В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Положить е = (О, О, ...,О, 1,0, О, ...) п доказать, что множество Ае, пе"л-' компактно. 16.22. Опредесшм последовательность операторов В„: Н -« Н равенствами Ае при л> ( и, и ш Н, В,е 0 прп т>0. Доказать, что  — вполне непрерывные операторы и что М ч>м !А — В„[[(~ ~ЧР ![Ае,[Р~ ' — О !. >=-ле> прп л ае, 16.23. Пусть х„ш Н вЂ” огранпченвал последовательн- остьь; тогдаА'Ах„схошыся, но [>Ах, — Ахе [9(2[х„[ч!Ачл „.
— А".4х )(-«О прп пл, л -«са. 16.24. Если А вполне непрерывен, е> то по теореме 16.3 оператор АА" вполне непрерывен, по А = =- (,1")*, позтоиу (А«)*А" вполне непрерывен, согласно задаче 16.23, А* вполне непрерывен. 1625. Воспользоваться теоремой 16.10 и тсоРемои 9.1. 16.26. Н ОН =- (> т! [Уа(О)] 16.27. Воспользоватьсл ч теоремой 16.4.
16.28. в] ~ б] совпадает с теорсмоп 16.4. б) э. а) очевидно. Докажем а) ~ б). Пусть х„- х (л — «со), слабо, тогда 223 у„=.'-.„- у = Аг при и ог слабо. поэтому (Ах„, у„) = (Ах„, Ах„) = (!.4х„с," -» (Ах, у) = (СЛх(с Такпч ооразотс, Лх„-» Лх (и -» се) слабо и 1Ах„(~ -» (сАх~!. Согласно д е !3.4,' Л ".— А . !6.29. а) . 6) А ."Я(Х, У) 11 если х, -»х (и-» га) слабо, та для (ез У» А»(ш Х» н <х„. А»1> = <Лх„, 1>-» <Ах, 1>, поэтому Ах„-»Ах (и-» ее) слабо.
6) м. в) Всякая сходящаягп последовательность являетсн слабо сходящейся. в) ". а) Пусть а) неверно; тогда существует последовательность х, щ Х, такая, чта х» -»О, по Ах„отделена от нуля прп и -» с~, Можно считать, что при всех и х„Ф О. Положим а, — х l)с «.~~; тогда [п.3 = ) ~~~,'! и и, — 0 при и -» ае, но Аа„= = Ах l)Чх ! неограппчена и, следовательно, не является слаоо сходящейся, что противоречит в).
16.30. Воспользоваться теоремой 15.6. 16.31. Воспользоваться задачей 13Л3. 16.32. Голи А вполне непрерывен, то утверждение вьпекает из теорем 16.5 н 16.4. Обратно, если У сепарабельпо, то всякое ограниченное множество в У» слабо компактно ([25], стр. 2!!), поэтому А', а следовательно и А, вполне непрерывен. 16.33. а) Воспользоваться тем, что 61 слабо нолспактно и слабо ааикнуто. б) Воспользоваться тем, что множество А (Я) бикомпактно. 16.35, а) Нет.
Рассмотреть оператор А: С [ — 1, 1] -».С [ — 1, 1], Ат(с) = ] х(т) с(т. о Тогда хз(с) = Ссс Ф А(Х,(0)), ио х„(с) = ) с" + 1(п'сп А(Хс(0)) и прп л аа х„(с) -»хг(с). б) Да. 1636. Множество А(Хс(0)) бпкочпактно согласно задаче !6 ЗП поэтому в нем существует элемент с наибольшей нормой. 16.37. а) Нет. б) Да. 16.38. Воспользоваться теоремой !6.9. 16.39. а), б] Только если Х конечномерно. в) Да. 16.40. Нет. 16.4!.
Талька если Х копечпомерно, 16.42. Нет. В пространстве С [О. л] рассматрпч оператор Лх(с) = х(с]юп с; тогда уравнение г — Аг = 0 лмеет только нулевое решение, но уравнение х(с)(1 — з!пс) у(с) пе имеет решения при у(с) пп1. 16.44. Применяя к обеим частягс уравпенпя ( — А)х р оператор В-', получаем уравнение 1 — В 'Ах = В-ср, где В 'А ш а(Х). 16.45. а) Уравненпе х — Ах = 0 имеет только нулевое решение. б) (7 — А) су(с) < у(с)+с!~у(т)г тест. о !О.сс8. а) Предполовгпм, чта последовательность Л(А') строга убывает.
По ление о почти перкендш;уляре ([25], стр. 35) для любого й ш Н найдется х»ш Л(Л") такое. что !хг~(= ! н ~(хг — г!~ > ~ 1(2 для слабого г ш СС(А»»'). Тогда Вх» Лхь — хг обладаег том свонствам, что !Вхг — ВхА ) 112 при й ( 1, а оператор В впаяло непрерывен — противоречие. 6) Боспальзоватьсн теоремамп 16.3. 16.7 и теореиоп 1 с. 220 в [25]. в) Воспользоватьсл задачей 4.49 б) и теоремой 9.2. 16А9.
а), б) Пусть гн г,— базисы в!Д ~[ Лег с]г ( аа. г Тогда ~~~~~ /! Аг ]г = ~ ~~~ / (Лг, г ) [г = ~> ~[ А»г с(г = ~ ~ЧР ~[ (г, А»г.) [г = с ! с г ~~' [(Аен е)) [ ~3~ [А»,.С] (га, ! с г в) Пусть х см Н, ~сх~( = 1; тогда х = г,'и г, где ~иг, = 1, Но 1 ! ],41 ]г = ~~ [ (Ах, е )[г = ~ / ~3 ~сг (Агг, г.) / с ! ( ~др ссг ~~~~ $(А»Р г!) $ ) = ~~к~„/(Агн г ) ! ~Чр~[!Ае,.[сг. Таили образом, (сЛх~! ( 1Л~с для любого х сн Н такого, что (~4) =1.
ж) Пусть последовательность А, фундаментальна по 1 11, тогда она фундаментальна н по обычной норме и, следовательно, А„ -» В. При этом существует 51 такое, что )~А,!'г < С)7 для всех и ш Н. Так как для любого 1 А„г, -»Вг„то для любого п существует ж такое, что г,' []А »С — Вг [з (1, Отсюда ',~~ ][В».([в ~1+ М И В— оператор Гильберта — Шмидта. Остается доказать, что А„ -» В в смысле ~) ((г, а) Диалогично вадаче 16.22. и) Воспользоваться неравенством Бесселя в пространстве Рг [О, 1] >< [О, 1]. л) ~~~ Хпз< ое.
п=т м) Оператор предыдущей задачи с Х = 1С!'и. 16,50. а) Воспользпваться аадачей !6.49 к), б) Если А ВС, то АР = В(СР) и РА (РВ) С. в) А» = С'В', а С», В» — операторы Гильберта — Шмидта по аадаче1649б).г) ((Аг,г„)[ [(ВСг,г„)[=](Сг,В»г )]( ( 1/2(((Сг,Р+ !!В»е„Щ. 16.51. Оператор А: сг-»сг, Ах (Хсхс, Хгхг, ...) для х = (х„хг, ) щ !г с Х = 1(л является оператором Гнльберта — Шмидта в силу задачи 16.49 л), но не является ядерным в силу задачи 16.50 г).
$17 17Л. (у, »Р> = <Ах, ф> = (х, А»ф> = О. !7.2. Если р с= В(А), то <у, гр> = 0 по предыдущей задаче. !7.3. Пусть у шЛ(А); тогда существует последовательность у сиЛ(Л), такая, что у„-»у при сс-» с . Но (р, гр> = 0 и по непрерывности гр при и-»а» также <у, 9> = О. !7.7. Определение нормальной разрешимости А можно записать в виде Л(А) = хН(4»). Далее воспользоваться задачей 17.5. 17.10. Воспользоватьсл тем, что члсло нулен А равно й — г, а его дефектное число равно лг — г, где г — ранг матрицы А. 17Л4. б) >Е(А) = — 1, т,(А») = 1. в) )((Аг) = — Сс Х(Л"1) =Се.
17Л7, Нет, 17,19. Нет, ибо 1 А"г (С) ж ~ г (г) с)г, откуда Н(А") = (О). Пз нормальной разрешимости А следовало 15 н. л. Тееаогвп в лр, 225 бы (задача 178), чта Д(А) = 1'. Это не гак: функц«л па В[А) непрерывны п равны 0 прп г = О. !7.20. Если р, = Ах„, где х лн В(А) и у у» (и оо), то !,х — хж ~ и '[(Гг„— у,Ц О (и, Г ас). Но тогда пз-за полноты Х существует те лн Х такое, что х„— ~х, при и-~ ос.
Вследствие замкнутост«А хл ж Г>(А) « у, = Ахи т. е. ул щ П(А). Значит, П(А] замкнута. 17.2!. Воснользаваться следств«ем 2 теоремы 12.!. Вааьлшм лрл и через Го обоапачин линейную оболочку элементов лрл, ..., лр . Найдем ?л такое, чглл <Злл, ти> = 1, (х, ?л> = 0 па Г„. Аналогична вайДем ?л, ..., 1„. !7.23.
Пусть ул, ..., у линейно независимы и ил ли~ейная оболоч. ка имеет пулевое пересечепне с Р, По задаче 17.2! существуют функпионалы [л, ..., Г„П щ Р». 17.24. При и 1 утверлгдсшла очевидно. пусть она верна для бч,,ф„и (лр!)",Елп [лл]~Г бпортогональны. Для любого х лн Х рассмотрим элемент у = х— и — 1 — (х, рл>з, н ааметпм, что (у, лр,> 0 [! = 1,, и — !), !Го Г=л (у, ол,> = 0 невозможно для х щ Х, иначе система [лрл)и; бьша бы линейно зависима. Значит, найдется х„ лн Х такая, что <х., лР„> Ф О. Другое рещение следует нз задачи 1?.23. Рааложпм по базису[1!)~! и будем искать зл в виде рааложеипя по базнсу («л>)" л, тРебУЯ бпаРтогональности систем (х,,)» и [лР!)л' л.
Если первое разложение задается матрицей Т, то второе, как нетрудно проверить, — матрпцей (Т') '. и ,/ и 17.25. <Кх, 7> = ~ (х, 7,.> ( н 7> =<лх ~ч~ (з, 1> у, . 17.26. л=1 л=л Если Ах = О, то Ах = — Кх, т. е. Ах = — Ч~р ай!а! где Ц, = <х, .7,> Г=л (Г = 1... „и). Но (Ах, лр,> = 0 = -Цл откуда Ах = О, т. е. и х = ~>~ п,%л п 0 = $. = (х, 1~> = пь т.
е. х = О. Лналоглгчлло !=1 Е(А») = (О). 17.27. Для зюбого у лн у найдется х лн Х такое, что Ах = у. й!ел«но взять х = х -,'- ~Л~((у, лр,.> — (х,у >) ~рл, где х— л=л релпеппе уравнения Ах=- у — ~~ <у, лр,> г!. 17.28. Следствие задач 0=1 17.26 и 17.27. 17НО. А = Х вЂ” К, т. е. В = Л, Р = — К. 17.31. С = «1; Т = — К, так как копечпамерпый оператор является вполне непрерывным (см.
задачу 16Л6б)). 17.32. Воспользоваться равенствам А = С[?+ С 'Т!. 17.33. Следствие аадач 1730 — !7.32. 1734л. Система [уД",. линейно независима. Выберелг в У* систему [лу ),". бпортогопально к [у!)"; л и ортогопально к П(А). Тогда [лр])],лс Н (А*), откуда л]пп У(А») ра и. Если ф щ К(А*), то положим ф.= ~~' (рн лР>ф; [-7. Теперь для любого у лн У будет (у, [> = О, л=л откуда 1 = О, т.
е д[ш Х(1*) = и. 17.35, а) Пз определешгя неотрицательного оператора зыгс«ает, что (г'АА"'.г, х) ) [(х, у)!'. 220 Еглп г ен %(А»), то (л, р] = О, п тогда у ен П(4), б) (А.4»)а— .-- АА", и если АА "х = О, то х ш Х(А+) и (х, у) = О. 1'ЛАВА 5 Ц 18 18.!. Ь, ~ О. 187. (Ах, у] = 4 ((А(г+ р), х+ у) — [А (х — у), * — у)+ 4 [[А(х+Гу] х+Гу) — (-4(* — Гу) х — Гр)]. Меняя алесь местамп х н у, получаем, что (Ах, р) (Ау, х) е (х, Ад). 188. Вообще говоря, нет. Рассмотреть оператор А: Гл-» Гг, Ах = (хл, хл[2, хл?3, ...) для х = (хл, хл, ...) лн Гь 189. Ести (Ах, х) 0 для любого х лн ГГ, то для любога Ь лн Н (А (х+ Ь), х+ й) [Ах, Ь) + +(Ай, х) О. Полагая й' !Ь,получаем (Ах,й')+ (Ай',х) Оили — (Ах, й) + [Ай, х) О, поэтому (Ах, Ь) — О, Ах 0 и А О.
В вещественном нространстве утверждение неверно — рассмотреть в пространстве Е' оператор поворота на угол п[2. 18.10. Утверждение справедливо длл любого огранкченпого линейного оператора. 18ЛГ, а) Нет. Прлвести пример в Е'. б) Да.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
