В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 30
Текст из файла (страница 30)
29.7. Доказать, что оператор А: Е'- Е* с х'+ Зх — Пг + 1 Л(х) =- является сильно монотонным оператором. 29.3. Пусть оператор Л; Х вЂ” Хь — сильно монотонный. Доказать, что Л вЂ” козрцптпвный оператор с 7(1) с(1) — ПЛ(0)П. 29.9. Доказать, что если оператор А: Х - Х* козрцптивен, то <х, А(х)> — +=о прп ПхП + 2910.
Доказать, что если оператор А: Х вЂ” Хв козрцитивен, то ПА(х)П - + ь> при ПхП - ьь. 12 ° 179 29.11. Пусть П вЂ” гпльбертово пространство, Л: Н— Н вЂ” оператор с С)(А) = П. Сформулнровать для А опредсленпя монотонности, спльной монотонности, коэрцп. тп в ности. 29Л2. Пусть А лп.х (Н), причем для любого х ~кН выполняется неравенство (Ах, х) > 7(х, х), где 7 > 0 — постоянная.
Доказать, что Л сильно монотонен и коэрцптивен. 29.13. Пусть оператор /(х), )': К- В непрерывен к монотонен на В и )(х) - ' прп х — л. Доказать, что уравнение )(х) 0 имеет в Й хотя бы одно решение, а если ) строго монотонен, то это решение единственно, 29.14. Проверить, что функция х' — 5 прп х( — 1, ~(х) = х+ 2 прн — 1(х(1, х+ 4 прп х>1 монотонна, стремнтся к + прн х- +", но разрывна, и уравнение 1(х) = 0 решений не имеет. 29.15. Пусть оператор С: К вЂ” В непрерывен к сильно лгонотонен, Доказать, что уравнение 1(х) = 0 имеет в В единственное решение.
29.16. Пусть фупкцпя двух переменных С(х, С), )'г Е'- К непрерывна на Е' и прп любых х, у, С ~я Й удовлет- воряет неравенству (х — у)(/(х, С) — ~(у, С)) >с(х — у)', где с > 0 — постоянная, не зависящая от С, Доказать, гто уравнение 1(х, С) = 0 определяет па Й едпнственную не- явную функггикьх = грК), непрерывную на В. 29Л7. Обобщгпь результат задачк 29.16 на случай, когда Сш Н вЂ” открыток плп замкнутой ооластп в Е". 29.18. Пусть непрерывная в Е' функция г(х, С) удов- летворяет неравенству ).(х, С) > с > О. Доказать, что спра- ведливо утвержденпе задачи 20.16. Н (у ~ )) 29.19. Пусть оператор .4 (х) =- ( ' ' "л) для любых Сг (~г' гг) l 'г'г х = ( ~ е= Е' непрерывен п удовлетворяет условию силь- ной монотонности (Х~ — г)л)(~~(ХО Хл) — ~л(Уг~, У ))+ (Хл —,г)л)((л(Х~, Х.)— — гл(уь у,) ) > с((х, — у,)л + (х, — у,)'), где с > 0 — постоянная.
Доказать, что уравненпе 180 Сл(хь хл) = 0 имеет для люоых х, ю В единственное решеппе х, = гр(х,) п опо непрерывно па В. 29.20. В условпнх задачи 29.19 рассмотрим оператор А,(х,) =/(хь гр(х,)). Доказать, что Лл непрерывен н сильно монотонен па Й. 29.21. В условнях задачи 29.19 доказать, что уравнение А(х) = 0 пмеет в Е' единственное решение. 29.22. Пусть оператор А: ~"- Е' непрерывен в Е' п сильно монотонен при с(С) =сг, где с > О. Доказать методом матеиатпческой индукции по Сг, что уравнение А(х) = = 0 пмеет в Е" единственное решение. 29.23.
Пусть оператор А: Е" — Е" непрерывен п лгонотонен. Доказать, что прп с > 0 оператор А,(х) А(х) + сх непрерывен и сильно монотонен с сИ) сС. 29.24. Пусть оператор А: Е'- Е" обладает следующим свойством: существует г > 0 такое, что для всех х с 1х1 > > г выиелняется неравенство (х, Л(х)) > О. Доказать, что при ИХ) > г справедлпво неравенство (х, А,(х)) > О (оператор А,(х) определен в задаче 29.23). 29.25. Пусть оператор А: Е'- Е" непрерывен, монотонен и удовлетворяет условию задачи 29.24.
Докааатгь что уравнение А(х) =0 имеет в Е' решение. Для этого рассмотреть операторы Л„(х) = — Л(х) + — х и, пользуясь резульгатамп задач 20.23 п 29.2л, доказать, что: а) прп и ы гл" каэ;дое уравнение А„(х) = 0 кмеет в Е' единственное решепне х.; б) решения х. удовлетворяют неравенству ((х„(! ( г (и БХ); в) существует подпоследовательность х„„ (й ~ )л() последовагельностп х„, сходящаяся к хл — решенкю уравнения А(х) = О. В задачах 20.26 — 29.38 на отрезке [О, П рассматрггвается краевая задача 2'хОΠ— )'(С, х(С)) = О, Ы"х(0) =балх(С) =О, 4=0; 1, ..., т — 1, с формальным дпфференцпалыпам выражением (лг > 1) Ы' (С) =- х'.. ( — 1) 90 (Рл(С) 'Ю х(С)). л-о Здесь!Ег = —,— оператор дифференцирования, коэффпцненты Рл(С) ю С(0, П Я = О, 1, ..., т), а функция )(С, х) непрерывна в полосе С м (О, С), хгп ( —, ). 181 Пусть Н"[О, Л вЂ” линейное пространство гп раз непрерывно днфференцнруемых па [О, Л функций со скалярным произведением О, ) - [[ Х*к'«> '"(О~ З.
1=-о (х (г) = х (г), у ' (г) = у (х)). Пополнение пространства Н»'[О, Л есть гильбертово пространство, называемое пространгтвотя Соболева и обпзпачаемое Н"'[О, [[. Элементы, присоединяемые к Н"'[О, Л при его пополнении, могут быть отождествлепы с функциями иа пространства С" '[О, Л, имеющими обобщенные проиаводные. Справедливо утверждение о вложении пространства Н'"[О, Л в пространство С'" '[О, Л, аналогичное теореме 4.1. В пространстве Н"'[О, Л рассмотрим подпрострапстео Й"'[О, Л (х(г) ОнН"'[О, Л: Ы"х(0)— =Ы»х[Л = О, у= О, 1, ..., пт — 1). Функция хП) ~н П [О, Л пазывается обоби)внньхв решениезз данной краевой задачи, если для любого г ы О ы Н [О, Л выполняется интегральное тождество т» а (х, г) = ~ ~з Р„(е) гз "х (О) Я)' г (г) Й;= ~ [(г, х (е)) г (О) Й. ΠΠ— О О 29.26.
Доказать, что прп каждом х~Н"'[О, Л выражение а(х, г) является ограппче1шым линейным функционалом относительно гыП"'[О, Л и, следовательно, представимо в виде .(,.) =(,.)к,„„А — (А,г)„»д „. О 29.27. Доказать, что А ен Ы (Н»' [О, [„Н'" [О, Ц), где оп ратор Ах = х определен в предыдущей задаче. 29.28. Пусть существуег посгоянная а) О такая, что для всех х<~Н"'[О, Л выполняется неравенство а(х, х) ) .['х',~ Испольауя задачу 29А2, доказать, что оператор А сильно монотонен, 29,29. Доказать, что для любой функции )(С) Ов 1,О[0, Л ) ) (1) г (г) Й о является ограниченным линейным функционалом относио тельно гы Н"[О, Л и, следовательно, существует единого венная функцпя у ы Н»'[О, Л такая, что ) У (') г (') "' = (у г) н М О о О 29.30.
Рассмотрим в Н [О, Л уравнение Ах=у, где А, у определены в аадачах 29.26 — 29.29. Доказать, что в предположениях вадачи 29.28 зто уравнение имеет единственное решение, являющееся обобщенным реп|енпем исходной линейной краевой задачи с [(1, х) [(Г). 29.31.
Пусть по = 1, Р,(О) — 1, а норма в Н'[О, [[ порождается скалярным произведением (х,у),, =) х'(1)у'(1)Й. о Пусть с'(г, в) — функция Грина для оператора Штурма— Лиувнлля Ух = — х", х(0) = х(Л = О. Доказать, что уравнение, введенное в задаче 29.30, является следующим линейныи интегральным уравнением Фредгольма 2-го рода[ .я+~'С(с, ) .(.) (в)А =-5С(г, И()А. о о 29.32. Доказать, что при выполнении условия аадачи 29.28 скалярное произведение в П'»[О, Л моя но аадать формулой (х г)кт = а(х, г). 29.33.
Пользуясь задачей 29.29, доказать, что исходная линейная краечая задача (прн [(1, х) зз[Г)) имеет единственное обобщенное решение х = у, где у таково, что ) )' ([) (С) Й =- (у, г) и»,„„, о 29.34. Доказать, что прн каждом х~к Й (О, Л выраженно ~ у (г, х (г)) г (г) г(г о является ограниченным линейным функционалом относптельно г ~ Н (О, Л, н, с.'тедовательно, существует единсто венный лпнейный оператор Ф(г), отображающий Н"(О, Л в себя и такой, что ~ 7(г, х(г)) г (г) озг = (Ф(х), г)л„,)о П. о 29.35. Пусть в предположениях задачи 29.28 для всех х„х.,аа ( —, + о); Са (О, Л выполняегся неравенство (7(г, х,) — 1(г, х,))(х, — х,) « О.
Доказать, что оператор г(х) =А — Ф(х) сплыго монотонен и, следовательно, краевая задача лмеет единственное обобщенное репгепие. О 29.36, Пусть П вЂ” и-мерное подпространство в Н"'(О, Л. Галеркннское прпблнженне х„ю Н„обобщенного решения исходной краевой задачи определнм как функцню, удовлетворяющую для любого г. ~ Н„интегральному то,кдеству ( ., =о) = (7 (г, .), г.).,пчп. Доказать, что существует едппствеппое галеркпнское прнблпженпе х„.
2937. Пусть(зрл(г))),'=г — базис в П.. Доказать, что пнтегральное тождество для г= 0 н ( =) (сч. задачу 27.8). Положим о-1 х -г = хз 1лоз. (т) л=г а) Вычзклпть длп этого случая а (озю ез„) н (У оз )сьп(4 зп=! о и () б) Написать галеркпнскую спстему уравненнй для в) Доказать сходнмость схемы н оценпть порядок )хо — х )нзмл, (В задачах 29.37 и 29.38 завнснмость базпсных функции (гул(г))„",п координат дл)" от размерностп п подпрострапсгва П.
не обозначена.) х„= ~о ~,зу -1 равноспльно следующеп системе уравнений: о 7 ! о ~ а (гул, гр„) оьл = ~ 7 ( г, ~~э~ полоз т = з, 2, ..., л. 29.38. Пусть т = 1, 7(г, х) =— /(г). Рассмотрзгм подпространство линейных сплайнов, обращающнхся в нуль прп )зз Глава 8 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМУМОВ И ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА $ ЗО. Необходимые условия вкстремума функционала Пусть ~р(х) — функционал в вещественном линейном нормированном пространстве Х, определенный в окрестности Я точки х,. Говорят, что гр(х) достигает в точке х, локального минимума (лгаксимума), если найдется окрестность Я,сЯ точки х, такаЯ, что ~Р(х) ЭоР(хо) (Т(х) = ~ ~р(х,)) для всех хев Я,. Если ор(х) достигает в точке т„ локального минимума нлн максимума, то говорят, что ф(х) имеет в точке х, локальный экстремум.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
