Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Методическое пособие по курсу. Уравнения математической физики (1127886), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Мы выведем дифференциальное уравнение в частных производных для ц(х,г). заметим, что и,~х,~)- поперечная скорость движения точки сзруны с координа~ой х в мом~~т времени 1, а ц„~х,1)- еб ускорение. Однородность ма ~ ернала струны означает, что е~ о физические свойспга не завнсяг от координаты х. В частности, линейная плотность массы р (плоттзость массы, приходящаяся на единицу длины) постоянна; ,О=~, =СОПГГ, В возмущенном состоянии струны в ней возникают силы упруГости — внутренние силы. натяжения струны. Это силы, с которыми соседние участки струны действу1от друГ на друГЛ.
Будем предполагать, что колебания струны настолько мальг для ее материала, что силы упругости Описываются законОм Гука. Предположим также, что силы упругости в каждой точке струны направлены по касательной к ней„ причем их составляющие, нараллельнь1е оси Ох, постоянны; тогда все движения могут быть лишь поперечными. Можно показать, что составляющие сил упругости, перпендикулярные к Ох, с хорошей описываются выражениями У; пах„~), где 7; = солхг. В ~тих предположениях мы и выведем уравнение ~олебаний. Выделим участок струны ~х„х,~ и рассмотрим его движение в промежутке времени ~Г„Г,).
Вывод уравнения поперечных колебаний струны основан на втором законе Ньютона: изменение количества движения участка струны ~х,,х,1 за время г,-г, Ооусловлено ИМПУЛЬСОМ Снлк ПРИЛОЖЕННЫХ К ЗТОМУ УЧЛСТКУ В ТЕЧЕНИС указанного времени. В момент времени г участок струны кк 1х„х,1 Обл да кол е вом движения 1Р, Ф1М. к, В течение времени ~г„г,1 изменение количсства движения равно ~р, '1и, (с, г,)- и, (.,"„г, .))А".. В момент вРемени ~ па выделенный Участок 1х,кх,~ действУктг силы натяжения струны 7;. ик(хмг)- Т„. и„(х„г) и некоторые внешние сиды 1например, сила тяжести), распределбнные вдоль струны с линейной плотностью Р(х,т) 1г" - внешняя сила, приходящаяся на единицу длины струны).
Если учитывать только силы упругости (т.е. силы натяжения струны) и указанные внешние силы, но не учитывать, например, силы трения„то получаем уравнение поперечных колебаний струны в интегральной форме: ~р,.(иф,г,)-и,(Дг,ф~ = )т, (и,(х„г)-и„(х,,г)~аг+ к1 + ~~Я,г)к~,г1 . (1.1) з к1 Чтобы перейти от уравнения 11.1) к дифференциальному уравнению относительно функции и(х,~), предположим существование у нее вторых производных и„ и и„ и их непрерывность. Применим к выражениям и,(~,1,) — и,(~,Г,) н и,(х,,г)-и„(х„г) теорему Лагранжа, а к каждому интегралу в 11.1) — интегральную теорему о среднем; тогда получим Р,.л,,(с',Р) З~;зх =- (.„.
л„,,(~'*,Г'*)+ Р(. *'",Р'*))~~- оГ, Где Ьл — х, — х,, Лг = 1, — г,. Сокрашая на Ат Лг и переходя к пределу при Зх -+ О н ~~ -+ О, получаем дифференциальное уравнение в частных производных: Р, и„(х,г) = 7:„и„,(х,г)+ 2г(х,!). З~п~шем его в виде и, = й и„, +Д(х,г), (1.2) т, . Р(х г) где а =--'-,,Г(х,г)=- ' . Отметим, что постоянная Ро Ро (м1 а = — 0 имеет размерность скорости ~ — — . Уравнение Ро , сек,) .,-:, (1,2) называется уравнением поперечных колебаний струны. Эти колебания вынужденные: они происходят под действием внешних сил. Если же внешние силы отсутствуют„то имеем уравнение свободных колебаний: лю н ать' (1.З) Свободные колебания обусловлены только силами упругости струны.
Уравнения (1,2) или (1.31 выполняются для всех внугренних точек струны, т.е. на интервале О < х <1. Информаци1о о поведении концов струны надо задать отдельно. Например, если известно, что конец струны х=О неподвижен (жакетка закреплен), то и(О,г)=-О. Если в эксперименте измеряется его положение во все моменты времени, то и(О,г) =,а(г) — известная функция.
Если измеряется действующая на этот конец внешняя поперечная сила, то и„(О,г) = к(г) -- известная функция Б часгностн„если внешние силы на конец х=О не действуют (конец свободен), то и, (О, ~) = О. Аналогичные граничные условия могут выполняться н на конце х =l. Если в некоторый момент времени изВестеп п1»офиль ст1»уны„то и1х,1В )= Е»1х)„О < х < l, — 3 заданная функция. Если в этот момент времени измерены Ф скорости попере пюго движения точек струпы, то и, »1Х,»,)= у»~х), 0 <х и!, — известная функция. Уравнения 11.2) н 11.3) являются уравнениями гиперболического типа (см. введение). К таким же ф урйвнениям п,»иВодят йналогичньге по смысл, предположения о малых продольных колебаниях упруго~о стержня, о колебаниях в электрических цепях и Пример. Одномерный однородный упругий стержень О < х < l»гаходится в состоянии покоя в моменты времени г <О.
И моменты времени»>0 к его концам п1»вложены противоположнО направленные про»дольные 1вдоль оси Ох ) растягивающие силы величины у = соля» каждая. Тогда продольное смегдение и(х,г) точки, имевшей В состоянии покоя коо1»динйту х, удовлетворяет зйдйче для уравнения свободныя колебаний (на интервале О<х<1 внешние силы на с гержень не действуют): и„= а'и„„О «х <1, г > О,' и,(О,г)= — „и„(/л)= —, г>О, lг — коэффициент /г упругости; и(Х,О)=О, и,~х,О)=0, 0<х<1.
~ 2. Задачи Коши для ураинення колебаний на прямой. Область изменения пространственной переменной х может быть неограниченной. Если нас интересуют колебания струны на участке вдали от ее концов и в пи г',.~: таком промежутке времени когда влияние к«з ннов не успевает еще сказаться на выбранном ) 1астке, то струну можно считать бесконечной, Дример„1зес конечная струна (- ц5 ~ х .
+«с, у = О, х =- 0) момент времени 1=- 0 имела нзп16 (поперечное отклонение от осн Ох в направлении Ох ) у(х) н поперечную скорость р(х). Колебания струны вынужденные — под действием распределенной вдоль нее поперечной силы. 'Гогда поперечное ~~ещение и(х,1) удовлетворяет в области -«с <х<+«с, г >О задаче без краевых условий задаче Коши (см. (2,1), (2.2)).
пЛ. Метод Даламбера, Сформулируем задачу Коши для уравнения колебаний на прямой: и„(х,г)=п и„(х,1)+Дх,1), хе Р', 1>0, (2.1) и(х,0) = (и(х), и, (х,0) = у«(х), х е Я', (2,2) Определение, Классическим решением задачи (2.1), (2.2) называется функция и(х,1), определенная при хаЛ",~ >О и непрерывная вмест~ со своей первой производной по 1 в области х е Р', ~ > О, имеющая непрерывные вторые производные в области х и Я', г > 0 и удовлетворяющая уравнению (2.1) н начальным условиям (2,2).
Из линейности зада«1н (2 1) (2 2) следует что можно провести ей редукцию и представить и(х,~) в видесуммыдвух функций и,(х,~) и и,(х,1)„где и,(х,г) — решение задачи Коши для однородного уравнения колебаний и неоднородных на«ильных условий, и,(х,~)— 105 решение задачи Коши для неоднородного уравнения колебаний и однородных начальных условий Рассмотрим сначала э~дачу для однородного уравнения колебаний и неоднородных начальных условий: ик(х,«)=а и 1х,«), е 1«', ! >О, «2.З) и1,х,О) = 1а(х), иЯх,О) =- 1и(х), х ~ 1«'.
«2,41 Предположим, что существует классическое решение и(х,«) этой задачи. Преобразуем уравнение колебаний к виду„содержащему смешанную производную. Введем новые переменные ~ = х- а«, у = х+ а«. Тогда 1 1 х= — (~+г«), г= — ~~«-~), и искомая функция будет 2 2и иметь вид «фд)=-и~ —,— ~, Ей производная Ц+у ц-~'1 2 2и 1 1 ««=и.х+и « = — и- — и. Х ~ ~'т 2'Х 2 '1. Смешанная 1 1 1 1 производная Ь вЂ” -" и + — -.
и — — — и — — — и = О в ~9 4',м 4 и 4 ' и 1 т' Ф силу уравнения (23). Уравнение ««,„М)=О «2.5) ле1ко проинтегри1зовать. Оно означа~т, что У.1Дц) не зависит от у, то есгь «« ~Д,ц)= ®): Проинтегрируем последнее равенствсс Я,г«) = ) ®)4'+ соиИ, где постоянная не зависит от ф, но может зависеть от ц. Таким образом, ««Ф, )=хЫ) лМ). «261 106 ,:::: где ~, и 1', — произвольные функции. Возвращаясь к прежним переменным х, 1 и требуя .~ нС, ~, пС,мы : получим общий вид решения и(х,1) уравнения12.3): и(х, г) = У (х — аг)+ „~., (х + аг).
12.7) Определим функции У, и ~, таким образом, чгобы выполнялись начальные условия 12.4): и(х„0) =,~; (х)+ ~, (х) = га(х), г(, )=-.~;( ) Ю2(х)=М(х), 1 1 где штрих означает производную по полному аргументу. .г'( )+Л( )=Мх) 1" — Дх)+ «,(х)= — )уф)~~я+С, С=со т. Отсюда Л(х)=-~(х)- — )'Ъ( М- —, 1 1' С 2 2а„2 1 1" С Л(х) = -я ( )+ — ~'у (хМ.-+-- 2 2а„2 Следовательно, ( ) р( - ) ~( ) 1 "7() к-а Формула 12.8) называется формулой Даламбера, а метод построения решения задачи 12.3), (2,4) называется методом Даламбера. Функции вида У,(х — аг) и,Г2(х+аг) описывают волны, распространяющиеся вдоль оси Ох со скоростью а . Позтому уравнение колебаний называют ещй волновым уравнением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
