В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 41
Текст из файла (страница 41)
сг(х) — р(хо) = р'(хо) (х— — хо) + о»(с хо) (х и у), гле Ью(Ь)'( = а(,(71(() при Ь 0 вследствие дафферекцпруе»ю» и р. Палее, 6(1) — с(зо) = с (зо) (з — г) + 6( — г») (хтв 2), гте 1(5(р) 1, = о((е!) лри д-ьО вслс 1- ствпс»тлфференцнруочосгп 6 По тогда в нсьоторой окрестности точкп хо (сг е 6) (1) — (Р о С) ( о) =- Г(6(с)) — Р(6(гЛ) = Р' (хо) М Х (С(1) — 6(со)) чд г~»(6(с) — 6(,)) = Г'(хо)6'(зо) + Р(1 —: ), где р(1 — го) = Р'(»о)5( — го) + ю(6(о) — 6(зо)) и ~)р(2)() . (1„, 5) = а(12!)арпи-оО 23!3.
Е'(» ) Ь вЂ”. 2(х,Ь), 6'(х)!»=, ('1 1) 1 — с» прп х» чь О. сз ' 23.!8. а) !'(1,1,1) =.",! 2 ЗЬ б) Р'(!) — — () 0~! ( — З !! З вЂ” 1~/З' 0 — л» (! ,'О! (г ) ( (, »76, (С„) 1' 23,2!. а) !П(ио) = соо о!и х! 0) Г'(и») = з1п соз х! в) р (0) = ! ', ,) р:(о) '= ! + к 23.22. Р (а) — Р ( ) = Ь ( ) — ~ [! (, з, аз ( ) ч ! ( )) — ! (' ' со ('))] "х* а 235 ( ] ' — '(Ц ) ~™ гй (') де. Патегрпруя )равнснне о ) )г (и] де = соз х о ог н)ля до л, получим и — 2йп=О, и=) й(е)де, о 23 36 ъ[Г хд] (г) = х (1)) К(г, е) д (е) де+ 1 д (с)~Е(1 е)х(г)д, ! ] [дз — Гхз ге = 2Гей — Гха Аз=2Г йт 2338.
а) дд [г„, 5) = йе -1- 4 Соз С да Г' ( „, 7) = з!и (1+ 7 л72) Х хйа, д ". 2. мч з)п (1+ йл(2) б) Г(х +4) = з!пг+ ьи х 4 сов !+ У Ь! (га. 23.39. Прп 2 чь -1(2 и = 0 и 4(х] = соз х, Прц 3 — 1(2 А(х) = со. х + + Сап х, где Š— произвольная постоянвал. 23.24. Согласно ,'д " г асно задаче 2312, д6 [Г(х, + 6(ха — х )] = Г'[х, + 6(х, — хе)) (хз — х ). Пптегрнрув зто тождество по [О, Ц. получаем формулу Лагранжа. 23.28. Првменяя сначала формулу Лагранжа для Г, з затем словне Лнцпцща для Г', получаем )', Г (х ) — Г(г„) — Г' (ги](х — х, ) [) < <".) [Г (х + В(, — х )] — Г'(гт)[дО )) — „)[м; [ ~о 1 1 < ()]Г(»а+6(г,— х)) — Г'(х,))деег,,!.=(1928;- — х,)з= о о 1 = 21[]х — х [т. 2ЫО.
Преть х =- (га]~,, с ж и ))х))< с, пУсть 37= зпР [1 » тоеда [(и(г )) < 32 (и ем М) и, следовательно, Г(х) ж ~в. По формуле Тейлора прп хе = [хо! ж а]а=а 1 (х) ! (хо) 1'( о)( о) 1 - ~ ~1„'(4+ 6( „—,',)) — 7.'(хо)) дв( и — и„). о Нследствне равносгепенвой непрерывноств 7'„правая часть последнего Равенства есть а ([ х„ — хо ) ) пРн хо -ь хо. Следовательно, Г' (.
) 4 = (1, (*7) д, У, ( ",) 7 а ) 23.3!. ь [. ~дФ(С г,(Г], хи(г]) д!'(С х (Г) хо(П) о дх дх' и 236 Повторггть рассуждеппя довазатезьства теоремы Абеля. 23.42 11 = ((и„хг) ж К: )х,гг] < 1). р, = 1. ь 234г4. Г[х +й)=-Г [х )фй(г]+ '] К(г,е)е ИЬ(е]д + а Ь вЂ”; — ~ ' ~ К(г,.).*"ОФ)дн Эг), и 2346. Прн х(г) ы С зпр ) гх (с] [ < зпр ]ге "'[ . 5х1„= (ие) — '!)х(]„< [о, ь > (о.
-, 1 нрн ((х)!» < ае. Следовательно, )(Г (и] ))а < ]] .г!! 1 — (пе) т ]( х !] $24 24.3. а) Воспользоваться теоремой Лаграяжа н теоремой 243. б) С помощью теоремы Лагранжа доказать, что для 1(х) существует обратная фуньцля. Далее воспольюваться теоремой 24г1. 244. г = О,'~5 24.7. ! = — 0,75. 24.8. з) Еи = 0,00, Е~ = 0,92, Ег = 1,55, Еа — 2,02, Ее = 2,42, Ее = 2,79 Ее = 314, Ег = 3,4Э. Ее = 3,8Ь, Ге = 4,26. Е;и = 4,73 Еп = 5 36, Ем = 6 и8 Е, = Е [ —,) (уг = 1:Т вЂ” — [12 ) =- О.
1, ..., 12). г) Е(Т,бг] = 1,81 прп е = 025, Е(Т,'!) = 202 прн е = 0,5, Е(Т(4) = 2,18 прв е = 0,75. 24.9. в) Про З =- 2 хи — 0,00, х~ = 0,10, ге = 0,22, хг = 0.35, хг = 0,49, хе = 0,64. ге = 0,81, хг = = 1.01, хе = 1,25, хе = 1,51, хм =,ОО, хи, = х(тПО), ги = О, 1, ... г , 1О. 24.10. Рассмотреть фзнкцнго Дх] = х — —.(х — а) н убе- 2 датьсл, что она является сжп»ающпм отображеннем [и(2, Ц в себя.
24Л1. Предел равен 1+]2. Рассмотреть фунвцвю 1(г) 2+ +1;и н убедоться. что она является сжпмающнм отображевнем [2, 3] в себя 24.19, Рассмотреть отображение Ф: К вЂ” «К, Ф(х] = = х+ л~2 — агс!Ех 24.20. Пусть гр: ()- К вЂ” вещественная фувкцвя па (), определенная равенством ф(х] = )]Ф(г) — х)), х ем 4). 237 и Ли — з ()К(!.и [! 'с! ) <1 х» (с) = К е хр ~ — [ х (г) дг~, следовательно, с ( а и е»п~ г|[ р о о э Так как Ф вЂ” непрерывное отобрэжсппс, то ер непрерывна. В силу бикомпактности () функция ф достигает на 4С наименьшечо зпа гения а > 0 в некоторой точке хг си чс.
Если а » О, то ср(Ф(хе)) =- ПФ(Ф(хе)) — Ф(хэ) |! < ||Ф(хе) — хо|! = ср(хе) = а, что пропсворсчпт определонпю а. Поатолсу а = 0 и х, — кеподвгпкпая точсса Ф. Отображенка Ф может и пе являться сжимающим — расслсотрсыс Ф(х) =е!их для хш [О, п(2]. 24 23. 5) К„(г, с) =гс(З" ', с((г, с, ) ) = Згс((3 — Л). в) При Л ть 3 решение имеет впд х(г) =((г) + ЗЛ С + в-' Л ~ гс((с) Лс.
24,28. Оператор ф = Ф'" имеет единственную о неподвижную точву х». Но ф и Ф перестановочны на ср, поэтолсу Ф(х») — тассже неподвижная точка ф. т. е. Ф(х") = х». Если х— еще одна неподвижная точка Ф, то ф(у) = Ф" (х) = х, т, е х = т» 24.31. По формуле Тейлора ((х ) (('.)+К(х.)(х» — )+ — 'С" (5 )( * — ) Отсюда гЕ хит — х» < (г х»П 2и + ('(0) (х* — х,) и, следовательно, 0 < хэ — х* < |((хе) |/т. Отсюда по индукции устанавливается требуелсэя оценка. 24.33. Если х = = (хь хь ...) еи П вЂ” неподви'кная точка дли Г, то, так как ||К(х))! 1 для всех х си Сг, |!х|! = 1. Из условия х = Е(х) с.ссдугг, что х~ хг = ...
О,— противоречие. 2гг.34. б) Нспрерывкосп, оператора Е вытекает из кепрерывногти функции ((с, х) п воэмо,кности предельного перехода под эпаьом интеграла прп рэвколсерной сходимости, полная непрерывность вытекаег кз оцснои ]Г(х)| < |хе| + ь)се|, )Г(х)(с) — Г(х)(сг) | «ь[с~ — с| и тсоРсыы 15.3, в) Воспольаоваться теореыой 24.4. г) ((с, г) =- г'х (се = сз, хе = 0).
24.35. а) Пусть х(с) — решение красвоп задачи. Тогда пэ дифференциального уравнения находим где постоянные К, Е, М определяются из граничпыт условий, чсо приводсп кинтегральному уравнению. Обратно, если х(с) С[О, !| есть регпение интегрального уравнения, то опо удовлетворяет ьраннчным условиям и дифференциальному уравнению. б) Пусть |х(с)! < г |а|+ |Ь|+ |с — а — Ь|, тогда и |Ф(х)! < |а|+ + |Ь! + |е — а — Ь! г.
в) Пз пункта б) следует, что мнояссгтво функций у(С) = (ср(х)) (с) ограсгичено. далев проверяется, что |у(сг) — у(с>)| - ||Ь! + 2еы';с — а — Ь]] |сг — с,|, 238 огьртз след!от рэвкогтскгкпээ пспрсрывиогп, функций этого ыно;ш ~ твг. 24.36. Условно обеспечивает существование ровно двух поло шпельных решений г»«, г» (и |! К (! )л си-лс уравнения ||К:,!г" +,",у|! = г, 1Пар ||х|! < г» оператор Ф отобрав.эсз в себя, как и шар ||х|! -"' г".
В первом . шаре Ф является г" с:ссатлсслс, пбо в нелл!',Ф (х') — Ф (э") 1-, )! К! и г„" !)е' — х" )! и !Л( ° и.г» л < 1. Во втором шаре Ф вполне непрерывен как прокзведеппо вполне еп; з , . е н.прерывного лилейного интегралысого операч 23.4 . зара и ограниченного йелсспейлсого оператора (ель задачу . ). (с) = Л эш с, поэтому Л удовлетворяет х5.7.
ааметпм, что х,, = уравнению Л .†. — — [Л вЂ” + Л вЂ” 1,корень Л = 0 не падтодлт и, сле- , Л =- —, х(С) =- —.эго С ().~0). 258. Кроме ро- 2 — Л 2 — Л доватсльно, Л =- ), х адаче 25.7. интегральное уравнение при любсгх Л нмеш репгсккс х(с) О. 25ЛО. Решение ищем в эидс ( р е 0] х(с) = хэ(с) + ехс(С) + 0(сг). ДлЯ хе(С) и х,(С) имеем аа- дачи *„(0) = х, (1) = (» о э о о соэх =.юэпс, х (0)=х (!)=О ° Отсюда хе(с) = — 0 хл ( ) - э ссэ — 1 б) —, =- (1 — гф (хИ ф (х)' да Ьс дх, Д индукции позучаются требуемые п.уда — = ф х) д .
алее по . е, степе о мулы Тейлора. 25.14. Рассмотрим всп- оа ' е(ф(х) Согласно задаче 2511 в) ыогатеаьное уравнекпе х =' а+ с . х . его решение дается рядоы аэ дл 1 ! 1 1 х (...) =,~ , уь- — [ — 1. г.г Л! д А-Л | ф (а) г — 0 получаем искомое решение прп а= А=л п ~ 1 С, = Гз = О, као мкогочлсп персей степспп поест кс более о спаго пули. 27.8. О) Ты, =- у', далее для любого х я!!'[О, Ц с 7 с = О выполнено условие оргаганальпосзп (см, а,|дачи 27.3 п 27.2).
27Л2. См. указазше к задаче 27.7. 27Л3. Достаточпо заметить, что АТ-'(х) = Ахе А- АХ(Т), где хо ш Х таково, чта Т.тг =- х. 27Л4. Аффпвное мпагообразке АТ '(х) является залп;нутым выпуклым мпожествозг. Элемент у, реалпзующпй расстояпае от 0 до АТ-'(т), прппадлежпт ему. Следователыю, существу~т т такое. что Аг = у, Тг = х. 2713. Пусть сс„,(с) ш Аде(Т) (т ш Х) и у„,(с)— -- уг(с) (т-л са) в йс[0, !!. Напдстся х„,(С) ш К(Т) такое, чта х„, (с) = уы(с). Отсюда х„(с) = ) (с — ) с „, (г) А — — ~ (С вЂ” ) .,', (л) л' (яа х„, си К(Т) следует, в частности, что х„,(0) = х„,(!) = О). При псс-в аа х,(С) е ха(С) ш )У(Т), т. е. ур зп АД(Т), 27ЛВ, Дваяды проинтегрировать г (с), а произвольные постоянные определять из требования гг(с,) = хь ы(сты) = хыь 27Л7.
в) Запишем систему в виде Кр ! с спмметрэчкой матрпцсй К. Пмесм и ('») =:«~ 6'[3+6 — )' с=1 где Ос = 3 = О. Если Кр = О, то отсюда 3 = О. Следовательяо, с1е(К чь О. 27ЛВ. [Аг, Аг) = ) г (с) гг (с) Ас = а и — г (с) гг (с) Ас .—.— Чч ~ г (с) Аг' (с) = л=з с '=' с л-1 з-1 и с и с. = ~ г (с) г' (с) — ~чд„~ г (') Агг(с). л=л с=л с. з-З ч-1 гг Но гз — постоякиая — третья производная г,(с) яа [с, з, с,), сс а ) г'(с) Ас г[с ) — с[с,. ) =-О,пбо Тг = О. Позтому(Аг, Аг)=- = гз(С) г' (1) — га(0) г (0) =0 вследствие условия 4), $28 28.2, Воспольаоваться сцепками !сх„-Р х(! ( )[х — х1+ [!х— — Р„х!!, !!х„— х)! ( !!х„— Р„х)! + !!Р„х — х(!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
