В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

Еслк существует х св Х такое, что <х, !) =. й Ф О, то и (х/)., 1) =1. 1!3. а) !с!с!=213 6) [с)!! =.4 н)(!с)!=- ~'" [ пв [ г) ссЯ = 21е. ь=-1 и д) Сс)!! = 1. е) ЦС! =- 3. ж) с,)1 = 2. з) !1,! = 3+~„,,— 11 й ) ь=! б), в) Да. 115. а] !с!с! = 1. 6),т]!! = 112. в) сУс! = 1. г) !с!)! = ]2!3. Д) !Ц!! = )й е) ]с).,! = ]2. х:) 1,1[= !У зри — =- —,—.

з), н) !сД = ь-. й =1, к], л] Ц!! = 2. м] ссН = 1. 11.6, а) При у~1. 6) При р ) ) 2. 11.7. в) Да, Ц'! = 1. б) Пег. Расстютреть последовательность .х«(с) = ып ис,'и. 1!.8. 6) Положим ь с=. 1 ! и(с]т(с, х(с) =~(и(т) — с]йт! ь — и,! о тогда х(с] ~н б н х'(с] = и(с) — с, следовательно, ь и (с) (и (с) — с) Ас = О, и заватьгя задачей 1!.3 ж]. 1!ЛО.

Распользоэатьсл задачамп 11.5 и), л). 11.1!. (,/,'( = !1(2г). 11.ЕЕ !Лрп спл;азы!. льстве дастато шости воспользоваться тем фактом, что всякое открытое мпо:ьество иа прлыой есть обьедписшге коиечного илн счетного числа пнгерзалов и аадачей 1.85 б) 1!ЛЗ. Если 1 ие ограничен, то си не ограипчгп яа шаре лд(О), попому существует последа»шсльяасгь х„!и Х такал, что ()х„(( яй 1 и [(х„, /)( > л. Рассмотреть иосладааательпосп а„= х»/) л. 1!.15. Прп доказательстве достаточности воспользоваться задачей 1!.11.

1!.!6. Пусть х гн Х вЂ” таково, что (х, 1) = с ~ 0; тогда (»/с. 1) = 1 и х!, = хсс есть базис с)/. 11Л8. Если хФ Е, то Е'+ (>.»), где Х !и В, — надпространство, содержащее Е, поэтому Е+ (Хх) =- Х. Определам па Х функционал / равоаством (у, 1) = Х, если у = и+ Х», где и Е. 1!.2!. Воспользоваться задачами 11.!4, 1!.15 и 1!.20. 11.22. Пра х ш Е ] (.г, 1)'] = 1 ~~ ((х~!,'!1((, опсуда пЛ ',[х!! > 11[(/(!. С другой стахи ь роны, сусцествуст послсдоватольпость х, ш Х такал, что !(хл([ = 1 л х и ( <х», 1) [ > — !(/Е Если ул =, то у„си /. п [(у»[!'~ и л -с-1 1 — — поэтому !п( (!»]< —.

11 23. Если у ш Е, то ! Щ ' „., ' ([1(]. ] <х — у, 1> 1<((х — у] ,'[/,,', но <х — у,/> =(г,1>, поэтоыу ([х— ]<х !>( — у(! > (,, и, следовательно, р (х, Е) = )ис![х — у,"[ > ([1 ! ьыь ] <» 1> ] . С другой стороны, существует последовательность и хи!и Х такая, что [(»„~=1 а ]<хи,!) !> — []/([, Положим (»' 1> л+1 ]<х,/>] у=х — х т гда уш/ и 1х — у!!"— <х, 1) и! 11.24. Восиользоизться предыдущей задачей.

12,24, неверно. 12Л4. Если 1 <х /> = ~ х(с)у(с) гсс, у(с) си с( — 1.1], -с то положим х(с) = с'у(с). Функция (О ира с <О, [! при с >О имеет ограниченную на [ — 1, 1] вариацспо и удовлетворяет условию * (0) = ] х (С) ггу (С). -1 12.!5. б) [0 при с= — 1, У(с)=-!!!2 прн — 1<1<1, ( 1 при 1=1. 12.16.

б). 1) Однозначно, (х, 1) = х(1), 2) Неодновначно, продол- жения <х, /!) = »(0) и <х, /з) ' — х(1) совпадают с 1 на Е. 1 1 2 12Л7. Еслих= ~ ]!и Ез, то продолжение есть<», 1>= — х + — х . 12.20. Убедиться, что в леыме об злеыеитарном продолжении ([25], 4 !6Л) и = 6, так что 7 определено однозначно. 12.25.",,,1)! = ]2. 12.26. Да. 1 ] <»,/,] = ~ [тсозс —,' х'в!а с]»»с -с 4 12 12.3 — 12.5. Воспользоваться следствигы 1 теорсщз 12Л. 12.8. Воспользавэсься следствием 2 теоремы !2.!.

12.9. В Х существует коксчко1ссраое падиростраиство Е !побои разтгерссос'!и; тогда разьи риошь Е' раева размерности Е. Заданный иа Е непрерывный липгииый функционал продал каассл !ы асс Х. 12.10. 6) Ортогопа.п,оое дополнение к й/. в) Восполсыоваться следсгвием 2 теоремы !».1. !2.13. Пусть 1„ /ь ... ш Х" — всюду плотное мао кество. Для к»н дога /ь выберем»» ш Х такое, что (!»Г! = 1 и [(гы/») ( > !(!/»,(12. й!ссоясество К всех лапеиныл комбинаций х„с рациональными яоэффииисптама счетно.

Ес.ти К чв Х, го ио следствию 2 теоремы Г!.! иайдетсл /ш Х" такоа, что 1 ее О сс (.т, 1) = 0 для лсобого х из К, в частности, (хы 1) = О для й ш РС. 11айдется и! ш ш РС такое, что [!1 — 1„,[[< е, ТогДа [<»м, / — 1 ) [ .= [ <х»„ /м)]~ [(1.![ ((1 [(' "" [[1. [( )~ ' 2 ' — 2 []х„,([; отсюда »11 — /л,(,!)~,, [~ 1,»(! < 2е и, сле- довательпо, Щ "-((1„,',[+ (!1 — 1„4! < Зе.Таким абрэааы, 1= 0— прап!воре ше. Обратное утвсрждешсе, как зто следует из задачи 216 <~ ~ (х'+х')йс~ ~ ~ !Ус~ -~'2[!х]. -1 -1 Нз условия (х, /) = (х.

у) вытеяагт, что функция у(с) лвляется решением краевой задачи у" — у = О, у'(1) = е!и 1, у'( — !) = эси 1 ып ( 1), откуда у(с) ! ! с)т с 6 13 13.3. а) (х», у,) -» (г. у) при и — » оо. 6) (»», у»] ыожет и не иметь предела. Пусть. например, е» (л ев Х) — артопарыированнап системз в В. Положим ! „= е», г прн п нечетном, и ул се прп л четном.

и — с 2!7 1 прп О <1< —, 1 1 1 прп — < ! <— 2» - -2» ' 2»-1-1 ' 1 1 1 прп — ' — <1 < —, 2п 27-1 -- -2»-1' прп — ~< ! < 1. (1 — 1)2 1 13.7. Нет. Пусть, напрнмер. Х = 17! согласно задаче !224, Х" = т. Полая;ям Хп=г'1,1,..., 1,0 О,...) . Тогда Х, с с, с и, нодлялюбо- 77 го х гв 17 (х, Хп> = ~ хг следовательно, ч» х; = (х.

Х >, где Хп = 7=1 7=1 (1, 1, ..., 1, ...) ф сп. 13.3. Нег. Найти !!Хп!!. 13.9. а) )г((! = 1. в) Нет, это вытекает нз пункта а). 13Л2. Положмм для и щ 5( Тогда х,щС[0, 1], !!»п!! ! и, следовательно, х„не сходптся к нулю, В то же время х„- О (п -и по) с.габо. Действптельно, 1 1!з" — 1 [(х»ОХ>[= )»и(!)Лл(!) = ) .;,(!)32(!) ~(![хп(! ' 1Х л- О а 11 пп 1, и прп и-поп дгя любой функцпп д(г) с огравпченпой на [О, !) варпацпе(1. 13.!3. Надо доказать, что в пространстве!г пз слабой стодпмости следую сходвмость по норме, прочем ага достаточно доказать для сдодпмостп к нулю.

Пусть х'"' гв !г, »г»7-70 (71-7 пп) слабо, ,(1 — — (0,0... О, 1,0,0,...) щ т = !" и (х, 11> = х, — соответ 7-1 ствующпй фупяцнонал з !О тогда <хгпг, Х,> = »!»! в, следовательно, для лгобого ! прнгг-+ оп х, -»О. Пусть хГ "1 не стремится к нулю, , 177! тогда найдется падпоследовательпость х такая, что для всех (»1,) й гв Х будем иметь [! х( ' !! > ЛХ > О. Тогда ,'! х( 1),~ = Ъ~ ) х(.

1) )> ОХ 1 1=.1 7»1 Н НайдЕтСя Пг такаЕ, Чта %7~ (пг) ! 4 'Кп г (и, 7 .!Х 7=1 1=в -'»1 — 1 Полая;пм и, = 1. Так вак». -+Одля любого 1, то ~ !»( ")- 0 7 7 7 1=1 7»1 (по,)! 3Х н найдется аз > а, такое что ~~д ) х. "" [ < — откуда ( оз)! з ! > !О !Х, н найдатся тг > и, такое, что !=и,-1-1 гх. з !) — ЛХ», (х, ' ! < —.Продалгкая атот про- цесс, палучнм последовательность х А)н соответствующую по(и следовательность т, . и, < ...

такпе, чта для любого й ~ ( „„) ~ Х Ч,т ~ ( „) ) 4 г=ид 1+1 х ~ (""~-Е -.=' Определпн теперь с = (сг, см ) гн и следующпм образом: для каждого ! найдем таксе Д, чтобы выполвялясь неравенства и, 1< <1< та, н положвм с!= 1, осли х. > 0 н с, = — 1, если (па ) ( ад! х "' < О. Тогда для соответствующего функцповала (х, Х> = 1 г,хе будем нметь 7=1 ,' ""' Х, =Х;"; 1=1 (пгг ) ~~~ ~ (»ог,) ) ~ ) (паг,) ) 1='»А-1+1 7=1 !=из,-!.1 7»д !77а !! 5Х М 4 М 3 ~ х,'.

"' ! — — — — > — ЛХ вЂ” — = — М, [ 10 !О- 5* 5 5' 7=»гд 1-г-1 »» (пад) н х ", Х» не стремится к нулю прн д- оп, 13ЛЯ. Если Х О, то можно взять любое х. Пусть Х ~ О. Согласно следствню 1 теоремы 12Л найдется г ж Х"и такое, что (!г"!! = 11!)Х)! в (Х, г> = 1 = ((Х(! ((Х(!. Так как Х рефлексивно, то (у, г">, где у ж Х*, имеет внд (х, л>, где (!х(! = ((г!! = !1()Х!! чь О. Таням образом, (Х, г> = = (х, 1> = ))Х!! !(Р!! = !!Л ((х(!. 13.21. б) Ортанормнрованная снстема в гнльбертавом пространстве.

13.22, 13.23. Васпользоватьсв теоремой 13.5. 13.24. Нет. Рассмотреть последовательность х (1) = 1» (и гв !и). 13.25. Пусть ег, еь ...— счетное всюду плотное в Х множество (можно считать, что его элементы лннейно незавнспмы), ܄— надпространство Х, порожденное ег, е, ..., е, гг, гз, ..., г„— рацполальные числа. Набору (и, гп г„..., г ) поставмм в соответствпе следующий функционал: ва Х„определпм его значеннямн ва злемептах базвса (еп Х> = гп а аатем продалнгнм ва Х с созраненнем нормы, Ясно, что мнолгество танях функционалов счет- но. Остается доказать, что оно зск>ду плотно в Не в сыысле з-слабой сходимости. 13.26.

Характеристики

Список файлов книги