В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 42
Текст из файла (страница 42)
28.3. Воспользоваться предыдущей вадачей. 28,5. Воспользоваться оценкой )Я„АР„х— — 4),Ах[! ( озг[[А)! сср„х — тс!, 242 28.6. Убедптьсн, что О, Ах =~~1Аг, ф )Асрс= Ар х = () Ар т=з 28.9. 7(г„, х„) ~ (Ах „х.,) =- (Ах„, Р„х„) = (РпАх„, (с(Р„Ах„Л лх,сс, откуда с!Р„Ат„!! Та 7с!х„[!. 28ЛО. Согласно задача 286, сссз,Ах ',! = !Ар,,т с! с!Ах„с! ) 7с(х.с!. 2ВЛ1. Воспользовавшись задачамп 28.6 и 28ЛО, получпм !!ха — хЧ = ![Р,,х — х,", ( 7-'![АР„х — Ах!! 7 П!Ар„х — у!! = 7 'И у — у!!. 2813. 6[ха) = ~с [Аус ср,) с,с; — 2~'[Аср,. у) сс+ (у, у),В точке с з=л с=з лспкпмума дзр(х,))дс. = 0 (г = 1, 2, ..., п). 28Л4. Если А, — сужсяпе оператора 4)„А па Х„, то, вследствэе условия устопчивоспт, Х(А„) = (О), и как оператор, действующий иа и-мерного пространства в и мерное, А кепрерывна обратим.
2825. а) ()х.!, '=," ЯпАР„) з() АР„хгс! ( 7сф„Ах.)!. б),')х „— хс! = [)((З„АР„)-Ч)„АР„(х„— х) '! ( ( 7!(сч А(х — Р,т!!! = Я„Ах„— ()„Ар„,х[! ~ ( 7сссА!! . !(х„— Р„хс! 28.27. Воспользоваться предыдущей аадачай к теоремой 9Аз, 28 28. Следует пз тождества х;, — х = (! — Р К)-'(Р,х — х).
2829, Следует пг тождества х„— х == (! — Р„К) '(Р„у — у) + (! —. — Р„К)-'(Р.К вЂ” К) (! — К)-'у. 2830. Воспользоваться то;кдеством 1 [-2'«',рс .ае(ы= 1+р — 20 соз ы ссрзс р = гс2, ы = ят, откуда К(с )=-1+2) [! ! са.,с, з! с — 1 Рпй(С О =1+2 Ъ [' ! саад!с, 'Ъ ~,! с=л 1 с — псла 2831.
б) Во,пользоваться затачсй 28.29. 6 29 29.6. Вогпользоваться формулой ко~ечкыт приращений Лагранжа. 29.7. Воспользоваться предьсдзщей задачей, 29.8. Полагая у = 0 в керавекстве (х — у, А(х) — А(у)) ) с(!сх — у[!)!!х — у((~ 16е 243 получим (х, Л(х)> > с(! !(] ]!»[! — (х, А(0))»(с(()х!!) — (!А(0]]!)Х ЭЕ !!х!!. 29.!О. Иэ условия ка»рц»юпвиасти следует, что»!А(х)!! ..
) 7!!х!!. 29Л6. Существование и едкпствсшюсть пеялпои фукьц!»о х»р(с) вытекают из теоречы 29.!. Полагая в заданном неравенстве х = »с(!); у =- »с(са), полУчим [9(!) — »! (Ее)! =: е е '!/(»У(се), С) ! — 0 прп С Сл. 29.18. Па формуле коксчпыт приращений.Лагранжа (х — у) [/(т, с) — !!у, !)] =. /,(3, О(х — УП р, ~ с(х — с!)-". 29Л9. Полагая в условии с»»льном монотонности у» =. х»» получил! (х! У!) [/е(х» х») П(х» уе)] ~ е(х» У!) и мояено воспользоваться зада юи 29Л6. 29.20. Полаган а условии сильной монотонности задачи 29 19.(а = »С (х,), у! = »у(у»), полу шм (х» — у») [П(х», (С(х»)) — /»(уь»С(у»))] Э-" ) с[(х» — у»)'+ (Ер(х,) — »1(у»])э] ) с(х, — у,)'.
х ль -». ! (Ь ол), Тогда о Е! -»- со, т. е, А (х,) = О. л 29.26. !а(х,г)[» (лшх )[Рь[[с!е ь! ~ ~ч'„[хлх[[Яьх[ай» ОХЬХ л ' ° Ь.Е о ( п»ах ][Р~!»~1, щ !)х!!,, »)1(! и, кроме того, а(г, х) линесн по !. 29.28. Воспальзоватьсв равенством (Лх — Ау, х — у) = а(х — у, х — у), 2929. Следует гы сценки ! [»»».»»+»,,л„»!»».,„У»Л»»»»:.»»юо»»по.,»кп о 29,30. Воспользоваться теоремой 29.1. 29.31. Согласно теореме 12.2 Сущветзуст И ЕднкетВСНПЬ У(Е] Ш Оп [О, Е] таиая, Чта ( с ~ / (С) с (Е) АС =- ~ у' (!) х' (С)»ЕЕ е о для любого ! ш Й»[0, Е!.
Этому уравнению удовлетворнет Е (С) .= ~ С (С, О / (е]»се, 244 Оператор А,(х,) непрерывен ьак суперпозицпн нспрерывныъ функций. 29.21. Согласно задаче 29,15. уравнение Л,(х,) = 0 пмсст единственное решение хе; тогда т —. [х]», (! [х!)) — единственное рсшсяие уравяения А (х) = О. 2923. (А,(х) — А,(у), х — у) > с!!х — у,"-. 2923. а) Следствие задачи 29.22. о) Пусть для некоторого л ',!х„'( ) ) г; тогда О = (х„, Л „(х„)) ) 0 — противоречие.
в] По теореме Вейерштрасса из х„как ограниченной в Кь последовэтельвостп можно выбрать сходящуюся подпоследовательпость т„. Пусть 'Ь 1 О =- А/х ] -Р— х, А [х ) прп лл! ' л о 29.36 Васпользолатьсл теоремой 29.!. 29,38. а) Ь Ь а [ы, (а ) =. лз ) Р (!) АЕ -',- ~ Р (!) (1 — ЬЕ) АС» а о 1 1 а[и,, юп, ) = л ] Р (!)»СЕ -'; ) Р»!) (»»С — л — !) (Е!» 1 — !» 1-Ь а [ые ' »аь 1) Ше(»Ь О»-» 1!»» Р, ((] дс ~ Р, (!) (пс — !»] (лс Ь вЂ” 1) Ис, ЬЬ ЬЬ О, т1»Ь (Ь '1)Ь а [ил 1, ю!) -- — »»з ) Ре(!)»Ес+ ) Р ЕО (ЬС вЂ” Ь вЂ” !) »ЕС, О-1»Ь Ш-(Ю а (с ы ые) =. 0 пРи Е те 4 — 1, Ь+ 1, фе»)Ь (у, юь) = ~ юь (!) У(С) А!. (Ь -1)!» 6) Получается трехдпагональная система, в) Оператор А ограничен: ",А!! ( К, согласно теореме 29.2 и э~даче 27.241, !!г„— х!! ( (сК) '!!х„— Р„х,'! = О(1»»»»), Г;1ДБД 8 й 30 30.3.
Произвести дифференцирование по ! и умнел;ение на х*. с , '1 30.4. а) х(с) = ~ е', б) х(с) = — с', в) х(с) = е' '. г) х(с) = Эс = ]и ! д)х(с) = 1' (! + 1)', функция х(с) .= У (Зс — 1) в данном с.»учае пе считается экстремалыо, тав как в точке С = 1/3 не имеет конечной производной, е) х(с) = (С + () з1п С, где С вЂ” произвольная постонннан. ж) х(с) = С з!и с+ соз с, С вЂ” произвольная постоянная. з) Вариационная задача не ичеет счысла, твк как интеграл не зависит от путе интегрпрованил.
и) х(с) = О, если х, = О, прп х» Ф О экстрсчалей среди глад»»их кривых не существует. к) хОО = сов с. л) Окстремалсй нет, и) х(!) = 4/С вЂ” !. и) х(!) = ]л' — !"-. Воснользоватьсн аадачей 303. о) х(с] с. 30тй в] х(с] = (з — !'. 6) х(с) = (1 — Е] зй с, в) Экстремвлей нет. г) Вариационвал задача не имеет смысла, так иак интограл не зависит от п)тп интегрировании, д) х(с) = — (е' — е')- 'е)» (с) =- 3 сот!. ж] х(!) —. —,. [с' ч-Ос -)-1).
э) х(с) = э]» !. 30.6. а) ~ х (!) = з!и лс, Сэ 32 клэ У(Е) = — 2+ 8и 245 ! б) 1 х(с] = — 6 (с + 5! — 6) я(с) П ) (. )-"и,),~. )--. у (!) = з!и е; ( 2 (у(е) = с; ')-2 ! Е+Е ),У (с) = — Зс. С«аз! л, 1 30.7. а) х(с) = — — + — соз Е+ — з!и С. 2 ' 4 + 2 б) х(с) С(з1л4С+ 4 сов 4Е), где С произвольно. 30.8. Условие трансвсрсальностп насест впд Ес' — х' —,, = — 1 1+ ту'х' и означает, что экстремали доляппа пересекать заданную кривую х = ф(с) под углам ле4. 30.9. х(с) — О. 30.!О. а) х(с) ~)~25 — (с — 5)'.
Попользовать задачу 30.3. 6) х(с) = ~)8~ — с", Пспольвавать вадачу 30.3. 30.11. а) Расстояние равно !9)'2,'8 б) Расстояние равно 4е)5. ЗОЛ2. а) Нет. 6) х (Е) = х 2 ]~'3Е при О<С,-.1, — ~/3(с — 2) прп 1<!~(2 — ~/Зс крп 0 < с.(1, х (Е) = ЬЗ(С вЂ” 2) нрп 1<С<2. ЗОЛЗ. а) Ломаные линю!, составленные кз отрезков прямых х(с) с и х(с) = ! илп яз отрезков прямы с х(!) хз 0 и .т(с] = С вЂ” 1, реализуют абсолютный зшнпесум, иртыша х(е) = се2 реализует слабый максимум. 6) — С при 0 ~!<1, ( с при О<с<3, с — 2 при 1< с<4 " "' ( — с -', 6 прп 3<с<1, =Г на обеих ломаных с]Эньцгсонал достигает абсолютного минимума ЗОЛ4. О при — ! <Е<0, х(с) = е прн О<с<1, с+1, 30.!5.
а) х (Е) 2 е~; б) х(с] = 2 з!олпе, п=- -!- 1, Е 2, в) х(е] = Зс С 2С т 1; е) '(с) = —. ЗО,!6. Последовать яа з,, 2Š— с 246 звстремум грув!еде!оная ~ х У 11-)- х'е ссс 'о прп условии се 1 С Получаем семейство зкстремалей х (С) С- сЬ вЂ” ~ — — Се. Регия. з е нне находится из системы уравнений относительно Сс, Сз, Х! ! — С Е вЂ” С 1 зь — зь — ~ — !. з о з с с Найти экстремали фунесционала 7. (х, у) = ~ ~ —., — 2С'хз+ 2 ~ЗŠ— 2у+ 4ех)1с(е, о Уравнение Эйлера дает у — 2Х = О.
Псключить у пз этого уравнении и уравнения связи. б) х(!) = вЬ )/2 с зЬ Ьс2 'Ьс2сЬ ')с'2Е+зЬ ]/2 Е у(с) =- $31 3!Л. а) Решение уравнения Эйлера имеет вид х(е) = С, с!т е+ + С, зЬ Е. Кривые х(с, С) = С сЬ ! образуют собственное поле, кривые х(с, С) = Се!Ес — центрачьное иоле. 6) х(с, С) = Ссозс— собственное поле зкстремалей, х(с, С] = Сз!и с — центральное поле. 3!.2. а] Эястремать х(с) зе 1 включается в собственное поле 247 'о — Сз х =С СЬ 'С '-Х, о С' С хт СесЬ С вЂ” Х, 1 з ЗО,!7. х(С) = — 2 Е + — С, 30.18. 5 з 7 и(с) = е 30.19. а) х(с) =з!п2Е, ( == я (с) = соз 2Е + 2с в!и 2с, ! х(е) = В соз — Е, у(С) = Ля!и — Е, экстремалей х(с, Г) = С б) Эдстремаль х(с) = 2! з>,люч,>стгя э центральное пола э«стречалеп» (с, С) = Сс с центром в то п.е Л(0, О).
в) Э«стремаль х(1) = Р+ СХ4 — 3>1 включается в соаствевное поле эксгреыалей х(1, С) = !г+ 1,'4+ С'. г) Экшремаль х(ц— = СХ6(1 — Н) включается в центральное поле зкстремалей х(1, С) = С! — !1]6 с центрам в точке Л (О., 0), д) Э«стремаль х(1) = е' включается в собственное поле эьстремалей»(1, С) = е'+С, с) Прп а < к экстремаль х(!) = — 0 включаежя в центратькое поле э> стрем«лей х (1, С) = С лш С с центром в точке .4(И, О), прв п > п сечейство крквыт .»(1, С) = Сзш С поля не образует.
ж) !)«стремаль х(1) с + ! включается в соаствеиное поле э«стречзлсй х(С, С) = С + С. 31.3. а) Да, !'ешение уравнения Я«обн с условием 3 и(0) = 0 имеет вид и(1] = Сс, зкстремаль х(!)=- — 1 вкл>очается в центральное поле эьстремалей с центроы в точке А(О. 0). б) Пег. Решение уравнения Якоби с условнелс и(О) = 0 имеет впд и(!) = С зш 21 и при и > к(2 обращается в нуль в тачке 1 = к(2, в) Дэ. Решение уравнеяня Якоби с условием и(0) = 0 выест влд и(1) = =- С з)1 !. г) Решение уравнения Якоба с условием и(0) = О имеет вцд и(!) = сз!и с; ее!я> 0 < и < я, то услоопе Якоби выполнено, если а > я, то нет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
