Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Методическое пособие по курсу. Уравнения математической физики (1127886), страница 14
Текст из файла (страница 14)
При «< — влияние граничного режима не сказывается на точке с координатой х. При «>— а х формируется граничным "::-:,'! возмущение в точке режимом. Неймана. Решение Ан С НЕОДНО имеет внд алогичными рассуждениям родным краевьпи условием о, о <-"-, и~х,«)= Д~х — а«), «> —. Подставляя его в краевое условие и„(О,«)=тф), найдем 1'(г) «найдите 1). и~0, «) =,а Причиной возни только краевой бегущей вправо достаточно гладк условия получи есь может выть шение в виде ), где «(х) Ого начального х > О.
Второе:; ~~! )=О, х>О.С где р(«) ".з. Начально-краевые задачи на отрезке. Единственность и сун1ествонанне нх решений. ди(х,!) ( с ди(х, г) а, — ' — + Р,и(х,!) =УФ). г-'-0 =2„(1), 1>0. ни Если !х! =О, д! ~ О, то при х= О получаем краевое условие 1 рода (Днрихле), а если а! ~ О, ,о! =О, то — П рода(Неймана). Аналогично при х =1. Если на обоих концах отрезка поставлены краевые условия Дирихле, то (5,2) -- (5.4) называют первой начально-краевой задачей. Если на обоих концах поставлены условия Неймана, то — второй начально- 1!9 н.1. Постановка начально-краевых задач для уравнения колебаний на отрезке. В з 1 мы получили уравнение вынужденных поперечных колебаний струны и„(х.г) = п'и„(х,г)+ У(х,г) (5.1) на интервале О < х <1.
Для однозначного задания процесса колебаний кроме (5,1) нужны дополнительные условия. Такиын условиями мо! уг быть, например, красные условия на концах отрезка н начальные условия, определяющие начальное смещение и(х,0) н начальную скорость и,(х„О).
Мы запишем краевые условия общего вида, но будем рассматривать только случаи краевых условий Дирихле нли Неймана. Сформулируем начально — краевую задачу: и„(х,г)=а'и (х,!)+,г(хг), 0<х<1, г>0, (52) и(х,0) = Е!(х), и,(х,О)= р(х), О < х <1, (5.3) Возможны ) ВЗНЬГХ ТИПО Ле1ССИЧЕСКИМ ) — (5,4) пазы 'Е С ПЕРВ (О « „ ВОДные Вто (0<«<~) и ний !'5,2), УС«!ОВИЯМ вЂ” ГРйние!НЫ' и Гранично .е. «х! =О, то и(х,«) — при дх ожения о не« и(х,«). Анало ГПЕСТВОВВНИЯ ание началь йдйчей.
УСЛОВИЯМИ не. К ьзчн Г5,2 области йнные Он Пах Я ФУНК )!ОИЗВ « 0«е ЯД!03 ВОРЯ! «ВОР 1га к ОИ РО!'0 ПОР УДОВЛЕТ УДОВЛЕ (5.3), а М УСЛОВ1 ГВНЬ 1О 1Е ПРОИЗ < х <««х 1 колеба В ОТК я!огцая Оицах «5 4) Г5. 4') ОСТИ П ЧВЛЬНЫМ « -(О,=) 1, Есл Г«РОНЗВОД ПРЕДПОЛ функции 2. Для су СОГЛВСОВ Но ой класси ных и Например, если а ТО ,'(0) 1 Ка к надо Ке!ЖДОЙ ть начал наций! у редукци йдачи ее .«)+,(х Г5.4), в !е кр ий Ди для нз 4 комби ахх.=О их П1ЗОВЕСТИ сти зтой з. и(х,«)= и,(х йдачн Г5.2)- х„«) — решен ана на конц 3.
Можно у линейно в!ение 3 кото чи ! ие зада краевОЙ КРйСВЫМИ Он редел КРВГП!ОЙ зе!« непрерыв ЗймКНУТ непрерь Области 1«е(0) =— Р Задача, условия или Нейм Замечание ~5,4). В сил представить !О(х,«) — ре Х!-=О, Х,-= ,=О, Д~ ;4 адае!и С.: -',.«еЗ~9 !КВ .;,.'-ф (. е«),::::":, ЫМИ В .'ф МС1ОЩВЯ В ПЕЙ !ТОГО ервой реп«ения ,«)! аеВые рихле Г5.2)-, -'~~ можно ..;;;Ф;- е1, Гее:я 5,4), В "::,::!1:; 120 которой х, жО, к, пО, рюО, у~н0; и.,(х,~) — решение задачи ~5.2)-(5.4), в которой / и О, р м О, у~ и О.
Задачу для и,(хл) можно свести к первым двум задачам при пОмощи замены искомои функции. Замечание 4. Часто встречакзтся задачи, решения ие могуг удовлетворять зребоваииям, предъявляемым к классическим решениям. Например, может не выполняться согласование начальных и краевых у~повий. Может оказаться, что невьщолнимо требование гладкости искомой функции. Б таких случаях понятие решения задачи надо рассматривать в более широком, обобщенном смысле. В настоящем курсе мы рассматриваем только классические решения.
п*2. Единственность ретпеппй пачальпокраевых задач дли уравнении колебаний на От~ъез зсе, Теорема единственности регпепия задачи па отрезна. Задача ~5.2) — (5.4) может иметь только одно классическое 1зешеиие. ДОказательство. Докажем теорему для краевых условий Дирихле и для краевых условий Неймана. Предположим, что существуют два различных решения и, (х, Г) и и, (х,з) задачи (5.2) — (5,4), Функция и(х,~) = и,(х,~) — н,(х,~) удовлетворяет задаче ик(х,~) = а'и„,(х,~)„0 <х <~, ~ > О, и(х,О)=0, зк,(х,О)=0, 0<х<1, с и, — — "+ р1и(х,~) = О, д (х„~) с О с «х,— — '+«'.у„и(х,«) =О, «>О <~(х, «) ~ ! Введем функционал ! Е(«)= — ~(и,'(х,«)+а'и,"(х,«))««х.
Смысл Е(«) состоит в том, что с точностью до «юстояиирго:. и ожителя «сти ма .Ь««велич Е(«) является-.' полной энергией колеблющейся струны в момент.;;, времени «Иа определения Е(«) и иа начальнык условий следует, что Е(«) > О, Е(О) = О. ««Е — = ~(и, (х, «)и „ (х, «)+ а' и , (х, «)и „, (х, «))й , Интеграл а )и,(х,«)и„,(х,«)ах вычислим по частям; о а )и,(х„«)и„!(х,«)й = =~'(~,~(,«)и,(~Щ ', — а' ~~„(~,«)ж~,~(,«)«й.
«>О,'!'.,;,, Тогда получим — = ~(,( „-а'ж„)В+а'(и,(х,«) (х,«)с, О Так как функция и (х, «) удовлетворяет однородному- уравнению колебаний, то — = а'(и,(х,«)и,(х,«)( В случае первой краевой и(О,«)= и(1,«)= О во все моменты времени и,(О,«)=и;(«,«)=О. Отсюда Е(«)=со««з«. Но Е(0)=О,поэтому Ь(«)жО. В случае второй краевой задачи н~„(0,«)= ж,(«',«)= О. Отсюда — =- О и снова Е(«)и О.
«Ж ««« Следовательно, Е(«) га О для обеих краевых задач. Отсюда Гюлучаем и', (х, «) = О и н', (х, «) = О „ О < х <«, «> О. Поэтому н'(х,«)«-сола«. Так как и(х,О) =О, то и(х,«)е О. Теорема доказана. я. 3. Теоремы сущеетнояянни репзепнн* ЯЯЧЯЛЬНО-К$3ЯЕВЫХ ЗЯДЯЧ ДЛЯ ЯЖВПФЙПЯ колебянпй ия от~зезке. Без ограничения общности можно считагь, что в начально-краевой задаче (5,2) — (5,4) заданные функции у1(«)м 0 и у,(«) = О.
Этого всегда можно добиться при помощи подходящей замены искомой функции. Для простоты будем рассматривать на концах отрезка О<х<1 только краевые условия Дирихле или Неймана (всего 4 комбинации краевых условий). Сначала рассмотрим вопрос о существовании классического решения начально-краевой задачи для однородного уравнения колебаний. Построение решений начально-краевых задач для уравнения колебаний на отрезке можно провести методом разделения переменных. Этот метод был подробно описан в й 5 главы 1 для уравнения теплопроводностн. Для уравнения колебаний метод разделенна переменных основан на той же идее: сначала найдем частные решения однородного уравнения улов»»етворяют однородным краевым ных типов.
разделяя переменные в УСЛОВИЯМ уравнени Х(х) уравнсни Л аний, мы получим для определения обыкновенные дифференциальные «»е 11 Учитывая Лиувилля »е толов Ни ся От так А, отличает !.г!авы гцие им ЕЛЬПО Т( А„общ ОТВЕЧйк» Е4ИЯ В з1п(га порядка а>„= а Я„ 'Геперь урйвнени строить в ИМЕЕТ ВИ и С„' ПОСТО решение я колоб исходно аний в И ЭТО янны ательнос 3 двух функции ме функц Козффиц последов найти и пачальн зтог ряды 0<х заданные по систе вах сравнить х)= > Х„(х) 1!»„, й»(х)=~ Х„(х).»!!„; Ю ! Фурье функций !р(х) и х,О) = ~~! Х„( В х,О)= «» Х„ (О) =- Ю( ффи х)) циенть здесь 1!»„ у~(х) по с и »!».
— коз истеме 1.Х„( «и и„(х»!) х =-! задан и колеб и 1(!) „",(х)+ А. КРВЕВЬ О и т,,"(!)+ и'. й т( ия. приходим к зада Х(х). 3'»а задачй с задачи, рйссмотре! обственные исачения твеииые функции. решать лля Всех !ение этого уравне !) =!",', Сой(с»»„!)+ С„". — ПРОИЗВОЛЬНЫЕ й началын»-краевой силу ей линейное =~~ Х„(х) У„(!). Пр звестных пока посто ых условий: для и !~/(х) разложить В 1Х„(х)! нй отрезке при Х„(х) в равенст 1турмйчем не Х„(х)— ВВнение д„; при янн ые. йЧИ ДЛЯ можно и две х легко. ',:;,«,:. о надо Фурье Задача, Для каждой из 4 комбинаций однородных краевых условий Дирихле или Неймана на концах х=Ои х=1 постройте методом разделения переменных решение задачи г5.2) — (5.4) в случае однородного урав и ' У ' Х1 ~ Х2 Построенное решение и(х„г) будет пока лишь формальным: надо еще доказать„что оно удовлетворяет требованиям предьявляеьпгм к классическим ре|пеииям.
В частности, надо доказать, что функциональный ряд ~~~ .1"„(х) 7;,(г) можно два раза дифференпировать почлснно по х и по г. Для этого нужны некоторые предположения о функциях гл(х) и ~и(х). Разные комбинации краевых условий требуют отличающихся друГ От друГа предположений. Мы докажем теорему 0 сутцествовании классического решения на примере задачи с краевыми условиями Дирихле. Рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения колебаний на отрезке с граничными условиями 1 типа: и„(х,~)=а'и„(х,~), 0<к<~. ~>0, и(х,0) =- гд(х)„и,(х,0) = у~(х), 0 < х < 1, и(0,~)=0, ~ф,г)=0, г>0„ р(О).=4(1)=О, ~.(0)=к.И=О. 15.2) Метод разделения переменных даат ~ли1 . ж Л„=~ —, Х„(х)=яп — х, и=1,2,..., (м)=~~А„„~~ — " ' „«~ —., а.й) лип 2 ', ущ е„= —, А„= — ) р(~)в1л — ~ ~Ц~, ~ а Теорема. Пусть начальные данные удовлетворя«от следующим условиям: функция «д(х)и С'10,«) н имеет на 10, «~ кусочно-непрерывную третью производную, функция (и(х) е С' «10, «1 и имеет на 1«0, «) кусочно- непрерывную вторую производную, причйм 1««(О) = «Р(«) = «««"(О) = «з'(«) = О, у (О) = ~«ф) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
