В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 43
Текст из файла (страница 43)
д) Да. е) Да. ж) Нет. з) Да, 3(Л. Т)« как уравнение Эйлера имеет внд Х,, =- С, то условие Я«обн выполняется тождественно для лгобой з«стремали. 3!.5. а) Экстремаль «(1) = 21 + 1, условие выполнено. 6) Экстре)>аль х(1] = !'. условие ие выполнено. в) Экстремаль х(!) = О, условие выполнено. Ь г) Экстреыаль х (1) = — С: условие выполнено. д) Э«стремаль а х(1) — О, условие выполнена.
е) Э«стречаль г(!) = 1,", у!лаана ьыполнено. ж) Экстреыаль х(1) — 3, условие выполнено. з) Экстремаль х(1) = 11, условие выполнено. л) Э«стремаль г (1) = ! — 1, условно выполнено. 313>. а) х(!) = 21 — слабып мпппчуч. б) х(!) =- = — с' — 1 — сильный минимум, в) х(с) =- 172 — спльяь>й мккпчуч. г) х(1) = с' — сильный минимум. д) х(!) = 2]в (! + 1) — сильный мпипмуы.
е) х(с) = 1 — снльнып нпкнмрс. ж) х(1) = !> — слабый Ь минимум, а) *(!) = — 1 — слабьш мкнпчуы. и) х(!) = 1и (1+ а + 1)Дв2 — сильный минимум. к) х(!) = 21+ 1 — слабый ыпнпмум. л) х(!) = з(п2! — 1 — сильный максимум. м) х(1) = !'— сильный л>иипмум. н) х(1) = юп 21 — сильный л>акспмум. о) х(1) = 112 — слаоый ыпвимум, и) «(1) ~'0 — слаоый чинлмуч. 1 31,7. 6) с)гф[хно= ~СЬ'(!)>СС>0 при лгоаай Ь(!) шС[0, 1], о Ь(с) ча О. в) Пусть . =à †!+е прн 0<с<а, е() 0 прп 1> е, ТогДа ф(«,) — е'Хб < О.
31.8. 6] >С С! [«=хо — - чх, — з > 0 пРи любом .иы и п=1 Ь ш ]г (Ь чй О). в) Пусть хОг) (0,0...0, 1)п,0,0, ...). Тогда и-1 ф(хс ">] 1(ггл — 1Хпл < О, 248 9 3о 322. с!11!»> + (1 — !)хг) < Сгфг(»>) + 2С(1 — С)ф(х~)ф(хг) + -1- (1 — С)гсрг(гг) = Сфг(с>) + (1 — 1)фг(«г) — 1(! — 1) [ф(х>)— — с( (»,) ]' < я('(г ) + (1 — !]сд(»,). 323. а) Да, б) Да. в) Вообще говоря.
нет. Рассмотреть в пространстве 11 последовательность с„ =- -.= 10,0, ..., О, 1. О, О, ...~. г) Да. Если х, — .тг (и -лог) слабо и — 1 п,>хл>( > 1>ш (!«,(1, то найдется с такое, что ((хг1( > с > Нш,"(х„!1 и, слсдоватехько, существует подпоследовательность хп такая, и>, чта >(» ([> с > ([.сп !) при Ь ш М. Определим функционал (хг, Хг) = !!хг!1 п продолжим его па все Х с сохранением нормы. Тогда (.с„, Хо) не стрелштся к (ха Хг) так как. (хп,, Хо) < <СХ [[>~»п >~< с, а (х, Х ) -.=[! с ([ > с — пРотивоРечие, 32.6.
ПУсть и — точка локального минимума с((») на ОХ; тогда найдется е > 0 такое, что для любого и ш о,(и] П О! выполняется неравенство ф(и) < ф(г). Пусть х сы )Х вЂ” произвольна, и > О таково, что и((х — и!! < е, '!огда и+ к(х — и) ш о',(и) П ЬХ, поэтому ф(и+ + а(т — и)) > ср(и). Но ф(и) < ср(и) + а[ф(х) — ср(и)] и так как и > О, то ф(х) — ф(и) ) О и, следовательно, и, — глобальный миниыуы на М, 328. Нет. Рассмотреть ср(х) =- ]С[к[ для х сы В. 32.9.
Необходимость сразу вытекает из (слабой) полунепрерывности снизу. При докааательстве достаточности воспользоваться идеей решения задачи 32.3.г), 32ЛО. Иа слабой полунепрерывностн снизу следует полунепрерывность снизу без дополнительного требования выпуклости. Если ф — выпуклый и полунепрерывный снизу функционал, то по задаче 32.9 для любого вещественного Л множество Сл замкнуто, по задаче 32.7 — выпукло, ко задаче 13.23 Сл слабо замкнуто, по задаче 32.9 ф слабо полунепрерывен снизу.
32Л2. в) Нет. Теорема 3".1 не применима, так как пространство С'[О, 1] нерефлексивно. 32ЛЗ. Пусть 31 щ Х вЂ” бикомпактно, ф(«) определен иа г)Х и слабо полунепрерывен снизу. Если >и = (п1 ф (х) и х„ш ОХ хмж тз>юво, что ср(»„) ю при и ао, то найдется подпооледовательность хп такая, что «гг -л «ош М, и тогда!у(ха) = пл, 32.14. ф(х)— непрерывный выпуклый функционал. 32.15. а) Да. 5), в) Вообще говоря, нет. 32Л6.
ф(с«> + (1 — с) хг) = Сг (Ахь х ) + с (! — 1) (Ахи хг) (- + !(1 — С) (А«г, х,) + (1 — 1)г(Ахг, хП = Сф(х,) + (1 — !)ф(хг)— -- !11 — 1) (А(х> — хг), х> — «,) и ток как с сн [О, 1], то С(! — !] (А(с, — гг), х> — «г) > О. 32.17. б) Нет. Рассмотреть последовагсльпошь е = !О. О,..., 0,1,0,...)>ы !а 32Л8. а] ф'(х) = о-1 = г1« + Л'», б] (с — у, ф'(х) — ф'(у) ) = 2(х —,>/, А(х — у) ) > О. в) Воскользозатьсв теоремой 32.2, непрерывностью оператора Л и задачей 32.11. 32.19. а) ср'(х) = 2Лл(А« — Ь). б) Доказать, чта ф'(х) — монотонный оператор, воспользоваться теоремой 32.2, непрерывностью оператора А и задачей 32ЛЕ 32.20.
При г > 5 напмспьпюс зпачшше ф равно пулю и достигается в точна С (4, 3). Прп г -" 5 капчсньшсо значение сс равно 2>х — 20» + 50 и достп>ас>сп а >а и е псрегсчсккя а,(О) с прямой ОС. ЛИТЕРАТУРА 1. А н т о н е в и ч А, Б., К н я в е в П. Н., Р а д ы к о Я. В. Задачи п упражнения по функцвональному зналнзу.— Мпнск: Выш йшав школа, 1978. 2. Васильев Ф. Н.
Методы решения зкстремальных аадач.— Мл Наука, 1981. 3. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Варнацнонное исчисление.— М: Фпзмзтгпз, 1961. 4. Гуревич Л. П,, Зеленко Л. Б, Сборник задач по функциональному анализу.— Саратов: 11зд-во СГУ, 1978. 5. Д р о б ы ш е в и ч В, И., Д ы м л п к о в В.
П., Р и в н н Г. С. Задачи по вычпсллтсвьноп математпке.— Ъ!л Наусса, 1980. 6. Д ь е д о н л е Ж. Основы современного аналиаа.— Мл Млр, 1964 7. Кап тор овнч П. В., Авилов Г. П. Функциональный аналпз в нормированных пространствах.— 51л Фвзматгиз, 1959. 8. Като Т. Теория возмущений линейных операторов.— Мс 5!лр, 1972, 9. Кириллов А. А., Гвишиани Л.
Д. Теоремы н задачп функционального анализа.— М: Наука, 1079. 10. Колл а т ц Л, Функциональный анализ и вычислптельная математика.— М.: Мпр, 1069. 11. !!ол моторов Л. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций н функционального анализа.— Мл Наука, 1968. 12 !1раснов М. Н, Макаренко Г. П., Киселев Л. Н, Варлацпоннос нсчлслснпс.— Мл Наука, 1973. Л. 1!., 5! а к а р е и к о Г. П, ! ! итегральныс уравнения.— Мл Наука, 1976.
11. Л о р а н П. 7К, Лппроксимапия н оптимизация.— Мл Мпр, 1975. 15. Лыс терн як Л. Л., Соболе в В, И, Элементы функционального анализа.— й!.: 1!кука, 1965. 16 Наймарк М. Л., Мартынов В. В. Функциональный анализ.— Долгопрудный: Изд-во МФТП, 1970. 17 !'ид М.. С а 0 ион Б. Методы современной математической фгсзпзпг. Том 1. Функциональный анализ.— М.. Мкр, 1977. 18.
Рудин У, Фувкцлональный анализ.— Мл Мпр, 1975. 19. Самарский Л. А. Введение в тсаршо разносгных съем,— Ыл Наука, 197!. 20 Сборник аадач по функциональному анализу.— Мл Иэд-во МГУ, 1977. 21. Сборнгп' задач по уравнениям матсматвчсской фланг!пДТод редакцией В, С. Владпчпрова,— Мл Наука, 1974. 22. Соболев 11. П. Лекции по лопочпптсльпым главам математического анализа.— М.: Наука, 1968. 250 23. Соболева Т.
С. Эздзчв по функцпональному анализу.-Мл Нзд.во МППХ н ГП, !97г. 21. Т в й о но в А. Н. А р с с н в н В. Я. Методы рспгевия некорректных задач.— М: Пахла, 1974. 25. Т р е п о г п н В. А. функциональный апалиа.— Мл Наука, 1980.. 20. Ф с т Л. И. Задачи по функцвональному анализу.— Новосибнрск: Изд-во НГУ, 1968. 27. Ха лиош П. Гильбертово пространство в задачах.— Мл Мнр, 1970. 28. Шилов Г. Б. Математический анализ. Функции однопт переменного. Пасть 3.— Ыс Наука, 1970. СПИСОК ОБОЗИАНЕНИП М вЂ” т>вожество патуральпыь чисел Й вЂ” ъ>г>о>кество вещественпыт чисел С вЂ” множество комплексных чисел А+  — алгебраическая сумма множеств А к В (!О) А — продолжение оператора А (52) ГА — квадратный корень иа оператора А (102) 1А1 — норма оператора А (46) !А) — л>одуль оператора А (!02) Аг — положительная часть оператора А (102) А- — отрицательная часть оператора А (102) Аа — оператор, сопряженный к А (77) А-' — оператор, обратный к А (58) А> ! — оператор, левый обратный к А (59) А„г — оператор, правый обратный к А (59) С, Вр — пространства непрерывных функций (13, 14) С1 — пространство й раэ непрерыано диффреренцируег>ыт функций 13) — пространство сходящихся числовых последовательностей (13) С, — пространство сходящихся к нулю числовых последоэательпостей (13) См, Ва>, 1~, 1~~ — пространства числовых столбцов (!2) гбаш А — диаметр множества А (9) ЛА — граница множестаа А (11) К(г, х, р, х') — функция Вейерштрасса (198) (г>х" — (г-степенной! оператор (!28) Р>(хь хг, ..., х>) — 1-линейный оператор (127) С(г, !) — функция Грш>а (123) Н вЂ” гильбертово пространство (26) П', Н"' — пространства Соболева (34, 182) 7 — тождественный оператор (51) К вЂ” пространство фпнитных функций (13) К(г, г) — ядро интегрального уравнепнл (114) 1.~ (г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
