Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Методическое пособие по курсу. Уравнения математической физики (1127886), страница 10
Текст из файла (страница 10)
= Ж - Функция и(М) удовлетворяет условиям дт(М) = О, М е В"; к(М)~ = 0 и ~т(М11< Ж,Ме С~, . ~~(Ма<и,(М) на границе области ьЗ' и, следовательно, в силу принципа максимума 1~(М)1 <и„(М) всюду в области В". Фиксируем точку М и устремим Ь в бесконечность. 11пзи (М)=0, следовательно, ~(М) = О, В силу произвольности выбора точки М получаем, что к(М) ж О в У. Теорема доказана. П.З. Докажем, что для Гармонических в;у функций, регулярных на бесконечности, справедливы формулы Г1зина.
Лемма, Для гармонической в В' функции и(х,у), регулярной на бесконечности, при достаточно больших 83 значениях г = з~х + у спраВедливы следуюгцие оценки ~ди. соп,п' ~да~ солзг первыхпроизводных: ~--~< — —,, ~ — ~5 — —,—. ~Рх, ,'р ' 'бу' г' Д~оиазазельство леммы основано па преобразовании Кельвнна гармонической функции и(М), М = М(х,у). Обозначим через К. открытый круг радиуса и с центром в начале координат Ц через ~.
— Вго границу. Открыл.ая область К вЂ” внешность круга; г2 =К, СиК,' Т ° МпК„' М -К, '3 В, я симметричными относительно окружности С'., если они лежат на одном луче, Выходягцем из О, и удоВлстворяют,' ",Ф 1 соотношению К А = а . Такое преобразование назыВается инверсн.и; оно взаимнО однозначно отображает К,'„на К„~ О, Пусть функция и(М) гармонична в К',. Функция к(М) = и(М) называется преобразованием Кельвина функции и(М), если М и Ж симметричны относительно С:„. Можно доказать, что т(йГ) является гармонической в К„~ О . Для этого запишем координаты точек М и Ф в полярных и координатах: М = М(г,у), Ж = Ф(р,р), гз=---. Тогда ~а 1 г Л~ ~к(Ф)=Л~~,~Н вЂ”,~а ~= —, Лр ~и(М) (проверьте!).
Если функция и(М) гармоническая в К,', и имеет конечный предел на бесконечности, то функция г(У) "":." гармоническая в Л., '> 0 и имеет конечный предел в точке О, Позтому она будет гармонической всюду в круге К. (зго утверждает теорема об устранении особенности гармонической функции). Следовательно, в окрестности точкй 0 фуйкцйя т ймеет ограниченные первые производные. Выполняя обратное преобразование Кельвнна, получим и(М) = » — >~Р . Если М = М(хр„, гм )> Л~ =- Ф(хя > Уя) в декартовой системе координат с центром О, то хя У„ Р а' а' Позгому зм Ум г г хи+Уй й~(М) дг(Ф) дг(Ф) дх д>(Лг) ф, дхи дх„, дх„с>хА> дУ, дг Из ограниченности первых производных функции г(М) ди(М) зг 11 в окрестности точки О получаем дх ди(М) Аналогичная оценка справедлива для — —,4 Ь'и Теорема.
Для функций, гармонических в области О' на йлоскостн и регулярных на бесконечности, справедлива первая формула Грина: б = О»>зная = ~» — аЧ вЂ” О(раИи ятааЪ)сЬ. дн ди Доказательство проводится аналогично пространственному случаю. н.4. Внешняя задача Неймана: Ьи(М) = О„М и 0', и е С'(В")~ ~С" (В'), — = к(Р), Р е у, и — нормаль к границе ув ди(Р) да точке Р, функция и(М) регулярна на бесконечности, Теорема. Классическое реьчеине внегцней задачи Неймана на плоскости. ограниченное и регулярное на бесконечности, определяется с точностью до постоянного слагаемого. Доказательство.
Пусть функция и(М) — классическое решение задачи Неймана: Ли(М)= О, М а В', и и С'ф')г~С'(Х~'), — =ЙР), Р ну, дц(Р) дн и(М) регулярна на бесконечности. Пусть функции н,(М) и и„(М)- два различных репзення поставленной задачи, Введем функцию я(М) = и, (М) — и, (М), которая удовлетворяет задаче Лъ(М)= О, М е В', 1 е С'(О')г~С'(ХУ), — =О, Реу, дч(Р) дн я(М) регулярна на бесконечности. Применим к к(М) первую формулу Грина: Ця(М)~~я(М)ця = ~~(Р) ~~~а~ — Др акЬ(М) ~Ь, О' дн 2 1 ~у цсЬ(М)~ = (кпкЬ(М). втаб(М)) = ( — 1 +— ~дт / ф Так как функция !'(М) удоВ)!етВоряет постаВленной Вьппе задаче, то Цу"айаг(М)~ й = б, Следовательно, — = — и О, т.е.
Т(М)ж сопя! в П'. Функция г(М) дг ду дг ду имеет на бесконечности конечный предел, вообще говоря, не равный нулю. Отсюда и следует утверждение теоремы. Теоремй докйзйнй, Замечание. Д!и существования решения Внешней задачи Иеймйнй нй плоскости необкодимо вьп)олнение уело~и~ ) (Р)ж=б. Замечание. Были поставлены и рассмотрены внешние крйеВые задачи ий плоскости для уравнения Лапласй. Доказанные уивер)кдения справедливы и для уравнення Пуйссонй Ли = -,Г, тйк кйк рйгность двук возмоягнык его решений г(М)= и,(М)-и,(М) является решением той же краевой задачи для уравнения Лапласа. ~. 16. Функция Грина внутренней задачи Дирихле, Свойства функции Грина Рассмотрим внутреннюю задачу Днрихле для уравнения Г!уйссона в пространственной области й: Ли(М) = — Р(М), М и й, и е С(й)~ ) С'(ьЗ), и(Р) = а(Р), Р е Я, Запишем интегральное представление решения зтой задачи: )и,) = — 11 — — )р) — ~ — )~и~„- 1 ди(Р) 1 д ( 1 4х,, дп Р дп„~Р 1 уйма)) 110.1) оп а Пусть функция г(м) гармоническая в области Й и '.
непрерывна вместе с первыми производными в ".: замкнутой области Й. Применим к функциям и(М) и в(м) вторую формулу Грина; о= ф И вЂ” —.~Р1— ди(Р) дг(Р)1 дар ди,; — Щ1(М)Ли(М)а'.г„. 110.2) Сложим формулы 110.1) и (10.2), получим и(м,)=~~~- ' (Р,м,) .(.)- 1ди(Р), дг'(Р,м„)) дна дл„ - ЯЯ(М,М„)Ь (М~а ... где 6(м„м,) = — + в(М). 1 Если потребовать, чтобы выполнялось условие а(Р,М,)=о, и(м,)= — Цм(Р) *' — 'йгг,,— д6(Р,М,) Ь' для — ЩЛн(М)6(ММ,)~г . 11ОЗ) Оиределеиие. Функция О(М, М,) называется:: функцией Грина внутренней задачи Дирихле для:,,:.
оператора Лапласа, если 1. 6(м,м,)= +г(М), где функция г(м) 1 4лл гармонична всюду в области й г: Ф; 88 2. гт(Р,М )=-О, Рн$. Из определения следует, что функция Грина 61М,М,) с точностью до гармонической функции я является фундаментальным репгеннем уравнения Лапласа.
Второе условие в определении продиктовано типом грани шых условий. Если функция Грина 6~М,М,) сушегггвуст, то решение задачи Дирнхле для уравнения Пуассона находится в явном виде по формуле и(М,)=-Ци~Р) — — ' — ' — !~г + д6(Р,Мя) дн,, + Я~ ~М)а(М,М,)!т„. 110.4) Замечание. Формула !10,4) содержит производную д6~М,М„) — сугцествоваиие которой не шгедует из дл„, определения.
Формула !10.4) лайт классическое решение задачи Дирихле при выполнении условий и н С1з) и ~' и С'(Й). Для построения функции Грина 61М, М,) необходимо найти функцию т1М), удовлетворякицую задаче Ля(М)=О, Мей, !10.5) г(Р)= — — —, РнЬ'. !10.б) 4Ю Для достаточно широкого класса поверхностей !так называемых поверхностей Ляпунова) задача !10.5), (10.6) разрешима, поэтому функция Грина существует. Свойства функции!'рина. 1. 0(М,М,)>О,если М,М, нй. сть и вырежем е остью Е,. Из иченным поверки ции Грина следует„что па поверхности Е, 6(М,М,)=0 и 6(Р,М,')=О, Ре5. ция Грина 6(М,М,) в обла~ли, зак» К,, и Я, удовл в силу принципа и области, заключенно В силу г т 0 в~юлу кция к(М я иннина и области »в 1 )< — --.
Отсюда и 4тл „ цы изменения значений функции б(М,М 0<а(М,М,)<- —, М ~М,, 4»грамм, УЧИтмааст »РОНЗВОЛЪНОС в области й ) удовлетвор акснмума еле й, Следс грани причем 6(Р„М 2. Фу и М: метрична о М), ть М До каза фикси тм фУНКЦ приме 1 и М— » Построим как М,и и (М)= Грин и в точ ,) и ФОРМУ Доказательство.
Возьмем точку Грина имеет особенно Огран функ ней функ между уравн 6(М, ПОВЕР е пол 'Замен (10.5) г(М) равенство нулю о) нкция Грина сим 6(М,М,) = а(М„ тельство. Пус рованные точки области й адиусов в с центрам ии и,(М)=6(М,М ним к ним вторую М,, в которой функция;. 6 шаром К„ Гак как ~: й' ПОЧЕННОЙ,.!~ етворяет,::.'~.: ипнмума Хф и вь»бора ';-'~::,' ательно„ Олучаем .): гносительно точек М некоторые ':,~":,. сферы 2,'и:,,';- М,. Введйм:.'~ 6(М,М„) и:.'„=', а в области '.,";.
9О й ~ (К,"' и К~' ), где К,'," н К„"': — шары радиусов я с центрами в точяах М, и М2. Ш(,(М)Лн,(М)- н,(М)Лн,(М))аг„, = ой,'ч я,"." « +Я вЂ” '-,Я вЂ” ' д ,(Р) д ,(Р)1 днг дп~ ««" ('1 --",И ' , дн,(Р) йг,(Р)~1 днг * дя„ + «( И вЂ” ' —.,И вЂ” «ь,. д,(Р) д,(Р)1 днг дн„ Учитывая, что функции н;(М) н н,(М) удовлетворяютуравненнгоЛапласан й1М, ни й~М, соответственно,а на граннпе Ь' области й прнннмакгт нулевые Значення, получим «(, ~~~ — ' — - ~,(~1 — ' д ,(Р) д ,(Р)1 для днр ° «(~,~г1 — '-~,(г) — '«ыг, -о, дн,(Р) дв,(Р)~ дн,, длг где нормали л„к поверхностям Хн' н Х,"' направлены внутрь шаров К, ' н К„'. ~~~(Р,М,) — ( ' ')- (,М,) дн я днг + 110(Р,М,) ( ~')- (Р,М,) ( '~) „=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
