Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Методическое пособие по курсу. Уравнения математической физики (1127886), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Далее будем рассматривать только краевые условия вида и(Р,г)=и(г) нлн — — '= ~ф). ьс(Р,~) дн, пЗ. Кдинетвенпоеть решений начально краевых задач длн уранненпп колебаний ограниченной области пространства. Теорема едннетвен~остн решения. Задача (6.1) — (6,3) может иметь только одно классическое решение. Доказательство. Докажем теорему для краевых условий Дирихле или Неймана.

Допустим, что существуют два ж различных решения и,(Мд) и и,(М,1) задачи (6,1)— (6.3). Введем функцию и(М,!) = и,(М,г)-и,(М,г), которая удовлетворяет задаче и„(М,г)=и' зи(МЛ), (М,~)н Д, и(М,О)=О, ж,(М,О)=О, М е й, а( ) — ' — +4г) '(р,г)=0, г Е,~ ~0, ) . ад!) дл» Построим функционал Е, зависящий от ~ как от параметра: Е(г)= ~ Щ~;(М4+а'~Е Ы (М,~)~'~Н „. С точностью до постоянного множителя (плотности массы) величина Е(~)является полной энергией колебательной системы в момент времени ~.

Из определения функционала и из начальных условий ~Щ следует„что Е(~)>0 и Е(О)=0, Покажем, что =жО. Й Вычислим производную, дифференцируя подыитеграл ьное выражение: — = Щ(и:, и„+а'(у.ахи(М,~) лгали,(М,«)))Г»м . Вспомним первую формулу Грина (здесь ~ — параметр, градиенты вычисляем только по пространственным иерем синим): ЩЛЫт„=о-~~~ Ь„-Щ(я К' я и)аг . о она о Пусть в этой формуле У(М,~) = и(М,г), и(М,г) = и:„(М,г) (в случае первой краевой задачи нужно дополнительное предположение о применимости первой формулы Грина к этим функциям, т.е.

предположение и, и, е би(й)г~б.'~(й)). Тогда -а' ЩЛи(М,~) и,(М,фг„+ .. О„, ~.Ь„="Щ(,.~;-~,)~.„. (б.4) я ~ли а ~1Е Подставляя (6.4) в выражение для и используя й однородное уравнение колебаний. получим — = и ЦиДМ„)) — — ' аЬ„. дЕ, " дж(М,~) Й,, ' дл„,, Б случае первой краевой задачи ж(М,~)=-0, Меб, во все моментм времени ге~О,~о). Поэтому и, (М, г) =- О „М н 5. Отсгода — = О, Но Е(О) =- О, Ю' гй поэтому Еф)м О. ЫЕ М и Е . Отсюда — - =- 0 и снова Е(~) сч О. ау Следовательно, ЕЦм О для обеих краевых задач, Отсюда получаем и„~М,г) ю 0 и втаб ифИ.,г)ж О, ~М,г) е Д, Поэтому и ~М,~) = салаг. Так как и(М,О) = О, то и(М „г) гв О .

Теорема доказана, Замечание Используя первую формулу Грина на плоскости, можно совершенно аналогично доказатв теорему единственности решения в ограниченной области Х) <= Р2. .

Характеристики

Список файлов книги