В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Нет, Использовать аадачи 29 и 1.36. 2.!2. Нормы пунктов г) и д) задачи 1.38 эквивалентны норме пространства С'[а, Ь]. 2.24. Аналогично доказательству теоремы 2.2. 2.25. Пусть х„ ш Х вЂ” фундаментальная последовательность. Найдется номер и> такой, что при всех и ) и>][х„ — * [] ( 1/2, номер и> такой, что и> ) и~ н для Всех «) и> [[х хо ]](1/2 и т. д. Далеа рассмотреть последовательность шаров Ьд = У ,, х„ и воспользоваться задачей 2.2.
2.26. В силу задачи 1.5 последовательность радиусов г„является невозрастающей. Колит„-«О при и-« оо, то все сводится к теореме 2.2. В противном случае или г„стабплизируетсн н тогда все доказано, или г„— «р > О, г„> р. Тогда последовательность шаров с темп я е центрами радиусов г„— р так>ке является вложенной. 2.27. 51ожет, Пусть ед — — (О, О,..., О, д 1, 0,,), Хд- — (] ед.228. 5) Пусть $„фундалтеитальна в Х/Б, тога=-и да для лтабого е > 0 найдется А> такое,что для любого и ) у и дан любого >и > 1 выполняется неравенство [[$ л — $,!! ( е, Пусть ел = 2 д, ид таковы, что((г„+, — $« [[(2 д. Тогда [5« — 5« ]]< < 1/2 и найдутся х >и 5„, х се $и такие, что ]]х> — х,]! < 1.
Аналогично стРоЯтсЯ хд>и $и такие, что ]]хд — хд ]]< 1/2д Последовательность х, фундаментальна в Х, поэтому хл - х, >и Х. Пусть $о — класс, содержащий ха Тогда 4 — $~, а значит, я Ьч- $0. 3.9. Пет. 3.11. Вообще говоря, нет. Пусть рнд ~ Ь сход-.=л дятся п для выбранного е) 0 число М таково, что ~ д (е.
а=и+> Рассмотрим последовательностьх =/1, ...,1,0,0, ...).Тогда при ж, и > д> имеем ![х — х„!! ( е, но х не явлнется сходнщейся. 3.23. Строгое ввлючеипе возмоясно (если, например, ыножество 91 всюду плотно в пространстве В], 326. б) /,(>) = — 1, П(>) = — 1+ 1, />(>) = с' — ты+ 2. 327. б) />(>) ил 1, />(>) = 2> />(г] 4»> 2.
3.29. В качестве такой системы ыоя'но, например, выбрать хи = = ~1,0,0, ..., О, — 1, О, О, ...) . 3.30, Х = 314 — одномерное поди — ! пространство с базпсол> «и =(1 1,..., 1, 00, ...).332. Нет 3/и Аг « 207 могут даже пе являться лппейпыпп зшогообразияии, 3.33, В качестве М достаточно взять всюл(у плоти(н'. в пространства !з множество. 3.34.
Нет, Пусть, например, 51 есть надпространства пространства !. из аадачсз 3.30, Л' — одшзмерное надпространства с безлсом (С, О, О, ..., О, ...) Тогда, согласно а,(;ыче 3 30, М ~ 51 ссо Сз = — М Оз Д(. 336. 6) Л/х = (г(С) ш Ез[ — 1, 1]; »(С) = 0 пря с си О). э) Нет. 3.37. Нз предположения, чта алемеит х зн Н ортосоналел линейной оболачье, сделать вывод, что х = О. 3.38.
Дока- вать, чта М вЂ” х =[хснН: (х,хь)=О 4(и ч] ЗА1, Рассмотреть последовательность х„=(0,0,..., О, 1+ !/л,0,0,...~ ш Сз. л-1 ЗА2. Пусть для любого зшМ зыпалнястся неравенство (х — у, у — з] > О. Тогда ]] — х]]1 = ((» — у)+ (у — з) ( — у) +(у — )) - ]]х — у]]з. Обратно, если у зю 31 такоао, что р(х. 31) = ]]х — у]] и з ш 51, то длн лзобого Л ш[0, 1] ).у+(1 — 1.)з (к. з!1, следовательно, 1» — у]]з< ( ]рх — лу — (1 — Х)з]]з, откуда при )з ш [О, 1) (х — у, у — с) > — Н 1)]~у х]з и, УстРемлнЯ Х к 1, полУчаем тРебУемое 2 утвернсдение. 3.43.
Использовать аадачу 3.42. Предварительно рассмотреть случай хз = О. 3.44. Пусть Мз ~ Мз ~ ... — такая последовательяостзь аз ш Мз (У ш Х) — элемент с наименьшей нормой, существующей согласно задаче 3.40. !1спользуя выпуклость нограниченвость Мз, а также равенство параллелограмма, доказать, что последовательность ез фундаментальна. ЗА5. А„= (»(с) зи С[О, 1]с )]х~] ( 1, х (О) = О, х (1) = 1 при 1,'з( ( с ( 1].
42!. Пололты для х(с) ех /р [а, Ь], /х = х. Так как р > з, то (с) ]з ь(С а' .Ь вЂ” е -', (х"( ~ ]. (С( ~р ис < е з В нертеепгтве ! з ть Сера ! ь (Н03«) (с)ус =' (у) ~]/Н)]р "' (Ы)) ]у(с)] и е и р ч положим /(с) = ] (с)]' у(с) = =! р ь (р) []х(С)]зл(~ (Н)~у( (Н')~]х(С)]"'АС~ и и а или ь ]1 З [- Ь 1/ ы н Р (~)~'], Н)] с(с ~(ь — о)" ""~(м) ] ] (с) ]'Зс ~ е а т. е, ]!1(х)]! =. 66»(]. 4.22. Использовать задачу 1.4э. 4.24. соз(р / 3 — / з . 4.25, /((С) = — 1, /з(с) = С, /з(С) = 1 — ЗС',,Сз(С] = 9С ~сс 2 из+ 3 — 10(з 4Д7.
(Н'[е, Ь])з- — деуыерное надпространство с базисом х,(с) = е', хз(с) =- е-'. 41.28..(/х — одяоыерпое надпространство с базисом х(с) = зй(с — (а + ь),2). 4.29. мх — одномерное ссодпрост' Емз Лс рапстаос базисом х(с) ==-1. 43!. ((С) = ]с]. 432, х(с) = » = „=„ У 4.9. соз 4( = )6/и. 4ЛО. (Рз = и/2, йз = л,'3, (Рз = Язб. 4Л1. ПРи а чь 0 с" (и Е,[0, 1], р -з 1 для а > — 1/р, при этом 1('(,' (ра+ 1) пр.
Прп а = О х(С) ее 1 (и Ер [О, !] для л(обого р > 1 и 1 Н! 1. 4Л2. а) /з (с) = 1, /з(с) = С, /з(с) = Зсз — 1, 1,(с) =- 5(' — ЗС. б) / (с) 1, /з (с] = 2с — 1, /,(с) = бс' — 6( + 1, /,(с) = 20(з — ЗОВ+ 121 — 1. 4.!3. Нет. Положим ( 0 при ]с — 1/2] ~ 1,'л, „(с) 1 при ]с — 1/2]>1/л, еще, Тогда х„(с] (мА, во прн и-рьь х„(с) — х(с) ж ! фА. 4.14. Да. 4.16.
Выпуклость очевидна. Достаточно доказать, что мпозкество явлнется всюду плотныч в ыножестве всех многочленоз. Дзя про- извольного много жена Р(с) последовазельпость Р„(с) = Р(с) (1 — С") удовлетворяет условию Р„(!) = 0 (л(и М) п схо- дится к Р(() и!(и л -з. ее.
4.18. 4/х = (х(С) (и Ег[а, Ь]. 'х(Ц = 0 при С зю [е, д] почти ар, вс(аду). 4.!9. 51» — одномерное поднространство с базисом х (С) ='!. 203 14 и. л трс,ып . лю 209 $5 55. Множество элементов вила ((с(с) ш С!О, 1]( у(0) = О, О и; '< у(с) ~ 2 дзш л(обого с ш [О, 1]). 5.6. а) и* = Н2, р(хе, С) = 1/2. б) и" = с — !/8, р(хз, 1.) =- 1/8. 5.9. Воспользоаатьсн задачами 4.19 и 5.8. Р(х, 1) = 1/3. 5.10.
Васпользоеаться аадачаыи 3.30 и 5.8. р„(х, Ц = 1/]'л. 5.11. 0,25 прн л = 0; 0,9с — 0,2 прп л 1; 1,5Р— 0,6(+ 0,05 прл л = 2. эЛ2. Нерсш(гать указанное в задаче представлен (е з ваде 1 1 х (с) = ~ х(т) Зс+ ] К(с, т) х' (с) з/т, е в и казкдом пз слагаемых в правой части аоспользоваться неравенством Ноши — Буняковского.
Нрн этоы Кх(с, т) Ыт( —, о тасс что 1 ~12 1 4 !!.4)) .1 ( ) х (т) 411 + — ) х' (т) 471 ~ (— !,'.4]', + уз ~ ) ' ~ -[, 3 ' нс(2,1! о 5ЛЗ. а) «4 = 172, р(24, 1) = )3976. б) ир = С вЂ” !/6, р(зи 5) = = )2!0730. 5Л4. Ортоганалкзацпю базиса 1., состоящего из функций 1. с, Р, с', удобно выаосшить следующны образоы: первоначальный базис записываетсл в виде единичной ыатрвцы р, аатем первая строка р" переписывается в первую сгроъу ыатрпцы А — матрацы преобразованного базиса — и кормаруется. Последующие строки ыатрицы р" переписываютсл в строки магркцы А в соответствии с форыулами артагоаализацпп, причем всякий раз строщс нормпр)ются.
Кслда матрица А сформирована, вычисляется скалярное произведение х(с] на элементы строки, транспопировзнпой столбцу Й Умножая полученную строку па столбец матрицы А, получаем соответствующнй коэффициент мпогочлена наилучшего приближения. Скалнрные произведения и нарым в пространстве Нр [О, 1] вычисэяютсл обращениеы к соответствующей подпрограмме. Коэффициенты ыногочленов округлены до двух знаков после запятой, а вариантах с парачетроы ответ приводится ари а = О.
а) и'(с) 1,00 — 0.01с+ 0,37Р— 0,1!Р; б) и*(с) = 1,31+ 7,98С + 12,17Р— С4,6512; в] и*(с) = 200+ О 99с — О 2!Р+ 0 0514; г) и*(с) — — *оо!с-ьсл214 — '042!в!' д) ир (с) = 2,00 + 1.401 + 0,4411+ 0,164'1 е) ир (С) = 1.,00 + О,ЗЗС вЂ” 0,0911+ 0,0 4С' ж) и*(с) = 1,17 — 9,2444 з; 20,42Р— 13,82С' з) и" (!) = — 0.0!С б (ЛЗР— 0,42!'1 н) ие(С) 1,00 — 0,021 + 0.441'+ 0,09С' К] ир(С) = — 1,00+ 1,02С + 0,42С2+ 0,2811 5.!5. Основная програчвга осуществляется структурно по алгоритму, описанному в условии задачи.
Длл этого; 1) последователькыч абращесвпем и подпрограмчач сьалнрвых произведений заиочнлсотся матрица коэффициентов и правая часвь системы линейных уравнений," 2) проазводитсп обращение к стандартной аодпрограмые решения систем линейных уравнений; 3) полученные в результате решения коэффициенты ыногочленов ваиаучшего приближения выдаютсл на печать; 4) интегрированием вычисляются п выдасотся па печать величины!'г — иа!) п Св — «4)) ) 11!2,1! ' яв!е,)! 5) если построение графика не предусмотрено программой, выдаютсн на печать значопия х, ие, а*.
Пнтегралы вычисля!отел по формуле Спчпсопа, реализоваиноп в необ.адамыч местав цпк.шчески. Д.ся вычисления скалярных пропзведевпй в п!4острапствав Ьв [О, 1] и йн [О, !] заносятся по два оператора-функции. 1воэффнцпепты многочленов округлены до двух знаков после аапятой: 2!О а) ие(с] 100+ 1101+ 00212+ О !814+ 0!1с', «4(с) = ! 00+ + 1,101 + 0 62Р + 01811'+ 0 '! 1441 б) и*(!)' = 039 + 0,251 — 6,69сс + С4А4514 — 0,0!14, «*(с] = 1,00 + + 0,161 — 0,4,с —, 1„)!с', в) и" (С) = 100+ 1001+05!Р+О !11' з; 00714, «4(С) = 100+ + 1,0вд + 0,5 св+ О,!441 + О.О с', г) и'(С) = З,!ОС+ 0,47С2 — 7,14Р+ 3,574', и (!) = 3,!2С+ О,ЗОР— — 7,0214+ 3,5П4; д) «*(!) = О97 + 1,9! с — 40.6542 + 77,44314 — 38, 4444, «*(!) =1,00 ' + 1,091 — 3664Р+ 71,!111 — 35,551'1 е) и*(!) =- 0221 + !32св — 082с'+ 02814, «'(!) = О!2с л-168св ! 2914 (4 4814. ж) и.
(С) = 111 — 8921+ 203714 — !140Р + 0771', «" (!) = 0 О!]- + 1.449! — 13 Ь7Р + 9,98!' — О,б)141 з) и (с) = 1,001 — 0,1бс'+ 02!Св 005с4, «" (с) = 1001 — 0447Р-]- + 0,22с' — 0,06с', н) и*(С) = — 0554+ !281 — О„БР+0371', са(С] =-055+ + 1,29с — 0,58с' + 0.391' ь] и'(!) = 0193+ 2,1!БС вЂ” 2 114' + 38, ОР— 20,88С', «(С] =1,00(- + 1442с — 2035Р + 38301' — 2!Лв?с'. 5,!7. Коэффициенты мвогочленав пасглучшего приближения при и = 5 округлены до двух знаков после запятой; и = 0,31, е р(з, 1. ) = 0,38; и* (С) = — 0,17+ 0,961, р(.с, 1 )= 0,16; и*(с) =0,02 — 0,541+ 1,501, р(г, Е„)=0,03.
5.18. б) и.=9. в) Псп аи =О, 1Сш 6 =-2(л. и 4 5ЛО, Коэффициенты впюгочленов наилучшего приближения нрп и = !5 округлены до двух знаков после запятои: а) «4 (с) = — О,!2+ 35,284 — 502,37с + Вэ9,16с — 986,371 + -(- 394,55с; 0032 0612 0 24 004з, в) и, (с) = 1,021+ 0,68с —,' 1,04с — 0,4114-(- 0,51сз; г) и (с) = 0,991 — 0,194 + 0,28с — 0,1314-]- 0,0312; д) «П) =- 1,33 — 25,581 + 112,0412 — 172,921 + 84,4614; е) и,(!)= 3,101+ 0,481 — 7,!7с + 3,5844; ж) „(с) =-ОЛО+1,001+0,ЗОсз-и0,17сз-ьО,ОЗС4-].ОО!сз. з) и„(с) = О 441 — 1356с + 26201' — 240314+ 828с; л) из (с) .=-0,711 — 0,414 + 1,751 — 3,381 + 3,00свс к) и (С) =- — 0,54+ 1,301 — 0,69сз-(- 0,731 — 0,401' + 0,161 . 4 6 6.2.
Все трп пространства являются полныыл. 6.3. Функция и = ((р) долвкна быть монотонной. 6А. Функция и = 1(«) должна быть монотонной, а область ее значений должна совпадать с П. 6.5. а) Пространства неполное, его пополнение изометрично отрезку [ — л(2, я,'2]. 6) Пространство неполное, его пополнение изометрпчпо полупрямой (О, +оа). в) Пространство полное. 6.6, в) Ес- 14" 2!1 0(х и) [х у) то 0(х, 0) = 1)х[. Рзссмотрпы элемент х = = (1, 1, 1, .. ) (и л. Тогда '12х1( ~ 21(х.'1, поэтому порку ввести нельзя. г) х„= (1, 1, ..., 1, 0,0 ...). 6.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
