Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Методическое пособие по курсу. Уравнения математической физики (1127886), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Тогда можно использовать тождество 1!1.2), Инеем .7Ц~)= — ф'(М фт н учтем„что из 2 краевого уело Ф. ";,:-",,'"„';" (1 Е2) получас '.;:.' т,. 4Ф)= (г ди вия следует 7у — 77сг =О. Из тождества д77 и — - =- -77" 1Ц~е7сЫТ) 77'г. Следователмю, Й бого 7>0. При 7=0 имеем к(М,О)=О, О. Гак как функционал .У неотрицателен, г монотонно не возрастает и равен нул1о ,7~ф)м О.
СЛЕдОВатЕЛЬНО, т(МЛ)гя О, И ьно-краевая задача может иметь лишь РЕП1ЕНИЕ. по неременнои при 7=0, то вторая нача71 .единственное ф 1. Уравнении Лапласа н Пуассона Пусть температура 77(М) в области 12 в .: ' пространстве зависит от точки М и не зависит от времени 7, т,е, тепловое поле в И стационарно, В предь7дузцей главе бмло показано, что температура и(Мл) нестационарного теплового поля удовлетворяет уравнению теплопроводностн 77, =-а'д77 7- 7(МЛ), .причем, если тепловые источники отрутствун7Т, то Х(М,7)=0.
Если 11р «ионарен и чзи тепла отсутствуют, то устанавливается распределение температуры и(М), не меняющееся с течением времени, д — и 0 и, следовательно, удовлетворяющее уравнению дг Л77 = О, которое называется уравнением Лапласа. При :;:::." Глава. 2. Краевые задачи для уравнений Липла«а и Пуассона. налик1ии источников тепла получаем уравнение Ли = уг22М)/и, которое папъ2вается урав22е22ием Пуассона. Постояннук2 а далее будем ВК22К2к2ать в функцию,' .
Ур22внения Лапласа и Пуассона относятся к уравнениям зллиптического типа. Рассмотрим Область пространства й, ограниченную замкнутой поверхностью 5. Залагд о стационарном распределении температуры 22(М) внутри области й формулируется следую2цим образом: найти функцию 22(кМ), удОВлетворяющукз ураВнению Ли = — кГ~М) в й и граничному условию одного из с22едующих типов." Е и2 Р) =,и2Р) к Р и 5, ~первая краеыя задача) 1вторая краевая задача) Гдс,и, 22 — ЗЯДВННЫЕ ФУНКЦИИ, — — ПРОНЗВОДНЯЯ ди функции 22~М) по внешней нормали к поверхности Ь'. Первую краевую задачу называют задачей Дирихле, а вторую — задачей Неймана. Если ищется рещение задачи в области й, внутренней 2',В22ешней) к поверхности з'„то задачу называют внутренней 2внешней) краевой задачей.
Имеются различия в математических постановках Внутренних и вне2пних краевых задач. В декартовой системе координат уравнение Лапласа имеет вид ди ди ди Л; )и(хку,я)= — + — — + — = О, (к,у ку ' к ' ) дх 2 дуу д 2 )Х=ГЗ2ПОСОЗР, )к=ГЗ2ПОЗ2ПЯ2, В СфсрИЧЕСКОй Я = 2. СОЯ О) 1 д(,ди1 1 д(. Ъ| л н „„~~(~, д„1а) — — —, — г — -- 1+ —,- — — — — в1 и Π— ~ + ," дг ~ дг~ г' з1вд дд~ дд, 1 д'л г'в!н'Оде' В цилиндрической (х = г соя р, и = /'31п р, - =- х)— 1 д( ди1 1 д'и дгн х дг, дгу Г д~ дх Аналогично ставятся задачи в плоской области О, Граннцсн которой является кривая у, Гакне задачи описывают стационарное распределение температуры и(М) в пластине ХЗ. В плоском случае уравнение дм д*и ;1апласа имеет внд Л( 1и(х,у) = — + — '= О в дх ду декартовой системе координат или 1 д1' ди1 1 д'и А ~у(г„гР) = — — ~ г — — + — — — —, =" Π— в полярной д1 д,) 'де-' (х = гсоа1л, у = гз1пр).
2. Гармоипчееиие функции. Фуидп1пентильные решении урппненип ,~Ьнлпеи. 11нределен~е. Дважды непрерывно днфференцируемая функция и(М), которая в заданной области удовлетворяет уравнению Лапласа, называется гармонической в этой области функцией. 11римерЫ. и(х,у.,х~= Ах+ Ву+Сх+ В, и(х,у,х)=а1пЗх я1п4У хая — гармонические всюду в ~пространстве Охух функции. и(х,у) = х — у, и1х,у) = созх злу — хлх з|пу гармоничны всюду на плоскости Оху. Приведем важные примеры функций, гармонических Всюду, кроме одной лишь точки.
Пусть, ';, М,(х„у„х,) — некоторая фиксированная точка в пространстве. Найдйм решение уравнения Л~~л~~а, зависящее только от = $ х,)'+(у-у,)'+~х — х,)2, Введем сферическую систему координат 1г,д,гу) с центром в точке М,(г,„д,,<а,). Такое решение будет обладать дл сферической симметрией, т.е. — = О, — = О. Следовательно, будет Выполняться уравнение ': 1 ~ (, гни '1 —,— ~г — ~ = О.
Общее решение этого уравнения,.' имеет вид и(г)= — +С,, где г=Я . Решение С, 1 и1М,М,) = — называется фундаментальным решением уравнения Лапласа В пространстВС, Это гармоническая функция переменной М, определйнная.::;- всюду в пространстве, кроме точки М = М,. В двумерном случае введем полярную систему .:-:: координаг 1г, р) с центром в точке М,1х„у,). Найдйм решение уравнения Лапласа, зависящее только от ";: Я = 1х-х,) +(у-у,) . В этом случае — =0„И 2 2 дн У 1 а ( йг1 будет выполняться уравнение — — ~г — ~ = О.
Его общее 1 решение имеет внд «(г)=С,1п — +С,„где г=Я„„. д' 1 Функция и(М,М,)= 1п —— называется л,ж„ фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости. Фундаментальным решением уравнения Лапласа наз шают такую гармоннческучо функцию которая имеет определйнного вида особенность в единственной точке М„, Поведение на бесконечности фундаментальных де~лений уравнения Лапласа в пространстве н на плоскости различно; именно поэтому внешние краевые задачи в трехмерном и в двумерном случаях надо ставить ло-разному Внутрениии задача Дирихле. Пусть Я вЂ” замкнутая, достаточно гладкая поверхность, ограничивакзщая обласгь й.
Требуется найти функцию «(М), ко~ора~ определена и непрерывна я замкнугой ограниченной области й = й и Я, удовлетворяет внутри области й уравнению Лапласа ои = О и принимает на границе Ь' заданные значения: «(Р) =,и(Р), Р е $ . Таким образом, мы ищем функцию «(М), гармоничную внутри й. Требование гармоничности функции и(М) на границе излишне, Условие непрерывности функции и(М) в замкнутой области необходимо для единственности решения задачи. Поэтому требуем,и а С(Я). В этом случае ':.'. 5! ! '! функция и(М) 5зазывается классическим ре!пением задачи. и(М)и С~й)5 5С5~Й), д и С(с).
Внутреннии задача Неймана, Требуется найти функцию 55(М)., которая онреде55ена, непрерывна и имеет нсцрерывные производныс первого порядка в замкнутоЙ ограниченной области й, имеет непрерывные вторые производные В й и удовлетворяет внутри области Й уравнению ч:,' ЛВН55аса Ли = О, еб норман~и~я производная принимает д55(Р)~ на границе заданные значениЯ вЂ” *:= !Р(Р), Х н ~ь . д55 55(М) е С ' ~Й)гз С ' ~Й) „! и С55з') .
! Внешние краевые задачи для трех н двух незавнсимьгх переменных ставятся цо-разному. рассмотрим снача55а случай трех 5теремепных. Пусть й' — область, внешняя к некогорой замкнутой поверх!!ости Я . Виан!Нии задача Дирихле, ТребуетсЯ найти функци5о и!,М), удовлетворяющу50 уравнению Лаешаса 5зн = О В неограниченной пространственной области й' „ нецрерыв5!у!о В замкнутой области Й' = Й' ! 5 Ь', ':: 1 принимающую на границе заданные значения ) 1 и5,М) = р(М), М и о, и равномерно стремящуюся к нулю на бесконечности. Стремление к нулю функции и~М) на бесконечности необходимо 5!5!я единственности решения задачи.
55~М) и С~йз)г1С (й') . Если рассматривать случай двух переменных, то стремление к ну55ю функции 55а оесконечности нужно заменить на условие ОграниченнОстн функции на бесконечности. Внешние краевые задачи Неймана ставятся аналогищю, НО с краеВММ условием В типа. и(М)п С'(й')гз Ь." (й') . Замечание. В настоящем курсе мы тОлько нласснческйе решения, практические задачи приводят к обобщения зтого понятия иа случай„ л(Я) и краевьге услОВия не сформулированным вьшю требованиям. рассматриваем ХОТЯ МНОГИЕ необходимости когда функция УловлетвОРЯ$0т Пусть в области й, ограниченной замкнутой поверхностью У, задлны ЛВе функции п(М) и ~(М): и,1 нсо(й)гзС* (й). Функции и, я произвольные, не обязательно гармонические. Тогда В Обла~ти й справедлива первая формула Грина; Щгбиаг= Ц вЂ” Ь- Щ( ~и ягЫ )а .
(4Л> ~Ъ й дл Доказагельство. Вспомним теорему Остроградского— Гаусса: Если А — Векторное поле, то Щ~1п АИТ --- ЦА„ИО', где А„— величина проекции вектора А на нормаль й к границе 5. В качестве векторного поля А можно взять А = «!(М) рас1и(М). й«!(«р'аа'и)= «'а1«!(уа«~и)+(уаНг ра«1и)= = «'Ли -(у"а~«! уа«1и), Ли = «д«(р'аа'и). Отсюда «' Ли =;Ь!(«! дга«1 и) — (агап «'раН и). Теперь, проннте«.рировав по обьйму Й „пол«!чнм формулу 14, 1). Если поменять местамн функции и(М) и «(М), ЩиЛ« ~1г = Ци- — -йт — Щ(уж1и 11га~1г)«1г. (4,2) д«! о з д" и Вычтем лз формулы ~4.11 формулу 14.21, тогда получим втору«о фОрмулу Грй««а: Щ(Л -иЛ)гг= ~~ г — — — 1 Ь.
я' ди д$!1 «4,3) дл дл Вторая формула Грина симметрична относительно функций и(М) и «(М). Теперь, используя вторую формулу Грина и фундаментальное решение уравнения Лапласа, получим третью формулу Грина — интегральное представление функции и(М)н С'(Й) ~С'(Й) в ограниченной области Й. Пусть и(М) — произвольная функция указанного 1 класса в области Й, а г(М,М,)= —, где М„и Й. «!(М,М,) имеет особенность, когдаточка М совпадает с очкой М„. Поз му к функциям и(М) и г(М,М,) в области Й применить вторую формулу Грина нельзя.
Окружим точку М, шаром А, " радиуса к, ограниченным сферой Е~', Применим к функциям и~М) и «(М,М„) вторую формулу Грина в области 111 А;~': н' а дн'1 Щ (мат — ада)ст = )) и — — а — йт+ дн дн / д дн'1 14.4) дн дн„~ га Ь' ди 1 В ннтЩиле ) и — У вЂ” йт Й вЂ” Внешняя нормаль е дн дн ~Н' д ди'1 поверяностн 5', а В инте~~~еле и — -- я — Ж~ Й Внутренняя нормаль к Поверхности сферы Жмо, 1 Учитывая, что '(Р)„„„, =-, — — — Вычислим ннтетрал по сфере: 1( ~Р1 — —.(Р,м,1 — ~а~, = Ь(Р, И,) Ь (Р)1 дне дн„ 1 1 ди(Р)1 = ')11 н1Р) —,— — — йп„= ~, Воспользуемся теоремой о среднем: (Р ) ~ 1 2 1'1 . 1д д1Р-)1 дн = 4~ти~Р")-4нн — ' — '= ~ ~, д д1Р*'1 дн где точки Р* и Р" принадлежат сфере 2",, ' Перейдем к пределу при г — > О, тогда сфера К,'" и гавр К,и" будут стремиться к точке М,, значения и(Р') и а(Р'*) д (М,,) — — будут стремиться к и(М,) и ---- — '.; в силу дл дп да ограниченности — и непрерывности функции а ди получаем !пп(~~)=.4ли(М„).
Таким образом, при с--э 0 формула (4.4) примет вид — ٠— -ЛЫт„--4х и(Мя)+ д1' ) 1 ) д(Р)1 + н(Р) 1" ' ~Бур для Кии ~ йии дпу ) 1 ди(Р) д ( 1 и(М,)= — — ) — — — и(Р) — — ' — Ы,,— 47Г „, й„р дл, д, ~г„.„, где М, и С2. Формула (4.5) называется третьей формулой Грина или ~н~егра~ьным вреде*авлением функции и(М). Замечание. Если точка М, в л' ~ Г), то точки М и М, не могуг совпасть. Тогда правая часть формулы (4.5) равна нулю. Если точка М, прннкдлежнт гладкой границе области Й, то вырезать эту точку можно сферическим куполом, в пределе это будет полусфера, а ее поверхность будет равна 2ли'. Тогда формулу 14.51 можно переписать так; 1~/ .
, „» 1 ~1 «( 1 ди(Р) д 1 1 4х «К»и дп ' д«»» 1, »*» «и ~ (и„), м„-й, — — — ٠— '«1ти =1О, М», н «1»1й, 1 Ли(М) о»им„( ) и — М,-, н»». 2 Из доказанного свойства вьвсекает необходимое условие существования ре»пения Внутренней задачи 1-1еймана для уравнения Лапласа: «»и=О, Май, — =»(Р) ди ди» решение задачи 1. Если функция и(М)и С»(й)»-»С'(й) и является гармонниеской в области й, ограничен««ой ~а~кнутой » 1Г«« поверхности«о о „то )) — й«т = О. , ди «»1оказателвсгво. Положим Б первой формуле Грина, » (М) «а 1, тогда получим Д вЂ” «1«т = Ц)»«авиа'т+ Щ(дти«й» р.а«1и)«й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
