В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 16
Текст из файла (страница 16)
о 16.7. Доказать, что оператор ортогонального проектирования в гпльбертовом пространстве вполне непрерывен тогда п толы<о тогда, когда его образ конечномерен. 16.8. Какие из следующих операторов, определенных )<ля х= (х„х, ...) ~) с областью значений в )п вполне непрерывны: а) Ах=(О,х,,х„...); 99 б) Вх = ~х„—,', —,', ...): еа хз в) Сх= — (О,х<,—., ~, ]? '"<' а' 3' ' '' 16.9.
Доказать, что оператор вложения: а) 1< С'[а, 61 -'- С[а, 6], lх = х; б) 1: Н'[а, 61 -~С[а, 61, lх=х вполне непрерывен. 16ЛО. Будет ли вполне непрерывен оператор вложе]< 12 16Л1. Доказать, что оператор А; 1Р[а, 61 -ч Т„[а, 6], Ах(т) = <)х!дт вполне непрерывен. 16.12. В пространстве Те[0, 1] рассмотрим оператор Ах(<) =()<х!д<' с областью определения В(А), состоящей из дважды непрерывно дифференцпруемых функций хО), удовлетворяющих граничным условиям х(0) = х(1) = О. Доказать, что оператор А ' существует, найти его и доказать, что ои вполне непрерывен. 16.13. Пусть Х = У вЂ” одно из пространств )„т, е, е,, Для х = (х„х„...) ж Х положим у = Ах= (у'„у„...), где у, = О, если й — нечетное и у,=х„„если )< — четное. Доказать, что А не явят?ется вполне непрерывным, хотя А' = 0 вполне непрерывен, 16.14. Пусть Х, У вЂ” баиаховы пространства, А <и <и о(Х, У?, В <и Ы(Х, У) и Н(В)с В(А).
Доказать, что В~о(Х, У), 16.15. Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, Может ли оператор А <ко(Х) быть изометрическим отобраткеипем пространства Х в себя? 16Л6. Пусть Х, У вЂ” линейные нормированные пространства, А: Х-~ У вЂ” линейнь<й оператор. Верно ли, что А <и о(Х, У), если: а) Х конечномерно; б) У конечномерно; в) А — ограничеипьш оператор и У конечномерно? 16Л7. Пусть Х, У вЂ” линейные нормированные пространства, А.<к о(Х, У? (и <и Х) и А <ч (и -ч. ) сильно. Следует ли отсюда, что А ы о(Х, У)? 16.18. Доказать, что любой оператор А я Ы(Н), где Н вЂ” гильбертово пространство, является сильным пределом последовательности вполне непрерывных операторов.
16.19. Пусть А ~ о(] ). „т(оказать, что существует последовательность А„<и Ы(!,? (и ы:з? такая, что А — А (и - ), и Н(А,) копечномерно для всех и. 16.20. Пусть е„(п ы»») — ортопормпрованный базис гильбертова пространства Н, Х„ы В (и ы 5)), ),„-+ О (и — ). Для х»н П поло.ким Ах = ~с~ ХА (х, е„) е„, и=» Доказать, что оператор А определен па всем П, переводит его в себя и является вполне непрерывным.
16.21. Пусть А ~ Ы((») (1 ~ р <ао) и для х = (х„ х», ...) (р Лх = Омхь ) хг, ...), тле )» ~ В, еп)1 )й»~ ( АА, А Доказать, что Л»но((,) тогда и только тогда, когда й»-" -ьО (й- ), 16.22. Пусть е„(п ~к Н) — ортопормированный базис гильбертова пространства Н, У вЂ” банахово пространство А ~ х'(Н, У) п ряд 4» 1 Ае„')А сходится.
Доказать, что А ы о(П, У). 16.23. Пусть П вЂ” гильбертово пространство, А я ~ Х(Н), А*А я о(Н). Доказать, что А ~ о(Н). 16.24. Пспользуя предыдущую задачу, доказать, что если А ~ о(Н), то и х1* и о(П), по 16.2о. Пусть Х, У вЂ” линейные нормированные пространства, причем Х бесконечномерпо, А ~ п(Х, 1'). Доказать, что найдется последовательность х„~ Х (п~ Х) такая, что 1Х.1=1 п Ах„- О (и-»- ), 16.26. Доказать, что область значений вполне непрерывного оператора сепарабельна.
16.27. Пусзь е„ (и ы »Ч)) — ортонормированпый базис гильоертова пространства Н, А ~ о(Н). Доказать, что Ле„-эО (п ). 16.28. Пусть Н вЂ” гильбертово пространство, А ы ы 'х'(Н). Доказать, что следующие утверждения эквивалентны: а) если х„, х, у», у Н (и ы .з') и х„ - .г (и - ) слабо, у„- у (и - ) слабо, то (Лх„, у„) - ( 1х, у) (И вЂ” А АА) б) если х„, х»нН (пяХ), х„- х (и- ») слабо, то Ах„- Аг (и- ); в) А ~ о(Н).
16.29. Доказать, что для:побега линейного оператора А, заданного всюду в банаховом пространстве Х и прянимающего значения в банаховом пространстве У, следующие свойства зквпвалентны: 92 а) Л переводит любую сходящуюся последовательность х„~ Х в сходящуюся последовательность Лх„~ У; б) А переводит любую слабо сходящуюся последовательность х ы Х в слабо сходящу|ося последовательность Ах„~ У; в) Л переводит любую сходящуюся последовательность х„»н Х в слабо сходящуюся последовательность Ах„~ У, 16.30. Пусть Х, У вЂ” бапаховы пространства, причем Х рефлексивно, Л»н.К(Х, У) и переводит л»обую слабо сходящуюся последовательность х. ы Х в сходящуюся последовательность Ах„»н У. Доказать, что А »и п(Х, У).
16.31. Доказать, что любой непрерывный линейный оператор А ~ 2'(1», 1,) вполне непрерывен. 16.32. Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, У вЂ” сепарабельное банахово пространство, А ~ ~п 2'(Х, У). Доказать, что А »и о(Х, У) тогда и только тогда, когда Ае переводит любую слабо сходящуюся в Ув последовательность в сходящуюся в Х* последовательность 16.33, Пусть Н вЂ” гпльоертово пространство, Л »н ю о(Н), М с Н вЂ” замкнутое ограниченное выиуклое мно;кество. Доказать, что: а) образ множества М замкнут в П; б) для любого у»я Н существует такое х, я М, что 1и( '!Ах — у1 = 1АХ, — у'.
(Согласно (24), определенный А=.и таким образом алемеит х, ю Н называется квавирешениеи уравнения Ах = у, где .г, у ~ Н, А ~ о(Н).) 16.34. Пусть П вЂ” п»льбертово пространство, А ~ о(Н). Доказать, что образ едиппчиого замкнутого шара — бпкомпактное множество. 16.35. Верно лп утверждение предыдущей задачи для оператора А и о(Х), рассматриваемого: а) в произвольном банаховом пространстве Х; б) в рефлексивном бапаховом пространстве Х? 16.36. Пусть П вЂ” гильбертово пространство, А ю о(Н).
Доказать, что существуег такое х ~к Н, х т» О, что 1.(ха» = = ~(А1 ~)х)). 16.37. Верно лп утверждение предыдущей задачи для оператора Л ~п о(Х), рассматриваемого: а) в произвольном банаховом пространстве Х; б) в рефлексивном банаховом пространстве Х? 16.38. Пусть Х вЂ” бесконечномериое банахово пространство, А но(Х), Доказать, »то существует таное у»н Х, что уравнение 1-го роде Ах = у не имеет решения. 93 16.39.
Может лп вполне непрерывный оператор иметь: а) ограниченный обратпып; б) ограничеяный правый обратный; в) правый обратиыйу 16.40. Может лп оператор А; С(0, 1) — С(0, '1), 1 Ах (з) =. ~ К (г, г) х (() й, о где К(г, С) непрерывна прп 0 < г, Е < 1, иметь ограниченный обратный? 16.41. Пусть Х вЂ” банахово пространство, А и Ы(Х) и существует такое с ~ В, с > О, что для любого хяХ выполняется яеравенство ~1Ах«> с11х'1. Может ли оператор А быть вполне непрерывным? 16.42. Пусть Х вЂ” банахово пространство, А ~Ы(Х) и уравнение г — Ах= 0 имеет только тривиальное решение. Следует ли отсюда, что уравнение х — Ах = у имеет решение прн любом у шХ'.
16.43. Привести пример банахова пространства Х и оператора А ш 2'(Х) такого, что уравнение г — Аг = О имеет оесконечноо число линейно независимых решений. 16.44. Теоремы 16.6 — 16.8 относятся к уравнению Сх = у, где С=1 — А, А но(Х), Х вЂ” бапахово пространство.
Доказать, что их утверждения остаются в силе, если в банаховом пространстве Х рассмотреть уравнение Сх = у, где С =  — А, В ~н Ы(Х) п непрерывно обратим, А ш ш о(Х). 16.45. 1'ассмотрпм оператор А: С(0, 1) — С(О, 1), 1 ,1х(г) — ) х(т) дт. о а) Доказать, что уравнение х — Ах = у имеет решение при любом ушС(0, 1).
б) Найти оператор У вЂ” А) '. 16.46. Пусть А — линейный оператор, определенный всюду в линейном нормированном пространстве Х со аначениямп в Х, № = Н(А"), Л„= Л(А") (й = О, 1, ...). Доказать, что а) № = Л', с...с №с №„с..., и п)иг этом либо все № различны, л)гбо существует такое иаименгшсе целое и > О, что при 0 < г < и все № различны, а все последующие № совпадают с Ю„(в этом случае говорят, что Л имеет полезный подъел и); Ей б) Л,~Л,=~...~Л„~Л„+,~... и при этом лкоо все Л,... ~б существует такое наименьшее целое Л, различны, лк о т>0, что при 0» г< т все Л, различны, а все после- дующие, совпа Л, овпадают с Л (в этом случае говорят, что Л имеет конечный спуск т), 6А7.
П сть Х вЂ” банахово пространство, А ~ Ы(Х) и ск т. окааать, имеет конеч нечный подъем п п конечный спу . Д что и = т н Х =Ю„Л„. щЛ =1+В 16.48. Пусть Х вЂ” банахово пространство, А = где Вша(Х). Доказать, что: а) А имеет конечный подъем и и конечный спуск т и, следовательно, по предыдущей задаче и = т; б) наждое надпространство № конечномерно, каждое линейное многообраапе Л, замкнуто; в) А отображает Л,. на Л. взаимно однозначно и вза- имно непрерывно. 16.49.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
