Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Методическое пособие по курсу. Уравнения математической физики (1127886), страница 11
Текст из файла (страница 11)
С«о 7) Функции ь;(М) и в (М) внутри шаров А'„,?-' и Хл' соответственно удовлетворяют уравнению Лапласа. Напишем интегральное представление функции и) (М) в точке М, и функции ь?(М) в точке М,: ,(м,)= 1(;(г) — — '' — '.-а(?,???) — ' — ?, = да(Р,М,), д,(Р)1 ,.ч, г?л) див = 1(о(р,??,)- —.— '-'--О(?.и,)— МР,М? ) „д('1(Р М )) д??„д??в (10.8) ? ,(и,)= ф~,(?) — '-'--'-о(г,м,) " о~, = , М4Р,М,) . д ?( )) див дн?, ф Ю(?.??,) ??(Р,??ь )) ';: )) дпр д37?, ? (10.91 4 Используя в формуле 110,7) полученные для функций и;(М) и и,(М) их интегральные представления (!0.8) и (10.9) в точках М, и М„приходим к равенству н?)(М?)-и?(М,)=0 или О(М, М?)=(.?(М„М,).
'.)то свойство называется принципом взаимности. Функция 1 рина залу ш Д?(рихле б?(М М ) допускает различные физические интерпретации. Мы ':-::. примем электростатическую ннтерпрет:щию. Пусть поверхность 5 „ограничивающая область й (: Й ' „ сделана из идеального проводника н заземлена, Поместим в точке М, внутри Й электрический заряд -',':: 1 величины —, Этот заряд индуцирует распределение 4ю зарядов иа Я. Поэтому потенциал электростатического поля в области Й (в Вакууме в системе единиц СГСЭ) 1 равен сумме потенциала — поля точечного заряда 4лл и потенциала г(М,М,) поля иидупнровапнык зарядов.
Эта сумма и равна 6(М,М„). Если мысленно убрать индуцированные на О' Заряды, то для сохранения прежнего потенциала 6 в Области Й придется разместить некоторые точечные заряды вне поверхности К, которые в Й создадут поле с потенциалом У. Эти зарЯды ЯВЯЯ1ОтсЯ зеркальными Относительно О изображениями заряда, номе|ценного в точку М,. Такой прием позволяет для областей простой геометрической формы найти я(М„М,) и построить функцию Грина.
Принцип взаимности 6(М„М,) = 6(М„М, ) Означает, что заряд, помепйнный В точку М,, создаст в 'гочке М, такой же потенциал, как потенциал В точке М1, создаваемый таким же зарядом, помещенным В М2, Пример. Методом электростатических изображений пайдбм функцию Грина следующей задачи: Ли(х,у,г)=0 В Й = (- <О < х < +ж, — сс < у < +о5, 0 < з < +со); и~ =,и(х,у); м(х,у, з) равномерно стремится к нулю при разместить найдем 2 а6 ~В~1 зО Получили интегральное представление решения: +МР (М ) ~~ зо ( ),~„а~, 1(х-х,)'+(У-У,) +з,'12 интеграл Пуассона для полупространства я > О. ф 11. О существовании решений краевых задач. В данной гзаве мы уделяли основное внимание .: математическим постановкам краевых задач для --: уравнения Лапласа и доказательству единственности их решений.
Полное исследование корректности этих задач ':: 1существование решения, его единственность и х +7 +у -+се. Заряд величины —, помещенный в точке М,(х„у„„х„)1., 4л 1 создал бы в точке М(х,у, з) н й потенциал — — —, если '::.,; 1 47йу,ц бы ие было границы Ь .= 1з = О), на которой индуци13уготся заряды, Заменим эти индуцированиые на Ь' заряды на зеркальное изооражение заряда, помещенного в М„лля этого надо в точке Т(х„у„-з,) заряд величины 4л 1 1 6(М,М.,)=- — — — — —.
Для построения решения 4~гам„4лк устойчивость) можно получить нз теории Фредгольма, если свести краевую задачу к интегральному уравнению. В основе метода такого сведения лежат свойства потенциалов простого или двойного слоя 1н обьемного потенциюи в случае уравнения Пуассона в пространственной области).
Изучение зтнх вопросов выходит за рамки нашего курса. В случае„когда область Й имеет простую геометрическую форму, решение краевой задачи можно получить в явном виде, а затем изучить его свойства 1напрнмер, доказать, что оно является классическим).
Методы построения решения п03ВОляют задать его некоторыми формулами: например, полученным в й 10 интегралом Пуассона для ПОлуп)юстранства. ПОДчеркнйм, что зти формулы требуют обоснования. Для такого Обоснования могут потребоваться дополнительные предположения о ВхОдной ииформации задачи. В качестве примера построения формального решения рассмотрим метод разделения переменных для задач Дирихле в круге н Вне круга. Внутренннн задача.
В полярной системе координат г, 1а на плоскости 1 д ( ди ) 1 д'и д,и~г,1Р)- =— — ~г — )+ —, —,=0,0<г<а,0<у<2я; г дг~ дг~ г' дга' и1а,у)= гор),0 < 1Р с 2к. г — непрерывная функция на окружности г = а, 0 < 1л < 2я 1следовательно, 40)=як) ). Удобно полагать, что переменная 1л принимает все действительные значения, н тогда из ОднОзначности функции и для Всех и Вытекает и(г, га) = и(г,га+ 2л), а г(у) должна быть Решение, Найдены сначала нетрнвиалвные частные '.-,- решения уравнения Лапласа в круге вида к(г) Ф(у).
Подставим зто произведение в уравнение и разделим его В( ) Ф(д) на — — †. Проведем разделение переменных, Тогда -;::;, г2 получим две задачи для отличных от тождественного нуля функций Ф(р) и Мг)". и1 г — ~г — )=Я Я, 0<г<а; Й Й с подлежащим определению параметром Л. При 1<0 периодических решений Ф(у) нет. При Я > 0 общее решение уравнения имеет вид Ф(у) = А сов~ Яр)+ В вш ~ Яр), а условие периодичности,'::,' дадт Я = л = 0,1,2„.... Итак, при каждом указанном л Ф„(гл) = А„сов(п р)+ В„з1п (ну) — искомые решения. г'Я;„+ гл„' —.47 = О, которое заменой независимой пе1земепной г = е ~в~дится к уравнению с ностояннь1ми коэффициентами относительно Я = Р(г(р)): К=С;+Н„.р=.С„+О, 1нг, г*, н Л, — произвольные ПОСТОЯННЫЕ. При 1>0 имеем произвольные ностояннь~е, Фуикнии 1нг и гг" з 'Я ~0, имеют особенности при г = 0 решая виутреинино задачу В круге, мы должны их Отбросить.
Теперь г'.(А„созл1Р+В,з1пп1Р), я=0„1,2,..., — частные решения уравнения Лапласа и круге, и в силу линейиОсти уравнения Лапласа н(г,<р~='~ г' (А„соя н р+ В„зт пр) л 6 — его общее решение. Дл» нахождения решения исходной задачи Дирихле подставим полученный ряд в краевое условие и разложим Др) в ряд Фурье по системе синусов и косинусов. Формальное решение: и(г, сз) = — — '+ ~~ — ~ (а„соз пу+ ф„зш лр) и ~ где Замечание.
Решение, построенное в виде ряда „можно записать в виде интеграла, которыи называется -. !' интегралом Пуассона. Для этого подставим выражения а„н,о„в ряд, дазопзнй решение предыдущей задачи, Поменяем порядок суммирования и интегрирования.:,:."::.'.! Тогда и(г,гл)= — ~ ~(Ь"' — +~ ( — ~ созл(у-Д Ы~. т„2 рм а Для преобразования выражения в фигурных скобках „, ! вспомним, что;-. ::1 соз л(у — ~) = — (ехр(гп(у — Д+ ехр(- ~п(р — ~))) ( г мнимая единипа ); учтйм условие 0 « — 1, записывая а суммы членов двух геометрических прогрессий со — ехр(+зп(у-Д. В результате,'- знаменателями вы~с~о ркла Фурье решение н~Г,~а) получится в виде интеграла: Впешиии задача. В области О<а<г«+ээ, О<у<2ьт ~ T, ф~ — полярные координаты) надо найти гармоническую функцию, регулириузо иа бесконечности.
В двумерном случае зто требование сводится к ограниченности искомого решения и(г,гя), Разделяя переменные в уравнении Лапласа в полярной системе координат, мы должны теперь отбросить !пг и Я > О. Решение уравнения Лапласа вне круга, регулярное на бесконечности, надо строить в виде Раскладывая в ряд Фурье по системе синусов и косинусов заданную при О ь у < 2х непрерывную функцию Др) в краевом условии и~ ЯО)= Д2л)), мы найдем все А„и В„, Учитывая, что И О « — 1, запишем построенное формальное решение: и(г, гл) = — '+ '~ — (а„соя ну+ Р„з1п вр) =- г 1 1 — ц 2эг „' г" — 2г и соз(~9 — ~)+ц" где а„и ф„- козффициеизы Фурье функции /.
Полученные в виде функциональных рядов формальные рец1еиия этих задач требуют дополнительнгло изучения. Мы получим классическое почленно, и выполнены все требования, предъявляемые к Глава 3. Задачи для уравнения колебании*. ~ 1. Построение уравнения малых поперечных ',;.':.' '1 - '1 колебаний струны. Найдем дифференциальное уравнение,:.:," 4 опнсываюгцее малые поперечные колебания однородной струны. Под сгруной длины 1 мы понимаем тонкую',':::. гибкую упругую нить нз однородного материала, В невозмущенном состоянии ее можно представить себе .':: '' как отрезок 0 < х < 1 оси Ох в пространстве. Будем считать, что смещения всех точек струны при ее возмущении расположены в одной плоскости н происходят только в перпендикулярном к Ох 1оо направлении. 1'огда для описания процесса колебаний струны достаточно ввести одну функцинл и(х, Г)- поперечное смещение точки струны с координатой х в момент времени г по отношению к ей нсвозмущднпому состоянию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
