Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Методическое пособие по курсу. Уравнения математической физики (1127886), страница 8
Текст из файла (страница 8)
= О „так кая ди ди о Ли = О и лгут = О . может существовать только если Ць(Р)йт = О.условие разрешимости аналогичной задачи для уравнеиня::-, Пуассона Ли=-1(М), М а, ди — = ~(Р) ди Р,т выглядит так: Щ1(М)~й+Ои(Р)йт=О. Это условие вьпекает из первой формули Грина, если положить..:: т(М) м 1. 2. Формула среднего значения. Если и(М) — гармоническая функция в области й, то для любой точки Май имеет место:,:-'„ представлеиие и(М)= —,Ои(Р)Ы,,где Е~-сфера 4тит' „.,„ радиуса а с центром в точке М, целиком лежа~пал в Й,т.е. Е„" (:.12. Доказательство.
Применим третью формулу Грина к шару К„с поверхностью Х,": и(М) = — — ) и(Р) — — — — — Ист, Так 1 ° д 1 1 1 ! ди(Р)1 4тт,,! дп ~ 11ти,~ Кти ди как — = —, — — =- —,, то, учитывая К,и „и дл Лти „и Π— сйт = О, получим и(М) = —, Ои(Р)Ат ди 1 „ди 4ю',„ 3. Сугцествование всех производных гармонической функции. Доказательство зтого свойства следует из третьей формулы 1'рина. Прн М, и й поверхностные интегралы я»вля$отся собственными и их можно дифференцировать но координатам точки М, любое число раь замечание. Гармоническая функция во всех внутренних ,очках Й аналитична, т.е.
в окрестности любой точки М, е й разя»згается в равномерно н абсогиотно сходягцийся с~~пеннОЙ ряд. При зтом р»ьаиус сходимости ряда не меныпе» чем расстояние до границы 4. Принцип максимума гармоиическОЙ функции. Рассмотрим область 'Й» ограни ~енную новерхносаю Ь", Й=Й' »Я, '$'е орем а. Пусть функция и~М) гармонична в й и непрерывна в Й. 3"огда она достигает своего максимального и минимального значения на границе области Й, т.е. пщк К~М) = мах и(М), нцпи~М) = пипи(М), Доказательство.
По теореме Вейерппрасса функция и(М), непрерывная на замкнутом ограниченном множестве Й, достигает своего максимального значения. Обозначим А = шж м(М) . Предположим, что зто значение достигается в некоторой точке М,(х,,у„я,) н Й, т.е. внугри области й. Рассмотрим сферу Е~~' радиуса а с центром в точке М, целиком лежащую в области Й. Для зной сферы напишем формулу среднего значения: и(М,)= — —;-- Ои(Р)Ыа,, < 1 4ли < Ои(М„~(Ы = п(М„), (5.! ) 4ЛИ',.,,ч Таким образом, возможно только равенство.
Зто значит что в каждой точке сферы Х"," значение функции п(М) равно А, т.е, п(М)~м „,„, = А; в противном случае равенство в формуле (5А) не будет выполняться. Тенер~ рассмотрим сферу Х, ' с центром в точк~ М, е 1:„' радиуса и,, целиком лежац~ую в области Й. Аналогично предыдущему покажем, что и(М)„,„, =- и(М,)= и(М,)= А. Можно построить такую последовательность сфер Х~ с центрами в точках М„еЙ радиусов а„, целиком леягащлх в Й, что последовательность точек (М.) будсг сходиться к точке МпЯ. В силу нашего построения п(М,)ь и(Мя)=А для любого л. Так как функция и(М) непрерывна в Й, то последовательность (и(М„)) будет сходиться к и(М), откуда следует„что и(М) = А . Теорема доказана.
Замечание 1, Аналогично доказывается теорема о минимальном значении гармонической функции: вместо функции и(М) надо рассмотреть функцию г(М) = — и(М). Замечание 2. Фактически доказано более сильное утверждение: функция и(М), гармоническая в Й и непрерывная в Й, принимающая максимальное значение В Й, являечгся константой В Й. Т.е, из всех гармонических функций голько постоянная функция может достигать ~кстремального значения Впугри области Й. замечание 3, Для функций двух перемениых Все указанные свойства сохраняются, только теорема о среднем 1 знтчещщ запище гся звк' н(М ) = — ~и(Р)Я, где ~ч 0 С ЦЕНТРОМ В ТОЧКЕ 1 6.
Едииственность и устойчивость решения внутренней задачи Дирихле. замечание. Если в определении классического решения Внутренней задачи Дирихле отбросить условие Непрерывности функции и(М) в замкнутой области Й, го НВРУШИтСЯ ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗаДаЧИ, таК КаК Ев " — ОКРУЖНОСТЬ РВДИУСВ М„(х~,у ). 1 ледетвие. Гели две гармонические.
функции В(М) н т(М) непрерывньгв Й,н и(М)~ г я(М)~„„,„товсюдув й н(М) ~ г(М). Локазательетво. Надо рассмотреть гармоническую функцию :(М) = г(М)- н(М), рая будет «рерь Й в Й „ н(М)~„,,; > О, В силу принципа минимального значения н(М) 1 О всюду в Й . ~~сон«т, М «в Й, люойя фуе«кния вида Й(М) '= «будет (,и(М), М г .««' решением задачи. З'е««рема единственности реигении зйдйчи Дирихле. Внутренняя задача Днрихле ис может иметь более одного .,: класси ческОГО решения. Доказательство, ДОпустим, что сужествутот два решения::.; задачи Дирихле н«(М) н и,(М). Введдм функции« ' к(М) = и, (М) — и, (М), «(М) будет удовлетворшь условиям Гн С(Й);, Лг(М)=О, М н Й; «(Р)~, =О.
Функция з(М) является решением задачи Днрихле с' ',, ОднОродиымн Грйничиь«ми услювиямн. ПО теОреме Вейеригграссй любая непрерь«Зная функния в зймкнутой ограниченной области достигает своего максимального и минимального значений. Если з(М) > О хотя бы в одной области Й, то Оий максимального значения именно внутри области Й, но зто невозможно в силу принципа максимума. Аналогично доказь«веется, что г(М) не может бмть меньше нуля внутри Й. Следовательно, Г(М) «««О. Теорема докйзйнй.
Замечание. Доказанная теорема единственности решения внутренней зйдйчи Дирихле спрйведливй и в случае уравнения Пуассона Ли = - г': если имеются два решения краевой задачи, то их разность удовлетворяет уравнению Лапласа и нулевому краевому условию Дирихле. Перейдем к определению устойчивости решения задачи Дирихле.
70 Определение. Задача иазмвается устойчивой, если мальв~ изменениям входной информации соответствует малое изменение репхсния. Рассмотрим две задачи Дирихле: Ьи,(М) = О„М и й, и,.(Р~~, =,и,«Р), ~ =1,2. Введбм расггояиия между функциями: РЬ,,И,)=~1д, -М!„,.) =,;М(Р)-Л.(Р), у7(и~, и )= )(и — и (~, —, = пзаф1 (М) — и (М). Ис л уя рь,,,и2) Р(и,,и,), опред . Им по ятие устойчивости для задачи Дирихле. Определение. Решение задачи Дприхле называется устойчивым, если для любого г > О супвствует ф ) > О такое, что нз неравенства,о(И,,,и, ) < д(к) следует ~9(и~, из) < ь, Теорема. Для задачи Дирнхле, если р(и,, и,)<;г, то р(и,, и,) < ы.
Доказательство, Заметим, что функция и(М) и а гармоническая и всюду положительна, Рассмотрим функцию т(М) = и, (М)-и,(М). Из принципа максимума следует, что если на тряпице области .'ч~~ <е, то ~в(М)<е всюду в Й. Теоремадоказана. Замечание. Если функция р(Р), Р и Я, имеет разрывы 1 рода, то в постановке задачи Дирихле надо отказаться от условия непрермвностн искомой функции в замкнутой области. Т,е. если и- кусочно-непрерывная функция, то задача Дирнхле будет ставиться так; найти функцию и(М), гармоническую внутри й.
и(Р)„,, =,и(Р), где Р - точки непрерывности функции ,и, и ~и~ < А, А = сии~. Для такой обобщенной постановки задачи остается справсдлнвои теорема единственности. 7. Внутреннин зидичн Нсйминй. Рассмотрим внутренн~ою задачу Неймана: Ли(М)=о, М а, 17. 1) — ' — —.- =- '(Р), Р но', ди(Р) (7,2) дл Замечание 1. Гслн нормаль Й к поверхности 5 составляет угол а с осьв ОА, угол Р с осью ОУ и угол у с осью ОЯ. то ди ди ди ди — = —.сова + — соя,д + — -сов у, до дк ду (Ъ Замечание 2.
Резпенне задачи.Неймана отличается от решения задачи' Дирикле тем, что оно определяется с точностью до констинзъь Бени и(М) — репзеняе задачи Неймана, то о(М) =- и(М)+ С, где С = сон.н „вЂ” тоже рецгеиие той же вадачи Неймана, Это лпко проверить, если подставгггь фуикни1о к(М) в задачу 17,1)-(7.2). 'теорема. Ренгенив задачи Неймана определяется точностью до произвольной постоянноЙ, т.е, если и, (М) и и,(М) — решения одной и той же задачи Неямана, то и, (М)- ия(М) = согнг, Доказательство. Здесь нельзя воспользоваться пвинципом максимума, так как неизвестно, чему равны значения ) на границе. Позтому используем Допустим, что существуют две функции М), являюгциеся решениями задачи ), (7.2).
Рассмотрим функцию ,(М). к(М)о С (й)гзС (й), Функция яет задаче Мнй, ием зтой задачи является г(М).= сопи. ругих ре~леиий нет. Применим первую к функции к(М): = Ц вЂ” — о' — Щ(р'ои р' йз)й ду к дн о Лт(М)=О, Май, и — '-' =О, д.(Р) Щ(йг д .лг«~ )де=О, .е. '-!функции и(М :;;-':формулы Грина.
':и(М) и и,( '!::Неймана ~7.1 т(М) = и, (М)- а .~-;::.::,'.-,':::~~(М) удовлетвор Лз(М) = О Ъ(Р) ~";:,!~~:;' '.Очевидно, решен :;::~-;: Докажем, что д !::~~~-';: формулу Грина Щгдоч7г ,~,:.::;:::: Получим ~риа . атй :„",!:, сумма неотрнцат :д~ дг д~ ;~ !."'; .«1(М)= сопряг. Тео + — + — - = О, Гак как вшоду в области й, Отсюда получаем реми доказана, Замечание 3. Необходимым условием разрешимости ', задачи Неймана является Ц~ (Р)йг = О.
Это следует из ' ~ гОн(Р) свойства гармонической функции: д — - но = О. дл Замечание 4. Совершенно аналогичными свойствами '' обладает внутренняя задача Неймана в ограниченной::::: области ХЭ на плоскости. Задача. Разрешима ли задача для функции и(г, у): Ли =- О, 0 < г < а, О < р < 2х „ г, тл — полярные координаты на плоскости; — = 1,; л Оьгл<2х? 9 3. Внешнве краевые задачи в проетранетве.,: и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
