В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 40
Текст из файла (страница 40)
20Л4. Да. 20.!К. Л определен па всеы Ву и впалые непрерывен в силу аадачн 16.20. Пепосредствакнай проверкой убсжлзсллся, чта для ллобых г, у лы В снразедзлзо равенство (Ах, у) = (х, Ау). Согласна задаче 18.40, А саыосопряжел. 20Л7 о(Л) гостонг нз собственный зпачеллй вида Л„11(игпл) с соответсгвующпмн собствскнымп фуккцпямн г„а!и лл! (л лм 14). 1(зажды продпфферепцировш ь обе части уравнения Ах Лх. 20.18. Рассмотрим собствекпаа надпространство 5 оператора А, соответствующее собственному зпаченпю Х 1; тогда В ннварнактно относительно А, и так нак .4 самосопряжев, то н ьх инвариантно относительно Л. Если Ах 0 для чюбого х сз Вь, то утверждение доказано, в прогонкам случае у оператора А в поллрострапстве Хь нашлась бы точьа спшпра, отличная от 230 Х О л Х =-1. 20ЛО.
6) (А' !г, г) = ~(г, Ьо)з !лз. То, что )л > О лл для всех л, вытекает кз неагрлдателькостк левой часзп. в) (г„, г„) =-~ — АЬ„, АЬ ] = —.(Ьа А*АХ„) == — (Ь, Ь„) =- О, й лл !Лал Прн Ь л ив предыдущей выкладки !г ) = — !'Ь„)~= !. Далее з докааываем, что рлд сходятся, одепнаая его остаток й+р 13 й+р Ч', Ла (х, Ь„) г,, 1 - ~ Лз [ (х, Ь„) [з Ы; Л„з [ ,а й ~ л=-й и так кан Х. -» О прл и- аа, то ряд сходится к остается даяазать, что ал сходптся нменво к Аг. Достаточно доказать зто длл всюду ктотнога подмножества Н; в качестве такого подмножества можно влять ликелную оболочку всех собственных вшсторов оператора Л*А (включая я лежащпе в Л'(Л) ).
6 21 2 21Л. а) х(г) =1, 6) Прн Л чь 2х(г] = 2 Л а!пг, пря Х = 2 решеншг нет. в) х(г) = ып г. г) При Х чь 2, Л ча — 6 6 — Л Х (42 — Х) *"'=' +6+Х'+6(2 — Л) (6+Л) при Х = 2 клп Х = — 6 решений нег. д) Прн Х чл — 512, Хчь 3,2 35 — 1ОЛ з х(г) з + 35+ !41 г, нри 1. = — 512 репгсппй нет, при Х = 3,'2 4 5 з х(г) = г + — з + Сз, где С произвольно. е) х(г) = г+ Ллзз!п г. 14 ж) При Л чь !/2, Л чь — 112 х («) = 1 — г — —" —, соз з, при Х 2 Х лз л 6 1 +2Х = — !12решенвйг кст, прл Х = !12 х(ф = С вЂ” з+лХС' — —,' ) созе, М ЗлЛ где С вЂ” пропзвольпо. а) Прп Х чв — 3/2, Х Ф вЂ” 3(4 х(г)= 2 л( 2(2Х+3).
" 'к з(п з+ сан 2з, при Х = — 312 решеннй нет, при Л = — 314л х(г) зл' = сов 2« — 4ип «+ С сов г, где С произвольно. 21.2. а) Хл = 1лгг, дч = зшг+ сов г, Х. = — 1(л, лрл = вшг — сов з, б) Хл = 21л, л~", = соз г, Хл = — 2,'л, йлг = Бгп г. В) Хл = Хл = 3, Чл =г — 2г.г)Х = —,4 =«Х = —, лр =з 2!.3. )й = 2" л~/л, фл = зш1« (Ь ш Т).
21А. а) Прп Х чь,й2 разрешимо прп любых а, [), 7 н 36 х («) —. аг О- —.,— л 3' — 'лй ' прв Л = .",В разрсшамо тогда н только тогда, когда 3 = О и «(и) = = плл + !+ Сз, где С произвольно. 6) Прн Х ~ а52/л разрсшлчо 231 прк любыт щ 6 и 2 (и — 2лб) х(б] = 2+ел ыпя-,'-б, при ). = 2'л разрешимо при любых и, 3 и ил пь 4(] «(б) = е„з!п б+ 6 + С соз яь где С вЂ” произвольно, прк Х = — 2/л разрешимо готта п только гляда, когда ил+ ббй = О п х(б) = 3+ С з!и б, где С произвольно.
в) Прл ), ть 3/2, Х ~ — 3/4 разрешимо при любых сс, 3 и т 15(1+ 122и 15+ 20Л прп ). ~ 312 раярегпимо при любых и, 3 и 256 — 6 «(б) =аб +Сб — 5 б, 15 лрн 2 =- ! н 2 = — лт рсшснлп кст. Ори ] = — и'гсб (л = 2, 3, ) =- СОЗ Лб+ [ —,+. [— б' — (-)п л -';псов ля)~- Р С [ '(п лг1я + лл соз ллб], где С ПРОпзвольво, 21.11. а) 1(б) — — Об + 1, б) х( ) = б+ бб»О, 1 ь) *(б) = б(! + б)'. г) «( ) = —., ( ' —,.
чгл б — со ). 2112. а) Точное решение х(б) — 1 6] Точно~ решеяпе «(б) — = — !. в) Точвое решение з(я) ил — 1 г) Точное решение я(б) = т/О. д) Уравнение рсшснпн не имеет. 2(Лбь а), б) Нет. в) Да, 21.15 а) х(1) = 1. 6] х(1) = 2 з)л б. в) х(1) = 1+ 2б+ 1'/2+ 11/3. г) х(б) = 21 — г' а) х(1) = 1. 2!Лб. а) Имеется точное решение х(1) = б б) Имеетгя точпгбе решение х(1) = е', в) Имеется то1ное решение х(1] =.= =-= 1. Г) ПМЕЕтгп тОЧВОЕ рЕШСННЕ х(1) = б-'.
где С произвольно, при 2 = — 3/4 разрешимо тогда в толы о тогда, когда Зп — 53 = 0 и х(б) = абб+ Сб, где С произвольно. г) При Зп Л чь 3/2, Л чь — 1/2 разрешимо при люсюм и их(б) = — б, прн 3 2 — 1/2 раарешимо прн любом и их (б) = 4 (а — С) б+ Сб, где С произвольно. при Х =- 3/2 разрешимо тогда и только тогда, когда и 0 и х(я) = Сб, где С произвольно. 21.5. х (я) = /(б) —,- тл +д ~ з!и (б — 21) / (б] 3/. 21.6. а) 1.„= (я/2+ лл)',1(б = ап(л»2+ли) т (л бм Х). б) З., = 4лб — 1, Т„= з!п2лб (лш М). в) Л„= (л+ !/2)' — 1, ср„= = з!и (л+ 1/2)б (л ш И).
г)»я — — 1, сдб = б', л„= — лтлб, бр„=- = 3!пппб+ либо ллт (лшд). д) )и = 2 (1+»лт), ц', = й„соа й„б+ з)п» „б (л ш М), где / „— лолоятительные корни травнеиия 2с16 6 = » — 1Дт е) Х„.—. — д~/3, срл = д„сов»ля + ,'- ып длб (л ш Х), где» „— те же, что и в предыдущей задачс. 2!.7, 2!.8. Воспользоваться задачей 20.!О. 2!.9. а) Характеристические числа 2„= — л'и', собственные функция 1р, = з!п лля (л ш ш И). При Х Ф Д 4 ( !)л+1 х (б] — 1 — — д „з!и лля, „л (Х -(- л лз) лри й = — л'л' (л ш )ь') решений нет.
6) Характеристические числа и собственные ф!ньции определены в задаче 2!.6 г]: )1я = 1, ж = б', »„— л'л", 11„= ып лля+ лл соз бблб (л ш Х). Прл Х чй тьй, ()/б~д) л ( 2, л х(б] = соя хм+ т [, ... 1, б' — з (ып лб-',- л соя лб)~ 232 1 223, (Ьн д) — (с, Ау) == 1 ~ (З У вЂ” ' зд ) ОП вЂ” 1(«У)! =О. П)ст1 о (бг', д) = (г, д*) и деб — неопределенныйя интеграл от д*; тогда 1 1 ~ х'(У + 1У*') Зт .— О, о Откуда й = д+ /д** почти вс1оду на (О, 1) постоянна; изменив ее значения на нно ьестве меры пуль. получим у+ бу"" = с, откуда У'+ 1~»б = 0 почти всюду.
По 1таму Область определения Аб СОстопт из веет абсолютно непрерывных фунсцпй У(1), произнодкые 1.оторыт лежат в 61 (О, 1] без всякит огрзнпчеипй на граничные значения. 22.5. Вообще говорл, неверно, так как возможно, что Р((т) = О. 226. Пугть д ев Р(А*) и Абд = д*. Так как В(А) //, то на1жется д бп Р(А) такое, что А/~ = д*, поэтому при люоом .с ш Р(А) будет (Лх, 1) = (г, д*) = (.г, АЬ) = (.4х, й). Отсюда д = 6 б= Р(.!). 228. Гели Аи = О, то (и, Аи) = (Аи, г) = 0 для любого гбнР(А), пазтому и ортогонален В(А) и, следовательно, и = О и оператор А-' существует. Далее угтзнавливаетсн, что существуег оператор (Л*)-' н что (4*) ' = (А-')*, откуда и выте1 лет, что Оператор А ' симметрический 22.9.
В проверке нуждаеггя лишь плотность Л(А). В противном случае найдется /бш Д (й ~ О) табюе, что /~ 1. Л(А). Тогда (/, Ай) = (А/, 6) = 0 для любого / ш //, откуда Ай - О, а ото противоречит существованию обратного оператора. 22.11. О) ~ б) А = А*. п тзк как А" замкнут, то и А замкнут, Если найдется х бн Р(Аб] = Р(А] такое, что А "х = бх, то Ах = 1« и — 1(х, х) = (1.г, х) = (Ах, х) = (х, Ах) = 1(х, х), откуда х = О.
Тем самым %(А — ~/) = О, аналогично устанавливается, что Ю(А+ П) — О. 6) =» в) Если В(А — 1/) нз плотно в //, то для д бп [В(А — 1!)]'- (д чь 0), мы имели бы ((А — П)х, д) 0 длн любого хшР(А), а тогда дшР(А*) и (А — и)'д =(Аб+ 1/)д = О, что невозможно тая канд'(Аб ф 1Р= ЕЗЗ =Л 0стачось даьаз,»м.
з,»1»ьнстогть П(А — »!) Голи х щ Р(А), то l(! — »!)»»(1= !!»М»0 з»' и о»чп г,щР(!) п (! — »!)х„-»е, хо и 1х„т»ьье оголит»»1 '1,»». »ж А оачьнгт, то хо»и» Р( !) и (А — с!)хо.= у, Ч д»»»»» обр»соч, П(1 — »!) за»п н!»о и совладз- о» с П. Аналогично устанавливается, чта П(А +»!) = С. в) ~ а) Нгтть х»и Р(А*). Твк кан П(А — »!) = П, то найдежн у»и Р(4) такое, что (А — »!)у = (Ао — »!)х. Ио Р(А) сР(А*), поэтому о — у ьв Р(А*) п (Ао — »!) (х — р) = О.
Так ьак П(4 +»!) = С, то д (4" — С) О, сведала»ельно, х = р»и Р(А) п Р(Ао) = Р(А). 22.!3. Предположить, что ауществугот две собственные функции г одним и тем же собственным значегщем п доказать, что ит оп- р '!еллтель Вронского равен ну»па. (о(1 — 0 пря О~о(сн,'1, '(с(! — 1) прп О м с(з(1, б) С (з, с) =— 1 ((з+1)(2 — 0 прп О~з(с~!» 3 ] (С + 1) (2 — з) прп 0 ( С < з ( 1. ]з!л х сов с при О (г "с к, л, (з!пссозх при О~с(з~л.
1 (зЬззЬ(1 — Ц прп 0~1~ си,1, зЬ1 ]зЬ сзЬП вЂ” о) лрп 0 ~ с~гК !. 1 — у ,!'' е — — е»+с 1+7 д) ПРп (7(Ф! 6(1,0 —. 2 ос-з 7,»+с-з 1+7 при Он,'с~,з(1, 1 Прп 7 = — 1 С(о, с) пе существует, прп 7 =! 6 (1, с) = —. е р сс, 1 22.!5. а) х (г) =!. ] 6 (г, С) х(С)»СС» где а сагс181 прп 0 ~ з~ С (1, С (с, с) = — ! '(агс!2 с прп 0 ( с (1(1.
1 1 б) х (з) = Л ~ с (с, с) х (с)»!с+ ~ с (х, с) ! (с)»сс, где а а 1 ((з+2) (1 — с) при 0~1( 1~1, 3 ((с+2)(! — 1) при О~с~с~1, в) 0»уньция Грина при данных граничных условиях не существует, 22Л6. Утверждения а), б], в) вытекают из равенства ь (Рх» х) = ~ (рх" + ел )»СС + — р (а) х (а) + — р (Ь) х (Ь), 5, а а 234 22.17. о) Соо»твеллые ткзченая оператора 6 оаратны сооственныч мычаниям интегрального оператора с ядрам С(о, С). Воспользоваться теоречоа 20 ! з) Во»пожловаться теоречап 20 во 22Л8. Пусть х(!)»и Р, »р (с) (!. ет ч) — птатпая в лрастр»лотка Гг(а, Ь] в сиз!' зада»п 22 !7 в) орта»»ар»»»»рево»»пая» а»теча»оси твсаньж фуньцпп оператора Г, соотает»твгющпт собствепаыч 11»»»чоп»гяч Л„, О ~ Л, -" 71.-' ..
То»д» х =.-~ (., »П)»р„п (! г ) ~' !.„!(г, »р,)!з о »,-1 1-1 . Л ~ ] (г, ТА) (е = ! '(х)ст = )1. С др»гон с справь», »р,(!)»и Р 1-=1 и (6»ра»(,) = Л»'„»р,~(» = Л». 22ЛО. хо(с) = ) 2 з!л лс. ГЛАВА 6 $23 23.5. Следствие ограниченности ьочпаьтного множества 2352 Непрерывность р вытекает вз непрерывности фупьции К(С, з, х) по х н вотчолщоотп предельяаго перетача под знаком интеграла при равначерпап стали»»ости, познал аепрерывкость — из теоречы 15 3, 23.77 Вообще говоря, пег 23Л2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
