В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Строгое заключение возможно, например, в пространстве аадачп 6.1. 6.9. Строгое включение 5,(х) с В((П) вою(окщо, если о < 2. 6.10. Эчлтл (л„! (л). ГЛАВА 2 7.2. Воой(пе говоря. пот. 7.4. Да. 7.12. а) — е] ! А(1 = 1. ж) 1!А !1 1Д3.з) '(1,(( = 1, и) 11.1:1 ~ 1, к) 1(А", = 1. л) 1(А(' ~ 2. м) [А(!с ~ 1. 7.13.
Нет. 1'ассмотрсть йос»(слова»ел(ность х„(() = (" (и (и Х). 714 Да,))Л(1 -1. 715. а)»((!)(нб[0 1) [)Л)1-11(([с!ел! 6) »Р(г) 'н ш С[0,1). 11 А 1(=- [6((с[„,). 7.18. Нет. Длл построения примера воспольаоваться задачеи 7.17. 7.20. б) Пет. Воспользоваться задачей 7Л2 л). 7.21. Пет. Постро((ть промер неограниченного оператора, для которого У = В. 7.23. Нет. Воспользоваться задачей 7.13.
7.24. Так как Л((Л) — надпространство, рассмотрим факторпространство Х(Л((А) и оператор л: Х вЂ” «Х1(((Л) (слг. аадачу 7.7). Оператор А определяет ваапмпо однозначный оператор А". Х,'Л'(А)-« -«К(Л) такой, что А = Л'л. Тек как А' взаимно однозначен п В(Л) конечномсрпо, то п Х/Х(Л) конечноперпо. Согласно задаче 7. !9, оператор А' непрерывен, согласно задаче 7.7. оператор я яепрерывен Тем самым, непрерывен н оператор А.
7.25. Нет. Гассмотреть оператор Л: Е -«Е, А( [-«[ (,7?8. Тогда и только тогда, ' ~р! ~0! ' когда ([(() не оорэща(тся в путь на [а, Ь). 7.29. а] Нет, так как возможно, что Л'(Л) ~ О. Гс.ш Е(Л) =- О, то пространство не обязано быть полным, так как оно пзомстрпчно Я(А), б) Да. В этой норме Х являетсл бапатоэым пространством.
730. б) ж(р[а [( и и ~+ оо, в] эпр[)о [с+ оо, 11 41) =зпр [Хо[. г) Нет д) Тогда п только о п тогда, когда 1п[ [Хл [) О. лаео 8.3. Вообще говоря, нет. Пример построить пля оператора А: Е'-«Е"-. 8Л. Вообще говоря, пот. Воспользоэатьсп задачей 7.12 д). 8о. Нет,.М молкет пс быль даже линейным лп(огообразпем. 86. Да. 8.9. а), б). Да. 8.11. Вообще гяворя, нет. В пространстве П рассмотреть А = 1 — тождестванному оператору, А„х = (.то хл, ..., .т пх„х,лл, ...) для х = (х(, хл,,) еэ !ь в качестве линейного многообразия рассмотреть инок»естес элементов пространства 1», у ьоторык лишь конечное число координат отлично от нуля. 8Л5.
д) С ростом л последовательпость 1[А„!(' растет, но медленно: !1А,1! = 2,07 11Ла!! - 2.35, 1!Ла[1 = 2,41, 1[Л(а[1 = 2,57. Поэтому вывод об ограниченности плп неограниченности последовательности 11.4„!1 по полученным результатам сделать труйно. В [111 доказывается, что послейоэательность 1)А !1 псограпичепа.
8Л6. д) С ростом п последователг.ность 1)А„)1 растет быстро: 1)Л,(( = 3,80, [)Ал[! = 4,75, 242 [Аз[1 = 7,60, ()А(а)! = 9,50, поэтому правдоподобно (и это доказано — слл. [11)), что последовательность )[А„(! нсогранпчена, 8.17, Нет. Рассмотреть последовательность операторов А»д 1,— )ь А„х = (О, ...,О, х„л, хо,...) о для х = (», хь ..) ш !л. 8.19. Поели"говательность Л сгодится н "л нулевому оператору равномерно, последовательпость  — сильно. 8.20. Последовательность Л сгодится к оператору А равномерно.
8.21. Последовательпостн А и В. сладите~ п оператору Л равномерно. 8.22. в) Нет. 8.28. а), б) Да. 8.31. е' = е!. 8МЗ, Нет, Для и ш [О, 1] положить 1 прп 1: и, Х„(!) = 0 прп 1)и и воспользоваться аадачамп 7.12 а) и 1.77. 8.34. Пусть у ш У, Су- ществует х, (и Х такое, что !!Лх, — у(( ( иэу1), ()х()1 ( 6;)у)!. Далее, существует х, лн Х такое, что (1Лх, — (Ах( — у]1( = 1(Л(х, — х )— — у(! с и))Ах( — 91! ( х'лу(1, 1!х»1( ~ и61!п)! л т. д. В итоге получа. ем последовательность х, лн Х таку(о, что ао » [х 1( 6,"(у(!'5',„о )у), о=1 п=о и ряд х( — хл+ хл — х, +...
сгодится к некоторому х (и Х: С дру/ и той стоРоны, А ~зл' ( — 1)" эх. -«У пРи л-«оо, и так как А— 1=1 непрерывный оператор, то Ах = у 8.35. Пусть х = и+ о, и (и Е. и (и л!1. Положим (,'х11( = 1!и(1 + 11г)! и дока,кем. что пространство Х пол(по относительно )! 11(. Нормы !( 11( и 1 (1» эквивалентны (сп. [25), с. 168, теорема 3). Это и означает ограппчепвость операто- ра Р. 8.36. Пусть Р— ограниченный оператор, удовлетворлюшпй условию Р' = Р. Положить Е = Л'(1 — Р), 11 = Л(Р] и доказать, что Х Ь лй М. 8.37.
Пусть Р ограничен и Р' = Р. Установить, что В(1 — Р) Л(Р) и В(Р) = Л(1 — Р), и воспользоваться задачей 72а, Обратно, если линейные л(ногообразил В(Р) и В(1 — Р) зам- кнуты, то доказать, что Х = В(Р) (В В(1 — Р) и что Р— оператор проектирования, после чего воспол(ьзоваться аадачей 8.35. 8.38. а) 1)А!! = [[В[! = 1. 6) Л' = А, В' = В; явля(отея. 8.39.
))Р)( = 1. 8.41. а) Ех с Е(А). 6) В(А) с 1,. в) Ь. [х — ипварпантпые подпро- странства для Л, т, е, лэ х(н Ь следует Лх ш Е, ив х ш У сле- дует Ах ев 1.х. 8,42, Пусть Š— залпзкание йп тогда оператор А мо- жет быть продоллксн ва Е с сохранением нормы по теореме 8,4. Пусть Р— оператор ортогонального проектирования на Ь. Поло- жим Вх А(рх] для хш И. Тогда  — продолкгение А с сохра- нением нормы. 8ЛЗ. Пусть Р— оператор проектирования на Б па- раллельно М. Оператор А (ы 2'(Х, У) представим в виде А = РА + -[- [1 — Р)А. 844. Неверно.
Пример привести длн случая Х=У=-Е'. $9 9.3. Да. Доказать, что М(А) = Е(В) = О. 9.4. Пусть (1 — А В] -' = С, Доказать, что (1 — ВА ) ' = 1+ ВСА. 9 5. Докааать, что А ' = — 1 — В. 9.8. Воспользоваться тсорсмой 9.!. 213 99. Оператор Л-' существует прп )« ~ 0 и ограни щи тогда п толь. ко тогда, когда ги1[й„[) О. 9!О.
Существуют операторы А, ' = В и В,т Л.ОЛ3. а) Н(А) — лвпейпое тсногообразтса непрерывно днфферессцируетсьст функций у(с], удовлетворлсащит уставшо у(О) =О„ б) Оператор Л-' существует, но пе осрзнпчеп. 9.И. 6) с А ту = у(с] — ] г~ у(т) Ыт о 1 9.!5. А ту = у (с) — у (з) ест Аз. е — ! с и а О 16.6) А 'у = ~ у (т) ып (с — т) Ат, о 9Л7. Да.
Пз равенства Ах = у вывестп, что уи- у = — 2х, аЛО. Положить В = 1 — А н воспользоваться теоремой НЗ. 9.20. Представить А — 21 в виде А — ).1= — й(! — й-сЛ) и воспользоваться теоремой 9.3. 9.22. Если для и я Н !! Л,, ' ]! С с, Лхх„= у, Лх = у, то ([х„— хС! = ~Аи гЛ„[х — «))С~(с[[Ах (х„— х) [[ =с[' А х — Ах+ Лх — А х„[! = и[ А„х — Ал,'~1-«О. Обратно, если х„-«х прп и -«оо, то последовательность хи = А,, ту ос Ганичева длл любого у сн У, и в силу теоремы 8.2 последовательность ! Л„г (! ограничена. 9.23. Пусть оператор Л непрерывна обратим.
Найдется Ас такое, что прп и ) ЛС !сА„Л ' — 1с! = !!Л„А ' — Ат1 'С! С 'сА, — А! Х )( !!Л '! ( 1(2. Далее воскользоватьсн теоремой 9Л. Прп доказательстве достаточности воспользоваться той же теоремой. 9.2гь Пусть АВ = 1, т. е. В =- Л„'. Гслп СУ(г!] Ф О, то для у и А'(А) положим С: 1! -«11, Сх = (х, у) у, Тос да С Ф О п В + С вЂ” У(В), при атом Л(В+ С) = 1, что противоречит единственности оператора В. $!О 10Л. Доказать, что А-' ев Ы(С[0, 1]) п воспользоваться теоремой 10.2. !0.2.
Нанти оператор Л ' и воспользовагьсл теоремаи 10.2. 10.3. Воспользоватьси вадачей ОЛ6 п теоремой 10.2. 1ОЛ. Согласно теореме 10.3 достаточно доказать, что Р замкнут. Замкнутость Р вытекает пз замкнутости б и М!. Ю.8. Нет. Подпространстсьо Ь с Х+ у элементов вида (О, у), где у я У, не является графиком никакого оператора. Ю.!О.
а) Нет. Воспользоваться прнмером нз вадачи 102. 6) Нет. Рассмотреть оператор А: С'[О, 1] - С[0, 1], Лх = х. 10.!2. Воспользоваться теоремой 9Л. !О.И. Воспользоватьсх теоремами 10.2 и 10.3. 10.15. Пусть оператор А замкнут и последовательность у„фундаментальна в !! (!«Тогда у„-«у в Х и Ау„-«й в У, в силу замкнутости у ~и В(А) п Лу = й. Отсюда !суи — у!!с = Оу — у]сх + !сАу, — Лу!ст -«О. Обратно, если В(А)— банатово, у« ~В(Л), у -«у, Ау -«й при л- оо, и так нас у„ фундаментальна в !! 1!с, то существует ! сн В(А) такое, что 214 (! „— Л, -«О прп и ои Так как с]е, — Д с !(ń— 7!]с.
то у„-«! в сюрче Х. сте,кюательпо, у = ! и с!Лу„— Лу(! — «О при и -«со. Отсюда й = Л1 --= Аьь ГЛАВА 3 откуда ь ь ь (и (с) — с]т Ас = ~ и (с) (и (с) — с) Ас — с $ (и (с) — с) Ас = О, и а и п так как и(с) — с — непрерывная па [и, й] функция, та и(С) = с, в) Пнтегрирув па частям, с учетом того, что х(С) я (и получаем Ь ьс' с ;го*и И- — ! [[ Ма]*'И~гм и и и ь Г „,>=.! .х — ].и)~ ~* и«. и и Паттону Согласно нупкту б) отсюда вытекает, что и (с) — ~ и(т) Ат =- и. и а зто и означает, что и(с] ы С'[и, Ь] и и'(с) = с (с), 1!.9. Воспо.ст« 215 11,1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
