Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Методическое пособие по курсу. Уравнения математической физики (1127886), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Их можно охарактеризовать вектором плотности теплового потока Й»(М,»). Пусть йт некоторая цлояадка, а Й вЂ” единичная НОрмаль к Йу . 'КоличествО тепла протскаюп$се через ОО' за единицу времени, равно Й»„~ЬТ=-(и» й)йг. По закону Фурье Й» = -Фуад, и, где скалярная величина козффициснт тсплОЩюводности среды. В об1цсм случас„ ' сели среДа неоднородна, Ф ЯвлЯстсЯ ф) нкцнсй тОчки М .
Поскольку Ф> О, знак '"минус" в законе Фурье указьпиет, что тепло распространяется именно от области с высокой температурой к области с меньшей температурой, а нс йаоборот, Выведем уравнение, описываюгцес процесс распространения тепла ~уравнение теплопроводности). .
Рассмотрим некоторую область Й, ограниченную замкнутой поверхностью б. Уравнение баланса тепла для Й за время Ж =», — », запнгается ввиде ЩС»э~ (М,»»)-ПАП»,», ))»»г„. = = '~.»ои.~р,») .„+'~н»Щг~м,»),. где М(х„„у„„зн) — точка интегрирования по а, »»гп = Й:мфмй'ч — элемент объйма, Р(хг,у„а„) ТОЧКа ИНТЕГРИРОВВНИЯ ПО ПОВЕРХНОСТИ 'С йге элемент поверхности,С вЂ” удельная теплоемкосгь, »э— ПЛОТНОСТЬ Массы.
г"ТМ,») — ПЛОТНОСТЬ ТЕПЛОВЫК ИСТОЧНИКОВ (ТЕПЛО МО»КЕГ ПОдаватьея И Обаает»ч ЛибО поглощаться вне зависимости от его температуры). Соотношение »1.1) представляет собой уравнение теплового баланса В области Й за время Л»: изменение количества тепла в объеме й за время »)» 1левая часть уравнения)„Обусловлено потоком тепла через граничну»О поверхность О' (первое слагаемое в правой части уравнения ) и теплом, гииделиВщимся в Обьйме й за время Л» в результате действия источников ( в»орое слагаемое в правой части уравнения), Чтобы перейти от Интегрального уравнения баланса к дифференциальному, предположим, что функция и(М, ») дважды непрерывно дифференцнруема по ~х,у,г) и один раз по», Тогда можно воспользоваться формулой Гаусса-Остроградского ОИ'„»»о,, = Щйт И' »»т„= — Щ»»»т(А дгп»» и)а'г„, . 10 С р — ' = сЬ:(Ф дгади(М,г))+1'(М„г), дп(АХ,~) д1 М = М(х,у,х)е й„ дн д~ ди1 д~ ди1 д~ ди') д1 дх дх ф~ ду ) дя, дх,) В частности, если среда однородна (а=сония), то Ъ,~д'и д' д-'и1 Г =и',+,+, +, где и а ~д' д''д"/ бз' Ср козффипи сит *с мне ратуро проодности.
В более короткой форме записи и, =и Лм+„г, (1.2) г" д' д' д' — А '= — + — + "— „— оператор Лагиаса, С,О дх ду дж Уравнение ~1.2) называется уравнением теплопроводности в пространстве, оно .относится к уравнениям параболического типа. Если у' = О гт.е. внутри тела отсутствуют тепловые источники), то уравнение будет однородным: и, = а Ли. Если функция и(М, ~) зависит только от одной пространственной ди ди переменной Гдопустим, от х), т,е.
— = — =О, то ф' дх' уравнение будет имегь вид и, =-а'и +у, Иоследнее уравнение возникает, например, при описании пронесся распространения тепла в стержне, если предположить, что в каждый момент времени изотермические сечения стержня совпадают с его поперечными сечениями х = еоизт, а форма этих сечений постоянна; температура такого стержня в каждый момент времени зависит лилль от одной пространственной переменной х ~но не от у или: ). Однако рассматриваемый стержень может иметь боковую поверхность, через которую возм(пкеи обмен теплом с вне(пней средой.
Если считать, чта температура вне(пней среды и „,„постоянна, а платность потока (сила, пакидаюшега стержень через боковую поверхность, пропорциональна разности и(х,()-((,,~,„, то получим уравнение и, = и и -о (и(х,г)- и,„„„„)+ (, где Ь = сел.и > 0 . 2.1 Для построения математической модели распространения т~пла в теле необхОДимо к уравнени)а 2) добавить дополнительные условия; Такими условиями являются, например, начальное условие, апределяюп(ее температуру ва всех точках тела в (начальный момент времени, и гранин(ое условие.
Так как уравнение содержит только нерву)о производну)о по времени„та дасгатОчно лишь одного начальногО условия. Если гранина Ж ~бла~~~ Й под((ержнвается при заданной температуре, то и(Р,()=з((Р,(), РНЯ, (>О, где,(((Р, г) — заданная фуикпия, Это условие н~~~~а~~~~ граничным условием 1 рода илн условием Дирихле. Если на поверхности Я задан тепловой поток, то - Ф(Р) — ' = й('„(Р,(), Р о Я, ( > О, ди(Р,() где д /г(Р), И'"„(Р,() — заданные функции, — — производная по внешней нормали к поверхности Я в точке Р е Я, Так как 1(Р)~0, та зто условие моя(но записать в ю!едующем виде: ди Р„«) К'„(Р,«) =г(Р,«), г(Р,«)= — —" — '-, Рн5, «>О, д««х(Р) Это условие называется граничным условием П рода или условием Неймана.
Если на границе 5 области Й происходит теплообмен с внешней средой, то по закону Ньютона получим третье краевое условие." — '+Ь(Р~(р,«)=Х(р,«)„р К, «>О, ди(Р,«) дл д где ««(Р), у(Р, «) — заданные функции, производная по внешней нормали к Я и точке Р и Ь" . Подводя итог, можно поставить общую задачу: С(М) р(М) и, =«««г(к(М) у.ахи)+Р(М,«), МнЙ, «>О, и(М,О) = у(М), М и Й = Й и Я, а(Р) — '+ ~(РКР, «) = у(Р, «), Р н Я, «> О, ди(Р,«) дл где С(М), «з(М), ««(М), Р(М,«), «««(М), ~(р), д(р), ~(р,«) известные функции. Заданное функциями а„,В, з общее граничное условие может возникнугь, если в лекоторьгх точках границы Я известны значения искомой температуры, в других точках границы — плотности тепловых потоков, в третьих — происходит обмен теплом с внешней средой по закону Ньютона и действуют источники тепла.
Такое граничное условие называется локальным: оно записывается в каждой отдельной точке Ра5; возможны и нелокальные граничные условия, связь«ваюшие информацию о функции и в различнь«х точках границы, Замечание. Если гх и О, ф ~ О, то имеем граничное условие Дирихле. Если а ~ О, Р' ж О, то — граничное условие Неймана.
В задаче именно с третьим краевым тсловием (а не с краевым условием Дирихле и не с краевым условием Неймана) а(Р)~0 всюду на Я. ди рогда краевое условие а — + р' и =,г можно записать в дл ди,д виде — + Ь и =- л, где Ь = —, л — — —, дл а и Мы будем изучаль задачи только с краевыми условиями Дирихле и Неймана. 2.2 Рассмотрим теперь уравнение теплопроводности с одной просгрансгвенной переменной«т.е. будем искать распределение температуры внутри стержня длины 1, у которого все точки поперечного сечения имеют одинаковую температуру.
Направим ось х вдоль стержня. Тогда начально-краевая задача будет представлена так: и, =а и,, +/(х,~), хи(0,1), ~ >О, и(х,О) = у(х), х а (0,$ 1 краевая задача: и(О,г) =,и,(~), и(/,~) =,и,(~)„~ > 0„ р а'~ " и«(0«) 1( )' «( ~ ) 2(з)« Так как в действительности решаются поставленные выше задачи при 0 < ~ < Т, то фазовая область для этих задач представляет собой прямоугольник АБСИД в системе координат (х,г) на плоскости этих переменных, где . вершины прямоугольника имеют координаты А(0,0), В(1,0), С(1,Т), ХЗ(О«Т). Уравнение и, =а'и„+Д(х,г) выполняется внутри прямоугольника АВС0, включая границу СР. Начальное условие и(х,О) = л(х) выполняется на границе АВ.
А грани'шые условия выполняются на границах Ао и ВС. Еслп потребовать, чтоб~ уравнение удовлетворялось бьк например, на границе АВ, т.е. при ~ =- О, то тогда необходимо, чтобы выполнялось условие р"(х)=и,„(х,О). Это требование существенно сузило бы класс функций, которые разумно считать решениями задачи. Задага может быть смешанной; в зтом случае„ напрпмер, на левом конце будет ! краевое условие, на правом — П краевое условие или наоборот.
Задача. Пусть И» = сопи > О, Какой физический смысл имее~ каждое нз слсдуюгцнк краевык условий: И' И' И' И» и,(О,~)= — —, и„(о,г)= —, иЯЯ= — —, иЯ,~)= — Уй рассмотрим некоторые предельные (асимптотические) случаи. Допустим, что длина стержня достаточно велика, а изучается распределение температуры стержня вдали от его концов и в тот период времени, за который краевые условия не успеют повлиять на температуру. Тогда получим задачу на всей числовой оси: и, =а'и„+,г(х,г), хн(- о, с), г>О, и(х„О)= у(х), х н ( — а~,сс).
Эта задача называется задачей с начальными условиями для уравнения теплопроводности или задачей Коши для уравнения теплопроводности, Мокнет быть другая предельная ~влача: краевое условие на левом конце сказывается на температуре рассматриваемого участка стержня, а краевое условие на правом конце — нет. Тогда получаем задачу на полубесконечной оси: и, =и'и„, + Т(х,г), хн(О,т), ~ >О, и(х,О) = у(х), х и (О, о), 1 краевая задача: и(О,~) =,и(~), г > О, й краевая задача: и,(0,~)= х(г), ~ = О. Можно рассматривать задачи, предельные не юлько в пространстве, но и по времени, т.е.
возможна ~~остановка задачи без начальных условий, 2З. Уточним математическу1о постановку начально- краевых задач в че гырйхмерном пространстве йз х «О,Т~. будем рассматривать в пространстве л' область Й, ограниченную поверхностью Я. Назовем открытым цилиндром в Я' х (О,Т1 область Д вида «з., =Йх(О,Т~=((М,~):МнЙ,гн(О,Т$, замкнутым 1«нлиндром область «Л, = Й х (О, Т) = «(М, г): М е Й, г и (О, Т1), Где «2 =Й~ ~Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
