В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Пусть Е(х) — нелинейный оператор, определенный в окрестности Я точки х, банахова пространства Х со значениями в банаховом пространстве )г. Если прп всех Ь он но Х существует предел у (ео + гь) р (е') = бЕ ( ' Ь) о о $ то этот предел называется первой вариацией оператора Г(х) в точке х,. Если бЕ(х,; Ы АЬ, где А ~2'(Х, У), то говорят, что оператор Е днфференцируем в точке х, в смысле Гаго и А = гр'(х,).
Теорема 30.1. Пусть функционал ц(х) определен в окрестности точки х„ достигает в точке х, локального экстремума и имеет в точке х, первую вариацию Ьр(х,; Ы, Тогда Ьр(хо; Ы = О. Следствие. Если в условиях теоремьо 30,1 пространство Х банахоео, а функционал ц(х) дифференцируем в точке х, в сгвысле Гаго (Фреше), то гр'(хо) О. В классическом варнацпопном исчислении в качестве Х берется пространство С((„(,) непрерывных на отрезке [г„(,) функция х((), удовлетворяющих условиям х((,) о - х(г,) = О, илп пространство С"((„(,) п раз непрерывно дпфференцпруемых на ((о, 1,) функций хН), удовлетворяющих УсловиЯм х'м(оо) хи'(1,) 0 (А=О, 1, ..., и — 1), (бб При етом рассматриваются функционалы ц <р(х) = ( Е(),х,х') дг, о ц гр(х, у) ) Е(о, х, у, х', у ) дг, ~о ц(л) = ~Е((,х,х',х",...,х'"")й.
(3) о Экстремум функционала тгазывается сильнылц если окрестность Я„в которой выполняется неравенство, нонна мается в смысле пространства С()„О), и слабым, если она о понимается в смысле пространства С"(о„о,) (и > 1). Если функция Е в (1) — (3) является достаточно глад- кой, то вытекающее нз теоремы 30,1 необходилгое усло- вие экстрел~улга имеет впд: для фупкц>юпала (1) — уравнение Эйлера л е Ф Е„вЂ” ~Е„, - О, для функционала (2) — система уравнений' Эйлера о Ео *' — 1 (5) для функционала (3) — уравнение Эйлера — Пуассона Ä— -Е„+ л ń— ... +( — Ц" — „Е„,„,-О.
(6) ег Еоа Функция пли пара функций пз рассматриваемого пространства, являтощаяся решением (4), (5) или (6), вазывается экстрел~алью; существование зкстремали, вообще говоря, не гарантируется. Если экстремум функционалов (1), (2) или (3) ищется в классе функций, удовлетворяющих неоднородным граничным условиям хО,) х„х(з,) х, (7) или х' ' (го) = х~ о, хоо (г,) х1'~, Ь = О, 1, ..., и — 1, (8) Ч "от то неоотодпмые условия (4) — (6) сохраняют силу, а удовлегаоряющая соответствующему пз уравнений (4) — 03) экстремаль должна удовлетворя ~ ь ти; т е условиям (7) нлн (6). Пусть кривая х=хП) являессп решением еариационной задачи с подеихеныки грани(агни, т. е.
реалпзует экстремум фупкцпонала Ч ( ) ) л Г ( ( ) г т средп всех кривых у класса С', соедппяющпх произвольные точкп двух данных гладких кривых х=/,(Е) я х=- 1,((). Из теоремы 30.1 вытекает, что для нахождения экстремалей в задаче с подвпжпымп границами паде: 1) составить п решпть уравнение Эйлера (4), получпв семейство экстремалей х =)((, С„С,), зависящее от двух параметров С, н Сь, 2) пз условий трансеерсальноеги 1 "'+ 0' — ') Г.'11, = О, [Г + О,; — ) Г.',) (,=,, = О п из уравнеит) )'(С., С„С,) =),((,), ((Со С„С,) =(ь((,) определить точкп г„г, и постоянные С„С.. Пусть кривая у реализует экстремум функционала с, ~р(х) = ~ Г((, х, х') дг, ~а удовлетворяет граничным условиям х(г,) =-х„х(с,) =х, и является кусочно гладкой, т.
е. может пметь скачок производной (углоеую точку) в некоторой точке т (г, ( Ю (т(г,). Тогда Г„,„)~=,=0 и пз теоремы 301 вытекает, что в угловой точке экстремаль должна удовлетворять уелоеиягэ Вейериьтраеса — Эрдлана Гт 1~=т-о — Гв 1~=т+о = О (Г ~Г„',)!...— (à — ~Г„',)~, „,=О. (О) На кал дом из отрезков (го т) и [т, с,) экстремаль должна удовлетворять уравнению Эйлера (4). Возникающие прп решения (4) четыре произвольные постоянные мол но, вообще говоря, определить пз граничных условий, условий непрерывности экстремалп и условий (9). 188 Пусть функция х = х(() является решением иеонеримеграчееной гада ~и на условный экстремум, т, е, реалпвует экс тремум функционала 0 ср (х) = ~ Г ((, х, х') аг сд прп грапкчкых условпях х(с,) х„, х((,) =х, н условвк 0 ф(х) = ~ 6(с,х,х')д( С.
'а Из теоремы 30л1 вьпекает, что для определештя зкстремалей в нзопернметркческой задаче надо: 1) составпть функцнонал Лагранжа Е = ~у +)лр; 2) составпгь п решить уравнение Эйлера (4) для функционала сь получив семейство экстремалей х = -)(г, фф' ),); 3) определить постоянные С„С, н параметр ) из граннчпых условий н условпя ф(х) С. 30.1.
Доказать, что всякий снльньш экстремум функционала (1) является одновременно и слабым вкстремумом. 30.2. В просзрапстве С'(О, я) рассмотрим функцпонал л ср(х) ) х'(1 — х )аг. э а) Доказать, что слабьш мпнимум ср(х) достигается на функции х = О. б) Полагая х„(Г)==з(п нг (и ю % убеднться, что на и функцпн х(г) = — 0 сильный минимум ср(х) не достигается. 30.3. Доказать, что для функционала й ~р (х) = ~ Г (х, х') йг о уравнение Эйлера (4) может быть заппсано в внде à — х'Г, =С, где С вЂ” пропзвольпая постонпная. 30.4. Найти акстремали функционалов в классе глад- кия кривых: 1 а) ср (х) = ] (хв + х' + 2хе') й, х (0) = 0,5, х (1) =- е; о а б) ср (х) = ] (121х — х') й, х( — 1) = 1, х(0) .-- О, -1 В) ср(х) =) (х !-2хх + ха)с(1, х(!) = 1, .т(2) =е' 1 е в) ср(х) =~(ях + хс')й, х(!) = О, х(е) = 1; 1 1 д) р(х)= ] хх" й, х(0) =1, .
(1) =! 4; о сс е) ср(х) = ] (4хсоя1+ х" — ха)111, х(0) = х(п) = 0; о ж) ср(х) ] (х' — х-') й, х(0) = х(2-с) =- 1; о з) ср (х) = ] !21х + (Р + е") х'] й, х (1,) = х„х(1,)=х, 'о 1 и) ср(х) = 1 (е" + 1х') й, х (0) = О, х (1) = х,; о л а к) р (х) = ] (х' — ха) й, х(0) = 1, х(" ) 4/ 2 1 л) ср(х) = ) (2е" — х') й, х(0) =-1, х(!) =- е; а вс) ср(х) = 1 х'(1+ Н.г') й, х(1) =-3, х(2) = 1; 1 н) ср(х) = ] а й, х(0) =-2, х(2)= О, х)О; ' 1с1+ ' о с, о) ср(х)= ) р' 1+ х' й, х(!а) = !о, х (1с) = рв. со 190 30.5.
Найти акстремалп фрнкционалов, солерн агцих старшие производные: 1 а) ср (х) = — ] хан й, * (0)=х (1) = О, х'(О) =е!, х'(1) =1; а 1 б) ср (х) = ] (х' + 2х' + х"') й, х (О) = х (! ) = О, х' (О) = о = 1, х'(1) = — я)с 1; в) ср(г) ] (г+ х') й, а(са)=-х„х(1с) = г,; х'(га) х,, са х'(1в) = х,; г) ср (х):= ] ( х' + хх") й, х (!а) =- х„х (Сс) =-х„х' (! ) = 'о =та х (!с)=ха с д) ср(г) — ~ ~-., г"а+ 21с) с!1, с( — е) = с (с)=х'! — е)=- =х'()=О; е) ср(т) = ~ (*"а — х' с 1')й, х(0) =-1, х ® = О, о , х'(О) = О, х $) = — 1; о ж) ср(х) = ) (240х — х"') Й, х( — 1) =1, х(О) = О, -с х' ( — 1) = — 4,5, х' (О) = О, х" ( — 1) = 16, х'(О) = 0; 1 э) ср(х) = ] (х" + х"') й, х(0) = О, х(1)=яЪ1, х' (0) = о = 1, х'(1) = с!в 1.
30.6. Найти экстремалп функционалов, завпслсцпъ от нескольксст функций: Л 4 а) ср (х, у) = ~ (2у — 4х" + х а — у ~! й, х(0) =О, х(4 ) = о -1, у (О) = О, у ~ — "] = 1; б) гр(х,у) = ~(21х — х'+ З )г)Г, х( — 1) = ", х(1) =- — 1 О, у ( — 1) — — 1, у (1) = 1; г ),, (, у) ..—. ) ( '+ у" — 2 у) й, х(0) = О, *Ь) =- о 1, д(О) — О, д(-."в) =1; г г) <р(х, у) = ~(х'+ ц'+ 2х) й, х(0) = 1, х(1) = 1,5 о у (О) = О, у (1) = 1; д) <р(х, у) = ~ (2ху — 2х' + х' — у' ) й, х(0) =.
О, о , (" ) = 2, у (О) = О, д ( †" ) = О; 1 е) <р (х, у) = ~ (х г + у г) й, х (0) =- О, х(!) = 1, у (0) = =О, у(1)= 3. 30.7. Пусть подан кные грагпгцы для функцпонало гр(х) задаются уравиенпямп 1= а и 1= 5. Используя теорему 30.1, аанисать необходимое условие акстремума функционала и найти зкстремалп, если: иг а) гр (х) = ) (х — х г — Зх з1п Е) й; о ип б) гр (х) = ! (х" — 2хх' — 10х') й.
о 30.8. Записать условие трансверсальности для функционала г, гр (х) ~ еогсгии ~/ 1 ! х ой "о если х(1,) = х„а точка (ро х,) может перемещаться по кривой х = гу(1). 30.9. Найпг экстремалп функционала (х) ~ (.г г) Й о 192 если х(0) = О, а другая граничная точка может перемещаться по прялши е = л)4. ЗОИО. Паьтп акстпемалп функционала г о~о+ и' о если х(0) =О, а точка (г„х,) может перемещаться: а) по прямой х=г — 5; б) по окружности П вЂ” 9)'+ х' = 9. 30.11. Методами вариационного исчисления найти расстояние: а) между параболой у = х' и прямой х — у = 5; б) от точки А(1, 0) до эллипса 4хг + 9у' = 30, 30.12.
Существуют ли решения с углозымп точками в аадаче об экстремуме функционала: а) гр (х) = ) (х' + 21х — х") й, х (1о) = хо, х (11) х,; го б) ар(х)= ~ (и' — бх") й, х(О) = О, х(2) = 09 о 30.13. Нанти решение с одной угловой точкой в задаче о минимуме функционала: а) гр (х) = ~ х'г (х' — 1)' й, х (О) = О, х (2) = 1," о 4 б) <р (х) = ) (х' — 1)' (х' + 1)' й, х(0) = О, х (4) = 2 о 30.14. Найти решение с угловой точной в аадаче о минимуме функционала гр(х) = ) хг(1 — х') й, х( — 1) = О, х(!) =1, -1 ЗОИ5.
Найти зкстремалп пзоперпметрпческой задачн: 1 а) гр(х) =) (х'+х ~) й, х(0)=О 5, х(1)=спрн условии а 1 2хе'Й = о Р Р. Л. Троиагиы и ир. 193 о) гр (х) = ~ (х' + 1о) Й, х (0) = х(1) = 0 прп условии о ~ х' (1) Й = 2; о в) гр (х) = ~ х" Й, х (0) = 1, х (1) = 6 о прп условии 1 )хЙ=З; о г г) гр(х) = ) х' г(1, х (0) = О, х (1) = — , о прн условпп (х — т')'Й = —, 1 12' гр (х, у) = ) (х" + у' — 4(у' — йу) Й о 1 прп )словно )(х" — 1х' — у') Й = 2 и граничных условно ях х(0) = О, х(1) = 1, у(0) = О, у(1) = 1.
30.!8. Найыг экстремаль функционала гр(х, у) = ~ (х™ + у") Й о прп налички связи х'+у'=Л' и граничных условпят х(0) =)г, х(1) О, у(О) = О, у(1) =Л. ЗОЛЗ. Е(аггтгг экстремаль функцпонала прп налично дифференциальная связи: / 2 а) гр(х,у) = ) [ — ", — 2)ох"-)Й, х(0) = О, х ( — '",) = 1, о о'т прн условии,— „= 2у — 41х; 194 о ЗОЛ6. Среда кривых данной дгыгны 1, соединяющих точки А(с„хо) н В(1„хг), найти ту, у которой центр тяжести лежит наиболее низко. ЗОЛ7. Найти экстремаль в изопериметрпческой задаче.
об экстремуме функцлонала 1 6) ц(х,у) — — — [ (хо+у')Й, х(0)=0, х(1)=1, о Вх прп условик — ' = у — х. вг 30.20. Нусть А — самосопряжепный оператор в ве. щественном пгльбертовом пространстве 1!, у ы Н вЂ” фиксп. рованный элемент. Доказать, что необходимое условие экстремума функционала гр(х) сводится к уравнению: а) Ах = у, если гр(х) = (Ах, х) — 2(х, у); б) х+ Ах = у, если цг(х) = (Ах, х)+ (х, х) — 2(х, у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
