Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Методическое пособие по курсу. Уравнения математической физики (1127886), страница 5
Текст из файла (страница 5)
краевыми условиями: ас)!сменных дает решение этой задачи, построенное !)!!!1!х1;:и!ьно: ~7) "" !цх,г)== ~~» С„е ' яп — х, !'6.4) Ю=! ! ! С„= — ~4!(х)з!и — хЬ, и =1, 2,,..., (6.5). ) р!к!!зкем, что при некоторых условиях на функцию 4з(х) ря!! г6,4) с коэффициентами ~6.5) представляет собой к: ассическое решение этой задачи. Для этого н!з!!!ходнмо воспользоваться обобгдснным принципом хт!!српо!зиции н свойствами рядов Фурье. .й!емма (обоб!ценный принцип еупериозиции).
Пусть и,~гд), и=1„2,3,..., — частные репзення линейного ~ и!!!!!родного диффере$!циа!!ьного уравпег!ия Ч!!„1= О, !! все дифференцг!альные операции над функцией и! з„) = ~~!'С„и„!х,!) можно проводить путем почленного н:! !!!ф!)>ере~!пирования ряда, Тогда функция и~х,1) :,! !влетворяет уравнению ЧЦ= О. Л казательство.
Х~и)= Л~ "„~ С„и„= ') С,Ци„~)=- О. 1„»=! м ! Гсорема о ридах Фурье. Пусть функция Г!х), зада!пзая на отрезке — периодически продолжена иа всю числовую сь с периодом 2!'. Если Г(х) имеет на интервале )- 1, !') Ф непрерывных производных, а (к+!) — ая !!ронзводная кусочно- непрерывйа, то сходится числовой ряд ~ н'~а,~+~Ь„~~), где а„, и ܄— коэффициенты ' ю 1 Фурье фу ци У'"1х) по тр м'ри — кой т. е',:: ЛИ .
7Ж функций 1соз — х, ягл — — х ~. 1 .. ж а„= — )Г(х)соз — х ах, Ь„= — ~йх)з1п — хах. 1 Замечание. Пусть функция у (х) задана на отрезке .:." х е 10, (1, непрерывна на нем, имеет кусочно-; пепрсрывную производную и 1'(О) = /'~Г) =- О.
Чтобы с у (х) можно было. разложить в ряд Фурье по синусам,,; нужно у'(х) нечйтным образом продолжить на ~ — 1, 11„:::. Их), 0 <х <1 т,е. положить )г(х)= ' ' . условие,', (- Д~- х), — l < х < 0 Г(0) = ф) = 0 гаранти1эует непре1эывность функции, а нечетность продолжения гарантирует кусочную .":: непрерывность первой производной.
62 Теорема о существовании решении. Пусть функция р(х)еС(0,(1, имеет в области х н в,. кусочно — непрерывную пронзводяую и р(0) = ~ф) =- О. Тогда задача (6. 1) — (6. 3) имеет классическое решение, представимое рядом (6.4) с коэффициентами (6.5). Доказательство. Ряд (6.4) с коэффициентами (6.5) удовлетворяет однородным условиям (6.3) з(п — х = О, а при ~6 6) ~З~~ и( и ) д« «ии -1;-1 "' . лп ~ зе и„(х,«) = С„с ' яп — х. Так как функция р(х) непрерывна на отрезке 10,«1„то она ограничена: ~С ~х)~ < М, х и 10, «1. Тогда ,«:„~ = — фх)ьзп- — х~х < 2М.
При «>« ~ о « "0 он переходит в ряд Фурье для функции 4з(х) в лз« п«власти х н я' «а(х)= ,'~ С„Я1п — х. Ряд ~6.4) и! являс«ся формальным регпением задачи 16.1) — (63), 11кзо доказать, что сумма мого ряда в открьгтой области и П~'Влптаоряст ураВНСНИК) ТСПЛОЩЮВОДНОСЗИ, а В г мкпутой области являет«:я непрерывной функцией. ::1окажем, что сумма ряда «6.4) непрерывна при х н В~, « .. 0 Ряд «6.4) мажорируется рядом ~ 1С;[, который и! 1. з~п«ится пО тедрсмс О рядах Фурьс «в нап«см случас « -0 и все ои =О).
В силу признака Вейерштрасса ряд «и 1) схОдитсй равномерно в замкнутой области $, а СГО умма является непрерывной функцией в области су,. 1аким образом, и1х,«) и Сф). Следовательно, при ~ 0 функция и(х„«), заданная формулой 16.4), ;.'Овлетворяет условию «6.2), а прн х-+ 0 и х -+ «вЂ” тел«1викз 16.3). Покажем далее, что при «> «> 0 равномерно с: Одятся ряды и " д'и„~х,«) ~6.7) „ «)х' ~ ~рр з ~тюте Мажорантные ряды имеют вид ~ а„= ~~> Фи'с ' ' ' и! Где Ф вЂ” некоторая константа, для 1зяда (6.6) равная 3 3 ж1 1'ли') М=-2М~ — ~ „для ряда (6,7) равная %=2М~ — ~ .
Сходимость мажораитното ряда с~еду~т из признака,',. Даламбера; Йп —" —" ==1ип~ — ~ е ' =О, Ряды (6.6) и (6.7) сходятся равномерно и„следовательно, ряд (6.4) можно дифференцировать почлеино в области а, . Б силу обобщениото принципа суперпозиции функция и(х, ~), представимая рядом (6.4) с коэффициентами (6.5), является классическим реьиением начально — краевой задачи (6.1) — (6.3).
Теорема доказана. 7. Единственность ре~нення задачи Конахи для уравнения теплопроводности на прямой. Постановка задачи: и, =а и + 7(х,~), (х,~)на, (7.1) где д = 1(х,~): хн Я',~ >О~, д = 1(х,~): хи к',~>О~ и(х,О) = (а(х), х и г', (7.2) л:,«'(х, «), (з(х) — зала«гные непрерывнь«фу кции, л(х, «) — искомое решение задачи. «1««ределе««не.
К««исси~«еск««м решением задачи (7.1)-- ««,2) называется функция и(х,«), определенная и аш«рерь«иная вместе со своими производными и, и и„, а ««, удовлет«юряющая уравнению (7.1) в «7, ле~~рерывная в ««и удовлетворяющая условию (7.2), Замечание 1, Для этой задачи пользоваться принципом максимума не«шзя, так как область неограниченная. Замечание 2. При решении задачи на бесконечной прямой существенным является требование . «раниченности искомой функции во всей области, т.е.
существование такого М, что ~««(х,«)~ < М для всех «чек (х,«) н д. Для неоднородного уравнения (7.1) это «ребование может и не вьнюлняться. 1'еорема единственности. Задача (7.1) — (7.2) может иметь только одно классическое решение, огра««««чеиное в облас««««7 . Доказательство, Предположим, что существуют два ограниченных Решения ~, ~(.«) « = 1 2 которь«е удовлетворяют щдаче (7.1) — (7.2). Введем функцию г(х, «) = и, (х, «) — и, (х, «). В силу линейности задачи функция г(х,«) будет удовлетворять однородной задаче Коши: , = ««'г„, (х,«) ««, (7.2) г(х,О) = О, х а Я' . (7.4) Условие ограниченности для функций ««,(х,«) и м,(х,«) лает условие ограниченности для функции г(х, «): )т(х,1~ = ~и,(х,~) — и„(х,~ ( < ~и,(х,«)+ ~и,(х,~ ~ < 2М, гдв ° ~и,(х,«) < М, ~и,(хЛ(< М. Таким образом,. функция т(х,~) являе«ся решением задачи (7.3) -- (7.4) и о«раничена в области ц .
Покажем, что в(хд) —.—.. О,.', (х,~)н д, Выберем в полуплоскости и линии х~ =- Х н « =- Т и будем рассматривать ограниченную ~б~~~ть., и, =~ — Х, Х~к(О. Т), ~1, =~-Х, Х,~х(О, Т~. Введем:: 4М~ 1 в(х, «) =- —; — ~ — + и 1 Х,2 вспомогательнукз функцнкз Функция н(х,~) удовлетворяет уравнению,. н, = а н„, . Положим ~=О, тогда ~ 2Мх' «г(х„О) = — „~ ~т(х,О)~ =- О. Пусть ~х~ = Х„тогда Х." н(+ Х„«) = 2М+ —., - > 2М ~ ~ч(+ Х„г).
Так как обласгь 4Ма '« д, ограничена„внутри этой области функции а(х,«) и'. -: в(х, ~) удовлетворяют однородному уравнению:; теплопроводности, а на границе выполняются условия ''' ~~(х,О) < н(х,О) н ~з(+Х„«)~ < «(х Х„г), то к функциям '.: з(х,«) и в(х,~) можно применить следствие из:,' принципа максимума: ~г(х,~)~ < и(х,«), (х,~) и д,, или ' 4М Ь' 4М,~х'' — —,(- — +~'г~- (,~)- —;~ — +~'~).
з~фж нру точку (х,~)е Х,и перейдем к пределу при Х-+:с, ' получим 1пп з(х,~) = О. В силу независимости г(х,~) от:.': с Х. и произвольности выбора точки (х,1) получим, что: всюду в области ТХ з (х„~) = — О. Следовательно, 40 гг,(х,г).== ггггх,г) в су и решение задачи единственно. 1 глгрсма доказана.
.Ьмечание. В задаче Г7.17 -- (7.2;г для однородного грлшгсния ~,г = — О) можно отказаться от ограниченности рггггсггия задачи Коши. Для этого введйм класс функций, ы.ггорьге всюду в Й и при всех г>О удовлетворяют гк"~кгггеггствам ~гг~х,г~ < К.ехрг У х ) с некоторыми Ф ~.'южнтельными посгояегггыми К и У г К и ."определяются функцией гг(х,Г)), В этом классе фуг гкций справедлива теорема единстве~нос~и.
й Перейдем к построению решения задачи. Коши :;я уравнения теплопроводности: — (х.г)н Ч. (Я, 1) и(х,О) = у~х), х н й', Л.2) ,~,.ггг этого проведем некоторьге рассуждения на лгггуитивном уровне строгости, Строгое обоснование ,'шения будет дано в в 9. Будем считать, что решение . "раничено и воспользуемся методом разделения .временных. Решение будем искать в виде лгх,г) = Хгх)- Т(г), в результате получим 'г '(х) Тф) — Поскольку х и г — независимые .'г гх) гг'Тгг') г~сремеиные, имеем Х'~х) Т'гг) — — =-Я' Хг,х) гг'Тг() Потребуем дополнительно ограниченности функций Х(х) н Т(~) в отдельности.
Б результате получим уравнения для Х(х) и Т(~); Х'(х)+ АХ(х) = 0 (8.4) <Х(х)< < М, М =- солт( Т'(г)+я 'Т(г)=0, <ТЦ<М, (8.5) Будем искать ненулевые решения уравнений (8,4) и .::. (8.5), Решение уравнения (8,5) имеет вид ', ч Т(г) = А е *' " . Здесь А — постоянная, которая, вообще говоря, зависит от л. Для Охраннченносгн решения потребуем 1<с Я > О.
Решение уравнения (8,4) имеет внд: Х(х)= В, е"""+В, е "~' . Здесь В, и В, постоянньж, которые зависят от Л . Для ограниченности ;: решения нужно, чтобы 1гп1=0,т.е. 0<1=-Ф', ха Я', ... Следовательно, имеем решения < Х(. )= В(1г) е, ~ г', х В' Т(г)=А(х) е""', ~>0 н(х,м)=С'(~) . """, С(ж)=А(~) В(~), ~ г' Функция и(хд)= ~С(/г).е "ч'"~'сй будет общим решением уравнения (8,1), если этот:: несобственный интеграл, завпсящий от параметров х и ':. ~, сходится в области д к непрерывной функции;. и(х,~), и существувзт частные производные и, и и„,, которые можно вычислять под знаком интеграла. Константа С(к) находится из условия (8.2): 42 и(х,0).= р~х)= ~г'Я е' а, г8,7) г'потно~пение Г8,7) является ркзлогкением заданной функции р~х) в интеграл Фурье, С(1) .- преобразование Фурье функции у(х): С~Ф)= — ~а~ьк) е'а'~ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
