Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Методическое пособие по курсу. Уравнения математической физики (1127886), страница 4
Текст из файла (страница 4)
4 4. Йдннственность н уетойчпвость решении периой ннчильно — нриеВОЙ задичн днн 3«РЗВнення теплопрОВОдности. 4.1 Рассмотрим первую начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности: и, =а'Л««+ «(М,«), (М,«)иД« 14.1) и(М,О) = е«(М), М о й «',4.2« и(Р «) = ««(Р,«), Р е Я, «и (О, 2") <4,3) Для су«цествова««ня классического решения зтой задачи функции «1«(М) и ««(Р,«) должны быть согласованы, т.е, 4«(Р) =,и(Р,О), Р а Б 1'4 4) Теорема единственности решении. Задача ~4.1) — «4.3) может иметь только одно классическое реп«свис. Доказательство.
Допустим, что суп1ествуют Лве функции и, 1М,~), ~' == 1, 2 „являишиеся классическими ре~иениями апачи 14.1) — (4,3). Функции в 1М,г)н С©., )л С' 'ф,.), 1=- 1, 2, Тогда функция г(М,Г) = и,1М,г)-и2(М,~) является классическим 1м.* гпением задачи г, == а'Лт, *1М, ~) е ~~, т(М,О)=О, Мей АР,г) =.
О. Р н 5, ~ е ~0, Т~, т в С~Я, ). Для функции ~'~М,~) справедлнвгл принципы максимума в минимума.1Для функций м,1М,~), 1=1„2 принципы максимума и минимума не применимы, так как они удовлетворяют неоднородному уравнени1О). (':ледовательно, т(М,1) удовлетворяет принципу "кстремума. "О < «(М,~) <О, т.е. т(М,~)м О. Теорема Теорема об устойчивости решения, Классическое регпеиие задачи 14.1) — 14.3) устойчиво по начальным и граничным условиям. Доказательство. Пусть функции и,. (М, «), 1 = 1„2 „являвзтся регпеннями задач и, = а'Ли+ Т(Мд), (М,~)н О,. и(М,О)=-~л,(М), Мн й и(Р,~) =- д, (Р,~), Р с Я, ~ и (О. Т1, ~ =-1„2.
Предположим, что ~~гР,(М)-гд,(М) < к, М е й, и ~)зЯР,!) — РЯР,Ь) 5 е, Р е Б, 1 = (О,Т1, Надо доказать, что ~и,(М,~) — и,(М,~~ ~ к для всех;.! (М,г) Ог. рассмотрим функцию к(М.~) = и,(Мд) - и,(Мд), котОрая явля.тся решением,." задачи и, =а Лк, (М,г)наг к(М„О)= р,(М)-р,(М), М н й АУ,~) = и, (Р, г)- д,(Р4, Р е Ь' „~ о ~О, Т). Так как функция и(М,~) в граничных и начальных точках удовлетворяет условиям )к(М,О~<к, Май, и ЯР,г))<к, РеЖ, ~н(О,Т1, то из теоремы сравнения 2 следует, что ~к(М,г)~ < к, (М,г) и Д, Это и требовалось доказать. ф. Построение репзеннй начально-краевых задач дла уравнении теплопроводностн на отрезке методом разделенна переменных.
5.1 Метод разделения переменных является одним из основных методов построения решений линейных начально-краевых задач для уравнений в частных производных. Идея метода состоит в том, что нетривиальные частные решения данного уравнения с независимыми переменными х и г ищутся в виде произведения Х(х) Т(~), где Хзависит только от х, а Т вЂ” только от 1.Это сводит задачу для уравнения в в1<гных производных к некоторой совокупности задач лля обыкновенных дифференциальных уравнений, Решим методом разделения переменных первую краевую задачу для однородного уравнения 1тплопроводности: и, =а'.и,О<х<1,1>0; и(0,1) = О, 41,1) = О „~ ~ О; и~х.О) = гл(х), 0 < х <1. '.'начала найдем частные решения уравнения вида 1 1х) Т(г), которые удовлетворяют краевым условиям.
~ сзи подставнгь произведение Х(х) Т(г) в уравнение н ~ залепить его на а Х~х) Т~1)„то получим равенство Х„;1. ) ~;$) Х1х) ~ 'Т(~) ;свая часть которого зависит только от х„ а правая— юлька от 1зПоскольку х н 1 являются независимыми псременнь~ми„равенство возможно только если обе его мсти равны постоянной, Обозначим эту действительную постоянную через (-Я) н запишем отдельно два уравнения относительно Х1х) н 7ф); Х„'~.
)+з Х~х)=О; Тф)+а' Л т(1)=0. 11одставнм теперь произведение Х~х)-Т(~) в краевые условия н вспомним, что они выполнены при всех 1> О, Отсюда Для рассматриваемой начально-краевой задачи получаем ХГО) =- О, Х~1) = О. Чтобы найти интересу1ощие нас Функции Х(х). Н»адо решить краевуго задачу Штурма-Лиувилля на собственные значения для Об~~н~~енно~о дифференциально~ о уравнения относительно Х(х): ~ Х,", (х) з Й Х (х) =- О» 0 < х <»; (Х(б) —.. Й, Х()) = б.
Репгснис полученной задачи Штурма-Лнувнлля было построено в курсе Обыкновенных дифференциальпык уравнений, где было доказано, гго имеется бесконе»шая последовательность собсз.венных значений (.'»,„)» Все Онн действительны и каждому нз пнх отвечаег одна собственная функция Х,(х) ( с точностью до ненулевого постоянного множителя ). Для рассматриВаемых краевых ушювин первОГО рода Х„= —, Х„(х) =.
8)п~ — — х, л = 1,2,3»..., Если задача Штурма-Лнувнлля решена, то уравнение для Т(Г)надо решать только при тех которые оказались собственными значениями задачи для ХГх) . Прн каждом т~ком А„надо найман Обгцее решение уравнения Относительно Т(1). В силу линейности исходной задачи сумма произведений Х„Гх) У", ГГ), отвечаюших различным Х„» будет удо~~~~в~рят~ уравнению в частных производных и нулевым краеВым услОвиям исходной начальнО"краеВОЙ заДачи. Чтобы найти окончательное ее решение, надо выбрать коэффициенты этой линейной комбинации, исходя из ОставшеГОся пока нсиспользованным начальноГО у~во~ил.
Ины~и С~она~и, нз всевоз~ожн~~ решений исходного уравнения и(х,1)= ~Х.(х) 7„(~), которые » 28 Х;.(О)=0, Х,~1)=0, з2 Х„"„(х)+ А. Х(х) =- О, О < х ь |; )„= 1 — 12л+1))', п == О,),2„... ),21 .«Л*)= Ь) — 'а" их) Х10)=- О, Х„'~~') = 0 5.2 Раскладывая решение начально-краевой задачи в ряд Фурье по собственным функциям Х„~х), мы предполагаем, что введено некоторое скалярное произведение функций. Скалярное произведение двух )адаиныя на 10 1~ действительных функций,«"1х) и 2«(х) можно определить выражением (у', я) = )Дх) Дх)гй . Евклидова норма функции т(х) — зто Щ=,ф,Д. В рассмотренной первой начэлы)о-краевой задаче легко проверить, что )Х„Х,)=О при ) ~ ), то есть система В начально" краевых задачах с другими комбинациями краевых условий 1 и 1! рода иа концах отрезка О<х<1 мы придйм к следующим зада)ам Штурма-Лиувилля и их решениям 1проверьте)).
Х,",(х)+Л. Х(х)=0,0< х <1, А„=О, 1., -:-~ — — 1, л —.-1,2,... 1Х„(х)), оргогональна. ~~Х„~~ = )я1«1 — х«й Козффицие««ть«Фурье функции ~?(Х) ПО ненормированной системс элементов (Х„(х)«„, («ьХ,„) определяются так: «««„= —,— ' — '",-., и =1.,2,... 1~Х ~~« Задача. Проверьте ортогональность систем собственных функций (Х„(х)«длл других рассмотренных в 5.1 случаев. Найдите ~~Х,~! . д Задача. Методом разделения переменных решите ю орую краевуго задачу для однородного уравнения 1еплопроводности.«« 5З Чтобы решить начально-краеву«О задачу для неоднородного уравнения ««, =а~и + «(х,«) с нулевыми краевыми условиями л нулевым начальным условием, решим сначала задачу Штурма-Лиувилля, отвечакпцую однородному уравнению ««, = а ««,„с теми же краевыми условиями, Разложим «(х, «) при каждом фиксированном «в ряд Фурье по системе (Х„(х)) собственнык функций задачи Штурма-Лиувилля: ,«(х,«) = „~ „«'„(«)Х„(х), где «'„(«) = !М' коэффициенты Фурье заданной функции « ~здесь играет роль параметра).
Теперь решение исходной задачи при фиксированном «можно искать в виде ряда Фурье по системе (Х, (х)«: и(х, «) = ~~Г Т„(«)Х„(х), где коэффициенты Фурье Т„(«) подлежат определению. Чтобы ~айти нк, пг»дсгавим предполагаемый вид ре»лепил в уравнение. Например., в случае нервов лн краевой аадачн получим Х„1х) =- в1п — х, и тогда Р3 ,'~ Т,'(~) е1п- — х=.— а'~ Х'„(~) 1 — -~ е1п--х+',1" у„(») егл --х. Если и(х,0) н О, то,'» 'Г„(0) а1п'™-х и О.
Отсюда при каждом и =1„2,... получаем»ьтл пако»кденнл 7„(г) палачу У„(г)+ а 1 — 1 'Г„(~) =- „~„(г)„г > 0; Ко»ни: 7;,(0)=0. Пример. и, = а и„+»'„, 0 < х < 1 „» > 0; »го = ео»мг; и(О,г) = О, и(1,г') = О „г > 0; и(х,11)= О„О < х <1. Рийенйе. Х,(х) = я1п — х, и = 1,2,3,, — соб вен фу ции задачи Штурма - Лиувиллл, Коэффициенты Фурье постолнной функции го по (Х„(х))„"., равны О, если и = 2е, Л = — РОЯ! — Хих=- 4Л вЂ” ', еваи и = 21+1. Рвало»кение ее в ряд Фурье по 1Х.(х))„, на интервале (И+ 1) 4.» о а1п — — — х 0<х<1 имеет вид 1; = — '~», Ллл 2/г+ 1 ~;(«)~~~~ у:Ц=о.
с(~)~~~~ т(~)=--~', «:,(0).= 0, Т„(0) = О, г~'.7П Л = х, Г1мп) л = 21+1. 11снулевые козффициенты Фурье '«',ч(«)= "),~ 1-ехР— ~ — — ~ г, 1=0,1,2....... 4Д) ( «л(21+!)а ) (.(2 ° )). ~, ., (2«+1)х гйп ' — — -- —- 2а )т)а', а (21+1)' В счучае других краевых условий ::одьзоват ся отвеин)оп)ими им (Л' Я, Замечание. Очевидно, что основным в методе разделения переменных является нахождение системы собственных функций 1А'„) задачи Штурма-Лиувилля.
В ;лучае Отрезка 0 < х ь«для рассматриваемых краевых условий мы получаем некоторые системы Григонометрическнх функций. П)зимененне метода разделения переменных к многомерным задачам приводит к специальным функциям математической физики — в зависимости От оплести Й и заданных краевых условий. 33 6. Метод РизЛелеййй переатеййыя ллй,: ДОКЯЗЗТЕЛЬСТВИ ЕУЩЕЕТВОВЗВИЯ ~ЗЕШЕЙИЙ!:: йичнлВйо — йрнейой анзтачй дашти уриййеййй';:: теплопроводйоетй йа отрезйе. (6.1) .:" (6.3) и, =и'и«« ° хеш~«1>0« и(х,О) = ез(х), х е ги„ и(0,г)=0, и(1,1)=О, г>О. Иеобходимым условием существования классического,:' решения является у(О) = «рф) = О. Классическое решение, и(х~) е С(г1, )г~ Сн~~(г1,). Общая схема метода разделения 6.1 В а 4 б;н док ны теоремы ед нственности и;.', устойчивости для первой начально — краевой зада«ш: любой размерности.
Для корректной постановки идачи-.:,:,; необходимо существование решения задачи. В этом,-„ парагр«афе булет рассмотрена теорема суп«ествования ш|я": начально -. краевой залечи в сл~'чае одной простршютвепной переменной, т.е. в случае, когда ". й = (0,1) . Чтобы 1юдчеркнугь это, введем обозначения: аэ,:= »х: 0 < х < 1», Б; =- »х: 0 < х ~ 1», «1, = а«, к (О, з) = »(х, ~): х е г«~, г > О», г11ьг =»(х,Г):хеэ,,О<! <г», ф = Й~ х (0««о) = ((х«1): х е Ы~ «г > О», фг = »(х,~):хев„о~г <Т». Рассмотрим первую краевую задачу на отрезке-:,: (0,11 для уравнения теплопроводности с однороднымн.',:.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
