Ь ~ 0). Семейство кривых х х(1, С) (х ю С'(а, Ы ) образует собственное поле в заданной области, если через каждую точку (1, х) этой области проходит одна и только одна 13 о 195 кривая х(г, С) этого семейства.
Угловой коэффициент р(г, х) касательной к кривой семейства х(г, С), проходнщей через точку (г, х), называется наклоном поля в точке (г, х). Семейство крпзыт х = х(Г, С) образует центральное поле в заданной области, если кривые этого семейства покрывагот всю область, не пересеьаются в атой области и исходят нз одной точки (Го х,), лежащей вне заданной области. Точка (г„, х,) называется центрам пучка кривых. Собственное нлп центральное поле, образованное семейством экстремалей некоторой вариационной задачи, называется полем экстре.талей. Пусть кривая х = х(г) является экстремалью функционала (1).
Говорят, что экстремаль х = х(Г) включена в поле экстрвталей, если найдено семейство экстремалей х =х(г, С), образугощее поле, содержащее при некотором значении С=С, экстремаль х=х(г), причем эта зксгремаль не лежит па границе заданной области, в которой семейство х=х(г, С) образует поле, Если пучок зкстремалей с центром в точке Л(гп х,) в окрестности экстре- мали х = х(г), проходящей через ту я'е точку, образует поле, то тем самым найдено центральное иоле, включающее данную экстремаль х = х(Г), За параметр семейства в данном случае можно взять угловой коэффициент касательной к кривым пучка в точке Л(гэ, х„).
Для того чтобы на данной экстрепали функционала (1) достигался слабый минимум, необходимо выполнение условия Е„„эО во всех точках рассматриваемой экстремали (условне Г„„)0 называется условием Леасандра). Уравнение вида называется уравнением Якоби для функционала (1). Если существует решение уравнения Якоби, удовлетворяющее условию и(г,) = О, пе обращающееся в нуль нп в какой точке полупйтервала г, < г < го то дугу экстремали АВ, где А(г„х,), В(то х,), можно вктючпть в централыюе поле экстремалей с центром в точке А. Функцией Вейеригтрасса для функционала (1) называется функция .Е (г, х, р, х') = Г (г, х, х') — Е (7, х, р) — (х' — р) Е„(г, х, р), где р(г, х) — наклон экстремалей в точке (1, х). 196 Для достижения функционалом (1) слабого вкстремума иа кривой С достаточно выполнении следующих условий: 1) кривая С' является акстремалью; 2) экстремаль С может быть включена в поле экстре- малей; 3) функцггя Е(г, х, р, х') не меняет знака во всех точках (г, х), близких к точкам кривой С, и для х', близких к р(г, х).
Минимум реализуется в случае Е ~ О, максимум — в случае Е < О. Если наряду с условиями 1), 2) выполняется условие 3') функция Е(г, х, р, х') не меняет анака во всех точках (г, х), близких к точкам кривой С, и для произвольных аначений х, то на кривой С реализуется сильный вкстрвмум,минимум — в случае Е Э'0 и максимум— в случае Е < О. 31Л. Указать собственное и центральное поле зкстремалей функционала: а а) <р(х) = ~(х' + х') й, а)0; о б) ~р (х) ) ~х" — х' -)- гз + 4) й. в 31,2. Выяснить, включается ли зкстремаль данного функционала в поле экстремалей (собственное илн центральное): а) ~р(х)= ~(х'+ в1пэг) й х(0) =1, х(2) = 1 з б) ~р(х) = ) (х' + з(гР г) й, х(0) = 0> х(2) = 4; о 1 в) ~р(х) =- ~ х' ~21 — †, х') й, х ( — 1) = О, х (1) = 0,5; -1 т г) ~р (*) = ) (х" — 2гх) й, х (0) = х (1) = О.
о 1 д) ~р(х) = ) (2е'х+ х')й, х(0) 1, х(1) = в,' о а е) гр(х) =) (хз — х'~) й, х(0) = х(а) = О, а)0, ать г ~йл, )ген 1ч; )97 яа) ар(х) = ) (х' + га) й, х(О) =- 1, х(2) = 37 а 31,3. Выполнено лп условие Якоби для зкстремали фуньцпопала, проходящей через заданные точки; а а) 9(х)= ~ (х'+ га) й, х(0) = О, х(а) = 3, о 0; о а б) <р(х) = ) '(х" — 4х'+ е '1Й, х(0) =- х(а) = О, о а>'~, о чь я за+а а в) гр(х) = ~(х'о+ х'+ 1а) й, х(О) = х(а) = 0; о а г) гр (х) = ~ (х" — х"-) й, х (0) = х (а) = 0; а 1 д) р (х) = 1 (121х + х" + 1а) й, х ( — 1) = — 2, х (1) =0; -1 1 е) р(х) = р) ( 1 + ") а(г, х (О) = (1) = О; - о ж) ар(х) = ~ (х" — ха)й, х(О) = О, х(2ч) 1; о а 3) ар(х) = ~(х'+ 9х' — Зг) й, х(0) = х(1) = О? о 31,4.
Доказать, что если подынтегральная функция функционала (1) явно пе содержат х, то каждая зкстремаль может быть включена в поле акстремалей. 31.5. Проверпть выполнение условия Лежандра для зкстрсмали функционала, проходящей через заданные точки: о) р(х) = ) (х'+ х") й, х(О) = 1, х(2) = 5; о 1 6) гр(х) = ~ (Гах" + 12ха)й т( — 1) =1, х(1) =1; -1 1 в) ар(х) = ) (х' — хх')Й, *(0) = х(1) = 0; о а98 а г) ~р(х) = ~ х'й, х(О) = О, х(а) = Ь) О, а) 0; о 1 д) <р(~) = ) (~'а — хх')й, х(0) = х(1) = 0; о а е) (х) = ~ (бх'а — х'а + хх') й, х (0) = О, х (2) = 1; о 1 ж) ар(х) = ~хх'й, х(0) =- 3, х(1) = 3; а о з) ~р(х) = ~ — ', й, х(2) = 4, х(3) = 9; н),„(„) — ((гх' 2хх') й, х(1) = О, х(2) = 1. 1 31.6.
Исследовать на зкстремум функционалы: 1 а) ар(х) =1 (х™+ х') й, х(О) = О, х(1) = 2; а а 6) ар(х) = ~ Г+ 2х+ — х'о)Й, х(О) =х(1) = О; о Ф в) ар (х) = ~ (е' + 3 )й, х (О) = О, х (2) = 1; о г) ар (х) = ~ е'(ха + ~ х ) й, х (0) = 1, х (1) =- е; о х д) ар (х) = ) е"хм й, х (0) = О, х (1) = 1п 4; о е) гр(х) = ~ х'(1+ Рх')Й, х( — 1) =1 х(2) =1 -1 е а ж) ар(х) =~ —, Й, х(1) = 1, х(2)=-4; х' 1 а з) 9:(х) = ~ —,, х(0) = О, х(а) = Ь) О, а) 0„ 199 и) ц (х) = ) (1+ г) х'й[, х(0) = О, х (1) = 1; о 1 к) ц(х)= ) (х' +х')й1, х( — 1)= — 1, х(1)=3; -1 я'о л) с[ (х) = ( (4х — х' + 8х) йГ, х (О) = — 1 х ( 4) = 0' о гс) ср (х) = ) (!ох' — 12хо) й[, х (1) = 1, х (2) = 8; 1 е 'о н) ср(х) = ) (х' — х'+бхе!и2!)с!1, х(0) = 0 х(4) = 1 о г ~о! о) су(х) = 3 (! — е " ) Й, х (0) = О, х (2) = 1; о 1 п,о и) [(х) = ~ (х' —.
' ) 31, х (О) = х (!) = О. о 31.7. В пространстве С[0, 11 рассмотрим функционал г ц(х) = ) х'(! — х) й!. .а) Доказать, что едщгствениой зкстремалью с[(х) является х — О. б) Найтгг гусу в точке х = — 0 и убедиться, что ири любом приращении Л си С[0, 1] [3 за 0) выполняется неравенство суср > О. в) Убедиться, что в любой окрестности точки х~О ср(х) может принимать значения разных знаков и, следовательно, х — 0 не является точкой экстремума. 31.8. В пространстве (, для х = (х„ т„ ...)сн 1, рассмотрим функционал о=г о=г а) Доказатгч что в точке х, = (О, О, ...) бс[.(х„; Ь) =О.
б) Найти йоср в точке х, и убедиться, *по ири лгобом приращении Ь = (й„й„...) ~ !о [й то 0) выполняется неравенство йоср ) О. в) Убедиться, что в любой окрестности точки х, ср(х) гоо может принимать зиачсгсия разных знаков п, следовательно, точка х, ие яелясгтсгг точка г экстремума. 31.9. В вещественном сильбертовом пространстве П рассьгозрггзс функционал с[сх) =- ~х1-.
Используя теорему 31.1, доссазать, что с[сх) лести.ает минимума в точке х =-О. Я 32. Полуиепрерывные и выпуклые функционалы Вещественный функционал, определенный иа миоясестве М бапахова иросграисгва Х, гыгываетсн: выпукльыс, если М выпукло п для любыт х„х,~М и любого г сн [О, 1! выполняется неравенство срПх, + + [1 — !)х,) ( Гсг[х,) + (! — г)с[(хо); полуссепрерывньыс тгсгу, если из того, что х„- х, ирп п (х., х, я 31, гг ~ [ч'), следует, чго ср(хо) ~ ~ 1ии ср(х.); слаоо полунепрерыеныл снизу, если пз того, что х— х, (и — ) слабо [х,, х„юМ, пег М), следует, что ср(хо) ~ ~1сиг ср(х„), Теорема 32.1. Слабо полунепрерывный снизу функциона.ч, эадинный в рефлексивном банаховом пространстве Х, ограничен сгсгсэу и оостигает наименьшего значения на каждом ограниченном слабо гажкнутося [ограниченно.я замкнутом выпуклом) жножессее М: Х.
Теорема 32.2. Пусть функционал ср(х) дифференцируеж по Гата в каждой точке банахова пространства Х. Тогда с,седугогс!осе утверждения эквивалентны'. 1) ср(х) — выпуклый функцссогсал; 2) оператор ср'(х) лсонотонен; 3) для сиобых х, у сн Х выполнлетсл неравенство с!(у)- — ср(х) ) сг (х)[у — х). С л е д с т в и е. Всякий эаоанный всюду в банаховои пространстве дифференцнруелссай по Гаго выпуклый фунь'- с!ионал слабо полунепрерыеен снизу. 32.1. Пусть ц:(х) — линейный функционал на баиаховом пространстве Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
