Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Методическое пособие по курсу. Уравнения математической физики (1127886), страница 6
Текст из файла (страница 6)
~8.8) 2ж Подчеркнбм, что формулы (8.7) и г8.8) имеют смысл голькО при надяежащих предположениях О функции Л~х), ПОэтОму прОВОдимьье здесь рассуждения — лишь шггуитивный вывод решения задачи (8.1), г8,2), Подставим формулу (8.8) в (8.6) и поменяем !10рядок иитегрирОвания, тогда получим 'Ьл= ~ — ) '""'"'+Ое 2х „ вычислим интеграл,У(гг„д) = )е ~ "' гй „который является внутренним интегралом в формуле (8,9) при Р"' = а'г „а = х-с, Для этого вычислим его производную по сг: ЫУ г ч1 У г 1 -яч1) Ыгг „2,8' с,'ледовательно, длл,У(а, УУ) получили диФФеренциальное уравнеиие: аУ(гг„В) и +, .У(гг, УУ) = О.
Его решение имеет вид Йт 2УУ' Отпода,7(и,р')=- — — е . Подставляя '1х — ь,ачба) в ~ я 4р'" Ф формулу (8,9), получим формальное репнине задачи Копзи: (: -~)' а~А (х,~)= — - — (е ' " у(~к~~;. 2~ж'~,„ (х. «у Определение, Функция 6(х, ~л) = — — е 2,/ 6 называется функцией Грина или фундаментальным решением уравнения теплопроводности. Интетрал м(х,1) ~6(х,ь,1)" еф)п называется иитепралом Пуассона. Докажите самостоятелыю свойства функции Грина: 1, Функция 6(х,Д~) определена при ~ > О и удовлетворяет уравнению тепло проводи ости по переменным х и Функция 6(х,Д,!) положительна при любых х, ь» е ( — се,со) и любом ~ > О. 3. При ~ = О функция 6(х,Д,г = О) имеет особенность в точке х = ~: !шз6(Д Д~) =+ о. 4. Функция 6(х, Д г) удовлетворяет принципу взаимности 6(х,~,~) = 6(~,х,~).
~ 9. Существование реупенин зидзчн Коши дли урнииеннн теннопрОВОдноети нн примОЙ. жем существование и ограниченность и(х,~)= )6(х,Д~) ррфгЦ. Сделаем замену ~ — х х=- —, ~=2й.4Ь+х. В результате 2,/» ' ~ геремеиных 1юлучим: ~ и(х, 1) < — — ) ~ р(х+ 2 ха /г (е ' сй 5 = ) е ' ая = М, Следовательно, функция м(х,г) существует и Ограничена. Чтобы доказать, что функция и(х,~) УДОВЛЕТВОРЯЕТ однороднОму 1сплопроводиости, используем так Обобщенный принцип супернозиции: если функция и(х,~„~г) по переменным х, ~ УДОВЛЕТВОРЯЕТ линейному ОднОроднОму дифференциальному уравнению А(о) = О при любом А, ураВнению называемый реорема существования репзения задачи Коши длн ОЛПОРОДИОГО УРаВИЕИИИ тЕПЛОПРОВОДИОЕтн, Пусть р(х) — непрерывная и ограниченная фхнкция на ЧИСЛОВОЙ ПРЯМОИ': Ч~(. )НС, ~уй < М, хек'. Т гда ф рмула иЬД).= )й(х,,"д) гл(~Ы определяет при (х,~)е д классическое рещение задачи (8.1) — ~3.2), /~оказательство, Дока то и функцпя и(х,»)= )»»(х,»4)»»х удовлетворяет.-'.
'зтому уравнени|о: ».1и~ = О. если все производные по х и, » можно вычислять под знаком интеграла, Из обобгцс ного прззпци»га "уперпозиции,". непосредственно следует, что функция;:: и(х„») = ~Сх(х,~,»)»р(~,")~»~ удовлетворяет одпородному.ь, уравиизии теплопроводности. Для применимости обобгценпого принципа -:- суперпозиции достаточно доказать, что интеграл,, получеззныйз формальным дифференцированием функции "::, и(х,») = ~Сх(х,ь",») р(~Щ по х и», сходится равномерно. Докажем равномерную сходимость':,: интеграла )б,(х,~,») р(с)»», в окрестности л»обой внутренней точки (х,») н д . С9.1) О»' 1 „( -~)' Так как — = — — 6(х,,",»)+ —,—,-6(х,~,»)„то нужно д» 2» 4а'»' доказать равномерную сходимость интеграла ( -~) ) ~(") ) 6(х, „-", » — -+ —,= =»»~ (9.2) 4' в окрестности внутренней точки (х„»)нф, =Я х(к,Т1 для любых к>О и Т>к.
Сделаем замену переменной .:: ь'-х х = —, то~да получим интеграл 2п,/» ' ./ г 1/ 1») 2а»г»яз 2а~»»г+х г 1/ ЙЗх,х+ 2»»~/»х,» — — + х йЛ= функпней Я4'. ' „ннтег1зас! от кото1я>й сходится, интеграл )е ' р1х+ 2ая-~г)!а сходится рав!гомерно по, парах!отру 7 при О < ! < Т . В силу непрерывности "'!„' поды!гте!.разы!ой! функпии ыо!кно осу!Пес! вить предельный переход под знаком интеграла, т.е..:;. 1 1пп!!(х,г) =- —,, е!(х) )е" ж = !р(х). Следовательно, !-~!! функция и(х,г) непрерывна в области !1 н непрерывно;":: примыкает к функпни !р(х), ! е!!рема дока!ана. рассмотри ы первуго красну!о зада~г!! для уравнения л = и и, (х,!) е д!, с однородными граничными условиямн и(0,г) = и(!,г) = О, ! > О, н начальным условием н(х,0) = 1а(х), х е (О,!').
1'егпепие .хвой задачи строится методом разделения переменных и,;." представимо в виде и(х,г)=,'"С,е !'~ з!и ~х, ~1 О.!) е ! 2 „. ж С-'„= — )Е!(ь)апз — ~ А," „и = 1. '2,..... 110.2). Преобразуем полученное регвени, поде~валяя 110.2) в (10.1) и меняя порядок интегрирования: ~ ~ — ~у(ь')я!п~ — ~~!Ц е ' ' яп — х = п ! «««« . Ди „ — з1п —. х. 51П вЂ” —, 1Р(ь )«А 11ведем Обозначение 6(х,',«)= — ~~с «ип -х вш — ь 110«3) говда 1зешенис получим В Виде и(х,«)= 16( .',«), К««' 110.4). О 1«пределенне функция «3(х х «) определяемая формулой (103), н«хзь«лается функцией Грина для первой иачально-краевой задачи лля ураВнения ".сидо««роводности иа отрезке, рассмотрим краевук«задачу для ограниченно«о .
«ержня с источником тепла, т.е. будем покат'ь реп«ение : ~еодиОродново уравнения теплопроводиости и, =а"и„+ «(х,«). (х,«)и««,, с иулевмми граничньлии . Оловиями и(0,«) = и(«,«) = О, «> О. и нулевь«м иачальнь«м условием и(х,О) =- О „х и (О,«). С помощью функции Грина решение этой задачи иредстаВНМО в виде с С и(х,«)= Цб(х,~,« — т)«(„"',г)«Ц««т, где функция ««(х, Ь",« — т) определяется по формуле 110.3). 1амечание 1. Бели уравнение и начальное условие ~ «еоднородные„то решение задачи и, =а«и +.«"(х„«), (х,«)е««,, и(х,О) = р(х), х и (О, «) и(0,«)=-О, и(1,«)=О, «>О мОжнО прсдстаВить В Вндс суммы:;,' и(х,«) = «««(х,«)+ и«(х,«), где фуцкцня н,(х,«) удОВлстВОряст задаче и„=- а и„„, (х, «) е «««, и, (х,0) = «««(х), х и (О, «) ««,(О,«)=О, ««,(!,«)=0„«>0, а функция н,(х,«) удовлстворяст задаче н„= ««~и,„+ у(х,«), (х, «)н «у,, и, (х,0) = О, х н (О, «) и«(0,«)= О, и„(«,«) = О, «> О.
Замечание 2. Гели кроме неоднородности в уравнении и:.,' начальном условии сщб н ! раничныс условия неоднороднь«е, т.е. и, ='а'н,„+„«'(х,«)„(х, «)и ««, „ н(х,О) = р(х), х и (О, «) и(О„«)=, («), н(«,«)=,и«(«), «>О, то решение задачи будем искать в аиде :: ««(х, «) =- у(х, «)+ У(х, «). Потребуем, чтобы функция У(х, «) удовлетворяла УСЛОВИЯМ ««(0,«)=,и«(«), ««(«*,«)= и,(«) Эти условия определяют:::;, функцию ««(х,«) неоднозначно. В качестве этой функции возьмем функцию, линейную по х, т.е. «, ) =,()+-х — '(,(«)-.,(«)) Теперь перепишем краевую задачу для функции у(х,«): к = а 'и„ + Р'(х,«), Р(х, «) = «'(х, «) — ««,, (х, «) е ««,, а(х,О) = Ф(х) = у(х) — ««'(х,О), х н (О, «) .(Огз)=О, ~1,~)=О. Г>О.
11озучилн задачу. которая рассматривалась в с1мечзннн 1. 11. Единственность рензении изорой начально-краевой задача на отрезке н в ограниченной области пространства. Единственность решения начально краевой задачи с Граничным услОвнем й рода мы докажем прн помощи Некоторых тождеств для решения однородного уравнения теплоироводнос Гн, Для получения этих Геждсета . Введ6М дополнительные упрощающие предположения: будем считать, что рассматриваемое дл решение и(М,1) имеет непрерывную производную — и д1 пепрерывные вторые производные по координатам точки .ц прн О < ~ ""- Т, М о й, Кроме того, будем редпола * „то решение непрерывно в К ( .е. ри О<Г<Т з Й) н удовлетворяет уравнению н, =а~Ли прн О<~ < Т, М и й (вплоть до Границы Ь" области ь,1).
Сначала рассмотрим случай одной пространственной переменной. Пусть л(х,~) н С" 'ф) < х < фс (О < Г < Т))гз С(д,, ) н и, = а'и при О<х<1, О<Г<Т. Введ6м зависящий от параметра 1', квадратичный функционал /[н1(Г) ю — ~п (к ~)ДГ, 20 Вычислим производную от этого функционала по переменной г на решении уравнения и, = а и при »>0; —:=)!» — гав=а'р — гй= аи — - ~ -а я! — -!»й. Это н есть нужное нам тождестве< Ь» 1, сээ»» ", я' аи ) (1 1,1) Кроме то! о, как функция от» функционал,УЦ») непрерывен прн 0 <» < Т на рассматр»»наем»)м реп»енин однородного уравнения теплопроводности. В случае трех пространственных переменных .":: будем считать, что сягласть нх ияменения й ограничена. Пусп, и(М,»)е С»я(йх(О <» <Т))»-»~ф!.) н и, =а'Ли при М н й, 0 <» < Т.
По аналогии со случаем одной про!страиствеиной переменной введем однопарамет1эический функционал,»1иЙ»)= — )))и дт, где Ит — элемент объема. Прн» > 0 вычислим Ю производнуго —, предполагая, что и1М„») Й удовлетворяет уравнениго и, = и Ли при М н й „ О<»<Т. ~~= О~и — а»тг и Щ ~и»тт=а Щ»1»!»р и»1г. и ~» а и Далее воспользуемся тождеством йя~ир иди) = !»а»»!»~Й» а»1и)+ (раИи): Щ'„Ои й 2 Щ1,. („„„и1„)»1 2 Я( „п,Уи)! 1„ и дт о ! Опель ~~~по~~зуемся формулой 1'аусса ди ~ гсгроградского Щй(исаа'и)~й = 1)и — агг, где дл д пов<рхность Я ограничивает область кз, и дл О1кч|зводная по нормали к 5 . Б резульзтгге получим 1~1ждество; фи —.:-сй = а' Ди — гЫ-и' Щ(угиги) пг. д1,.
дл Теперь перейдем и нзучси низ единственности решения Второй начально-краевой задачи. Рассмотрим ..у шй одной пространственной перемешгой: и, =и и„+Д(х,г), 0<х<1, О<г <Т; и,(а,г)=и,(1), и„(1,г)--и,(г), О<г<т„ 4хО)= р(х), О~х<1. ели нственносп, решения атой задачи. 111.едположнм, что существ1чот два ее решения и, (х,г) и и,(х,г). Тогда функния у(х,г)=м~(х,:г)-и~(х,г) ' ловлетворяет задаче г, =и 1„, 0<х<1, 0<г<У'; г,(О,г)=0, г„(1,1)=0, 0<~ <Т; г(Х,О)=О, 0<х<1.
11усть для классического решения зтой задачи гьшолнены предположения, сформулированные в начале ланного параграфа, Тогда можно использовать тождество 1 7 111.1). Введем,У~ф)= — )г-(х,г)пх и учтйм, что из О хи краевых условий следует ~г — ~ =-О. Из тождества дх 111,11 получаем — =-а' 1~е — ! дх<0 прн ~ >О. При 1=0 имеем из начального условия т1х,О)=-О, откуда .ХЦО) = О.
Как функция от ~ функционал непрермвен при О <1 -'Т, неотрицателен, монотонно нс возрастает, .ф =- О) = О. Поэтому .У~ф) яа О. СЛЕДОВВТЕЛЬНО, У~Х,1) га О, Н ВТОрая НВЧВЛЬНО-КраЕВВЯ задача может иметь лишь единстВеннос реп1енне. В случае трех пространствеинмх переменных имеем задачу в ограниченной области Й с г~ад~ой границей Я: и, =а'Лн+ у1М,~), Мсй, 0<г<Т; — =н(Р), 0<т<Т; йф',г)1 гее Н1М,О)=у~М)„М н й. Докажем единственность . репжиия этой задачи. Предположим„что сутпествугот два ее ращения и,(М,Т) и и,(М,г), Тогда функция т(М,1)еен,1М,г)-Н,~М,1) удовлетйоряет задаче т, =и'ЬЯ, Мей, О<~~Т; =О, 0<т<Т; Ь(г,т)1 дн 1~(М,О)=0, .Мба. Пусть длл классического решения этой задачи вьгполнены предположения, сформулированные В начале данного параграфа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
