Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Методическое пособие по курсу. Уравнения математической физики (1127886), страница 9
Текст из файла (страница 9)
3. Внешняя задача Днрнхле. Рассмотрим область Й, ограниченную замкнутой,', поверхностью Я в пространстве и' . Тогда область й'=л~тй будет внешней к области Й в и', Й' = Й' н Я. Поставим внешнюю задачу Дирихле: найти функцию и(М), непрерывную в замкнутой области Й', удовлетворяющую уравнению Лапласа в:.. открытой области Й', прпнимающую на границе ' области Й' заданные значения и(Р)~~,, =,а(Р), а на ' бесконечности равномерно стремящуюся к пулю,.::.:,: и(М) С'(Й')гз С(й'). Замечание. Условие равномерного стремления к нулю:,:; функции м(М) на бесконечности важно для:,;" единственности решения задачи.
Пример. рассмотрим задачу ои(г) = О, г > а, м(г =- а) =1, Функция и(г) вне шара радиуса й удовлегворяет уравнению Лапласа, а на границе принимает заданное значение и(г = а) = 1. Тогда функции и, (г)м 1 и и, (г) = — удовлетворяют и уравнению Лапласа вне шара и граничному условию. Получили два решения поставленной задачи. Если учесть условие на бесконечности, то функция и,(г)=1 не подходит. Издвух решений н,(г)=1 и и,(г)= — можно построить целое семейство решений и(г) =ам,(г)+ Ои,(г), и+ р' =1, которое будет удовлетворять поставленной задаче.
Условна 1ннн=0 позволяет вьщелить единственное решение внешней задачи Дирихле. Теорема единственности решении внешней задачи Дирихле в пространстве. Внешняя задача Дирихле в пространстве К ' может иметь только одно решение. Доказательство. Пусть существуют два решения и,(М) и и,(М) следующейзадачи: Ли(М)=0, М ей', и(р)- р(р), Р н Я, и(М) равномерно стремится к нулю при М -+ со, Введйм функцию н(М)=и,(М) — и,(М).
Для и(М) получим задачу Лн(М) = О, М н й', (г)=0, Р З, ь(М) равномерно стремится к нулю при М -+ о, Предположим, что в области Й' существует точка М„ в которой и:~М,)е О ~и,~М,)~ и,(М,)), Тогда выберем шар большого радиуса л с ~раницей Я„. Так, чтобы точка М, лежала между поверхностямн 5 н Ке, и чтобы на поверхности Яя выполнялось неравенство ~И~М1< г дня произвольного малого л > О, В замкнутой области, Ограниченной поверхностямн о' и Ь~, получили гармоническую функцию нфИ); 1~ф,)ге О и .;::: ж(М~М,=О.
~4М~1и,, <н, е>О.Всилупринципа максимума ~изМ,)~ < е. В силу произвольности выбора числа л > О н(М,)= О. Позтому и,(М)= и,(М) и Обласш Й . ТСОрема доказана, Замечание, Внешняя задача Днрихле на плоскости Ставится по-другому. Услови~ равномерного стремления функции к нулю на бесконечности надо заменить па условие ей ограниченности на бесконечности: существует М > О, что ~и~М) < М.
Требование обращения в нуль функции на бесконечности достаточно ДЛЯ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ, НО ОНО ЯВЛЯЕТСЯ СЛИШКОМ сильным, так как задача может Оказаться вовсе неразреши МОЙ. Пример. Рассмотрим круг радиуса а с границей Требуется найти стационарное распределение температуры вне у при условии, что на границе поддерживается постоянная температура: Ли(г) = О, г > а, и(г) = и„. Решение уравнения 1 Ли~г) = О имеет вид и(г) = А+ В1п —. Так как иИ = ио, го ио — — .4+ Ь'~п --.
Вз О1 раннчснностн -,П а рщпепия иа бесконечности 3 = О, А =- и„и и = и„. Бели потребовать, скобы решение на бесконечности обращалось в нуль, то задача станет неразрешимой. и. 2. Регулярность гармонических фуннпий на бесконечности. Формулы Грина в неограниченной области. 1 1усть г = -~х + у" + г Определение. Функция и(М), М е Я', называется регулярной иа бесконечности, если при всех достаточно больпхих Выполнены неравенства А ди А ~ ди1 А 1йг А т дх г ду г дз г Для регулярных на бесконечности функций справедливы формулы Грина, Рассмотрим некоторую область й ~: л', ограниченную поверхностью Б, Обозначим через й' область, являющуюся внешней к Я.
и' =йыЬ'~сй'. Теорема. Пусть функции и(М) и т(М) регулярны па бесконечности и и, ее С~(й')л С'(й'). Тогда для и(М) и т(М) имеет место первая формула Грина. Доказательство, Вокруг области й опишем сферу Я, радиуса го так, чтобы й целиком лежала Внутри шара й, . Обозначим через й'„слой, лежащий между поверхностями Я, и Я, Область й', ограничена, поэтому в ней можно применить первую формулу Грина для функций и(М) и т(М); — Я~уай и. рай 1~ой. (8.1) 3десь й является внешней нормалью к границе области 12', . Оценим интеграл по поверхности Бя, пользуясь регулярностью функций и и ! ц до ! ~ц д' д до 1 1 д е Ии — а'а! =~ Пи — сова+ — совр+ — сову !аа < "ч !ьь 111!~!! ! ' — ! о! ! — ! +- А~ А А А'1 3А' <и —,—,+ —,+ —, э=в — „-ь= .«;.„11о 1„~о 11о 1~о кь ~о 3А', 12А'ю 4 йоЛо' ' Ро 12А ог . д Так как 11пз — ' = О, то 1нн Пи — а'гг = О.
Ко о дн Теперь рассмотрим интеграл Щ(у'ахи р.аа фг и о'% оценим его подынтегральное выражение: ди ду ди ду ди ду ~~дгаа' и уаИо~ — — — + — --+ — — < дх дх ф ду дя дя ди~ до ди до ди |д 3А' д~д д д д 1д г,"' Так как подынтегральное выражение при Яо -+ оэ (11 является величиной — —, р > 3, то существует яо Щ8 ап* .д и* ф)г= Щ(йт а .8гаафтЙь о' несобственный гпгтеграл первого рода. Поэтому при Я, -+ пр вая час формулы 18,1) имеет предел, равный Ди- — да — Щ(8гааи 8таая)~т. д Следовательно„су~цествует и предел левой части 18.1). Получили формулу ЩиЛМт = Цп — ~Ьт — Щ(8гаИи 8гадтЦг. 182) о' дп Она наэьшается первой формулой Грина.
Поменяв местами функции и и я в соотношении (8.2) н вычтя нэ одного соотношения другое„получим вторую формулу Грина: 1 Учитывая, что фундаментальное решение уравнения Лапласа регулярно па бесконечности, получим третью формулу Грина для функции и(И) в области Й'. При этом нормаль к поверхности Я должна быть внешней по отношению к Й', т.е.
направлена внутрь Й. и(м,) = — ) — — -и(р) — — ы„— 1 ° 1 ди(Р) д 1 4~ я )'рм, див дпр Яя Замечание. Гармоническая в области Й' функция, ", равномерно стремящаяся к нулю на бесконечности, Ф является регулярной на бесконечности. н, 3. е,дннственность решений внешней задачи,;, Неймана в пространстве. Пусть снова Й' — неограниченная область.
Внешняя к замкнутой поВерхнОсгн Ь . Во внешней задаче Неймана надо найти ',- регулярную Гармоническую функцию УДОВЛЕТВОРЯ1ОЩУЗО УСЛОВИЯМ Ои(М) = О, М н Й', и н С (Й')ГэС (Й'), ди(Р) — - = ь (Р), Р е о', дл Будем искать равномерно стремящуюся к нулю на ",: ", бесконечности функции> и(М), Теорема. Внешняя задача Неймана в и имеет .' единственное классическое ранение. Доказательство.
Пусть существуют два классических —: рещення задачи Неймана и,(М) и из(М) в области Й'. Тогда функция и(М)=и,(М)-и,(М) удовлетворяет ( )=, . ', -()ОР~; (М) .: д (Р) дл равномерно стремится к нулю при М -+ сс.„ вн С (Й')ГэС'(й'). Поэтому к функции и(М) можно применить первую формулу Грина: Щз..Л,~Г„= О (Р)- — -Ьл-Щ(р ~ .р. г )ат„, ди(Р) О' я о' ди~ до' Отсюда игарки нО в Й': — = — =- — =О в Й', т.е. дх ф дя 80 »я(М)мсо»хп в Ы. Так как функция и(М) равномерно стремится к ну~по на бесконечности, го ч(М)м соли = О, в Й". Теорема доказана. Замечание. Решение внешней задачи Неймана в К, регулярное на бесконечности, существует для любой Фу ии С(Я), .ебов УР)~Ь,. = О излн е.
~ 9. Вие1нпие красные задачп на плоскости. пЛ. Для уравнения Лапласа на плоскости требование равномерного стремления реп»ения к нулю на бесконечности является жестким, такого репнзния может пе существовать. 1Зример. В пол~рн~~ к~»ордннатах (г,я»).на плоское~и рассмот1»нм задачу Дирихле. Вне круга радиуса л Ф 1: Ли(г)=О, г>а, и(г =а)=1. Можно построить два решения зтой задачи и,(г) ля 1 и 1пг и,(г)= —, Других линейно независимых решений у 1па :»той задачи нет, общее решение уравнения Ли(г)=О имеет вид и(г)=С, *С,1пг.
Если потребовать, чтобы функция и(г) равномерно стремилась к нулю на бесконечности, то ни одно из зтих решений не подходит, задача не имеет решений. Условие равномерного стремления к нулю на бесконечности надо заменить требованием существования конечного предела решения на бесконечности. Тогда подходит решение и, (г) м1. Определение.
Функция двух переменных и(я,у) называется регулярной на бесконечности, если она имеет:,:::„" конечный предел на бесконечности. п.2. Рассмотрим внешнюю задачу Дирихле. Пусть в ',.:: .,. Л' имеется ограничшщая область ь' с границей уи:1 ' внешней к ней областью В'. Я =0~ уий'. Тогда ., внешняя задача Дирихле закл1очается в нахождении функции и(х, у), непрерывной в области Х>' = .О' ~.~ у, гармонической в области В', удовлетворяющей условию и(Р) = м(Р)„Р и у, и ограниченной на бесконечности. Теорема. Внешняя задача Дирихле на плоскости может:,.,ъ не бо~~е ~д~о~~ ~~а~си~еского решения, .: регулярного на бесконечности. Доказательство. Пусть сушествуют два классических решения внешней задачи Дирнхле и,(М) и н,(М) такие, что Ли,(М) = О, М е У, и,.
а С(22')г~ С'(В'), и,(Р)=и(Р), Р у, Л(Р) Ф), У ~и,(М)< —, 1=1,2, У=сани>О. 2 Введйм функцию т(М) = и, (М) — и,(М). г(М) удовлетворяет задаче Лг(М)=О, М и ~У, те С(,0')г С'(2З'), т(Р) = О, Р и у, ЯМ)~ < Ф, Ж = союз!. Выберем внутри области 0 точку М„и построим окружность С„", радиуса а с центром в точке М„', целиком лежашую внутри О. Пусть и — расстояние между точками М е В' и М,, тогда функция ММ,~ и, «М) = 1п —" гармоническая в О" и положительна в й В'„так как Р, >а.
Построим окружность С„ радиуса Ь с центром в точке М„содержащую границу ~МИ~ 1п — -"-. внутри себя. Введем функцию и„«М) = 1Ь'— 1п— которую будем называть "барьером"'. Функция и, (М) удовлетворяет следующим условиям; Лм «М) = О, М е,О', где 0' — область, заключенная между границами у и С,",; и, (М( > О и АМ)~,„„..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
