Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Методическое пособие по курсу. Уравнения математической физики (1127886), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Если Т =ее,то полагаем Д=Д, Начально-краевая задача для уравнения ~ еплопроводности ставится следующим образом: а, =а~Ли+„Т(М„т), (М,~)н Д, «2.1) и(М„О) = р(М), М н Й, «2.2) ~т -' ' +фи(Р,~)=2(Р„~), Рн Ь'„ге ~О,со) (2.3) Ои(Р,~) т+,В> О, и> О, Р" > О. Дадим определения классических решений начально-краевых задач. Определение. Классическим решением первой начально- краевой задачи (и и О, ф ~ О) называется функция и(М, з), которая удовлетворяет следующим требованиям: — и(М,1) непрерывна в замкнутом цилиндре Я. „' — и(М,г) имеет непрерывные производные и,.
и,, и, и, (М=М(х,у,х)) в открьггом цилиндре Дг и удовлетворяет и нбм уравнению 12.1)*, — и(М,1) принимает заданные в 12.2) значения при ~=О; и(М,г) удовлетворяет краевому условию и(Р,~)= и(Р,1), РеЯ, при г>0. и(М,г)и Сф )г~С" (Ц ). Ф Опредеаеиие, Классическим ре~цепнем второй начально- краевой зада ги (а ~ О, ф и О) называется функция и(М,г), которая удовлегворяет след) юнцам треоованиям: — и(М ~) непрерывна в замкнутом цилиндре Д и(М,1) имеет непрерывные производные и,, и „ и, (М..= М(х,у,з)) в замкнутом цилиндре Дг 1кроме, быть может, внутренннк точек области й в момент времени ю = 0)„ — и(М,г) имеет нспрерывные производные и„и и, и„, в открьпом цилиндре Ц, и удовлетворяет в нем уравнению (2.1); — и(М,г) принимает заданные в (2.2) значения при 1=0; и(М,1) удовлетворяет краевому условию ди(Р,г) ' ' -' = и(Р, г), Р и Я, прн г > О.
дй и(М,~).С(О,,). Сл(О,)~С"(О.,).а Замечание 1. Необходимым условием сугцествоваиия классического решения начально-краевой задачи (2.1)— 12, 3) является согласование начального условия 12.2) и краевого условия 12.3), т,е. а — — +»Угл(Р) = у(Р,О), Р с 5'. Ор(»') дп Замечание 2, Часто возникают задачи, решения которых пе могут удовлетворять требованиям, предъявляемым к классическим решениям. Например„может не ы шолняться согласование начального и краевого ;словий. Такие регпепия надо понимать в некотором оообпзбииом смысле. В нйстояпзем рассматриваются тОлькО классические решения. Б Отношении поставлеешых зйдйч Возникйют вопросы о единственности решения задачи, о слпествовапии решения задачи, о непрерывной ~авнсимости решения задйчи»об устойчивости) ;юполнительных условии.
Если поставленная задача удовлетворяет этим трбм условиям, то такая задача газывается корректно нос гавлеином*. 13ример, Классическим решением задачи и, =а'и„, О<х<», »>О„ и(х,О) = гр(х), О < х <»; и(о,г) = и,(»), и(»,») =,и,(»)„» > О, цазывается функция (.,») С((О~.
<») (О«<т)) ~Сзз((О<х<») (О<»<т)), удовлетворяюгцая уравнению теплопроводности »в данном примере — однородному), начальному условию и краевым условиям 1 рода на концак отрезка, 1»редположепия о заданных функциях сз, и, и,; сд(х)-' С(О < х <»), п,з(»)е С(О <» < Т), гр(О) =,и,(О), »д(»)=,и,(О). »» Задача.
Сформулируйте определение классического р~шения ~торой нйчйльно-краевой зйдйчн для Однородного уравнения теплопроводности на отрезке 0 ь х < 1. Каким требованиям должны удовлетворять заданные в ней фуикцин7 Ф Задача. и, =а'и +Дхд), 0<х<1, 1>0; я~х 0)= р~х)„О < х <1; и~О,~) = иД и„~1„~) = гД г > О.
Сформулируйте определение классического решения этой задачи. Каким требованиям должны удовлетворять функции,г, р„,и, и? Ф 3. ПрннНнн мигсенмума днн уравненнн тенлонроводноетн. Теоремы еривнеппн. 3.1 Следуюгцая теорема ~алле~~я основной, из нес будуг получены важнейшие следствия, описывающие свойства ре1пений уравнения теплопроводностн. Теорема 1нриицип максимума1.
Решение однородного уравнения теплопРоводности и, = а' Ли, 1Ч,г) е Яг, непрерывное в замкнутом цилиндре О,, внутри этого цилиндра не м~ж~~ принимать значени~, боя~шве, чем значеиияпри г=О или на границе 5 области Й, Доказательство. Введем обозначение А = пих и(М,О); и1Р,г) . Надо иеп Раз, гчйхц доказать„что и1М,1) < А для всех точек (М,~) н О, Это утверждение будем доказывать от противного. Пусть в точке (М„~,) н Д функция и(М,г) достигает своего максимального значения, большего А, т.е. и(М,,г,) = А+ г„х > 0. Рассмотрим вспомогательную функцию ~(М,~) = и(М,~)+аф„— ~), а > О.
Очевидно, 1(М„»к) = 11(МО„»а) = А + 6. ТепеРь оценим максимальное значение У(ЛХ„») на границе области Й нлн в начальный момент времени: Б В н1ах~У(ЛХ,О); У(Р,») ~ ~ А+аТ < А+ —, если»з < —. мк»З Ргз. и~О,»1 2 2У* '1 аким образом, максимальное значение функции У(М, ») ~ш Границе цилиндра меньше, чем некоторое ей значение ьпутр, Следовательно, супзествует точка (М„»,) внутри цилиндра, В которой функция должна дости1ить своего максимума: (М~ »1)н Рг* У(М,,»,)>У(М,,»„)=А+В.Таккак (КА) точка максимума, то должны Выпсо1няться условия для первых дУ~ вроизводньгх: »»г»»»»м У(М~,») ) = О, — а' О д» мь М М, дУ~ М ! --- =О,если»~Т, илн — ~ >0) и длл д» ~ ь д»~- М М1 М М) вторых производных: ЛУ(М,,»,) < О.
Посмотрим, что ц о дабт дла функции и(М,»): н(М,») = У(М,»)-»г(», -») „г» О; ЯУ"И»1»М 1»(М),»1) = ЯГ1»»м У(М1,») ) = О ' д1 — +сг>»»>О; М=м, д» М=М, 1 ь ~=ь Л»»(М„»,)= ЛУ(М„»,)< О. Таким образом в точке (М„»,) „лежащей Внутри области Д,, »зи<О, и, >О, т.е. не выполнветсл уравнение теплопроводностн. Пришли к противоречию, георема доказана. Замечание.
Принцип ма!Осимума является выражением того очевидного факта, что тепло перемещается от мест с большей температурой к местам с меньшей температурой, т.е. Ярастекаетсяя, Прн отсугствпн источников и стоков тепла эго и приводит к доказанному только что утвержденнкх й Для Однородного ураВнення теп)!Опроводнос)н справедлив и принцип минимума: Теорема. Ре)з)ение Одг)ородг)ого уравненн)) теплопроводностн л, ча Ли, ~М,г)ИД, . непрерывное в замкнутом цилиндре Дт внутри этого цилиндра не может принимать значения, меньшие, чем значенняпрн г =О нлн на границе 5 области Й. Доказательство.
Функция л) ~МЛ) = — и(М,г) — тоже регпение уравнения теплопроводностн. Минимальное значение для функции и, (М,г) является максимальным для функцни и(М,г). Следовательно, справедливость этой теоремы следует из предыдущей. Следствие. Из доказанных теорем следует принцип экстремума: значения функции Л~М,г) для всех точек (М,г)н Дт лежат между максимальным н минимальным значениями функции на границе, т.е. ° '~)м,О); )рд)1 )и,) ° ~( .О); (Р,)1. нса гм.г-)кг)) ~ н:П е явь~о)Ц Замечание. Функция и)М„г) = со))Я) является решением уравнения и, =а .Ли и не противоречит принципам максимума и минимума, 3,2 Теорема сравнения 1, Пусть функции и, (М,г), ) =- ), 2 удовлетворяют однородному уравнению теплопроводности и, = а' Ли, непрерывны в О, и удовлетворяют условиям и,(М»0)> и,(М,О)» М е й „и и,(Р,«) > и,(Р,«)„Р н о, «и 10,Т~.
Тогда «ч(М,«)> и,(М,«) во всех точках замкнутого цилиндра Доказательство. Введем функцию»(М,«) = и,(М,«)- и,(М,«), 11усть функция «(М»«) не равна тождественно нулю, в противном слу~а~ утверждение теоремы очевидно. Так как уравнение и, =а' Ли линейно и однородно, то линейная комбинация решений тоже является регденнем . гого уравнения. Следовательно, функция «(М,«) является рещением уравнения — а» .
Л«» к(М»«) и С(Д ). Т.е, функциЯ «»(М»«) классическое решение уравнения ~, = а . Л«, и выполнены неравенства г(М,О) > О, М и й, и «(Р»«)~0, РеЯ, «а~О,Т1. Для функции г(М,«) выполняется принцип минимума. Следовательно, г(М„«)>0, (М,«)еф, и и,(М,«)>и,(М,«), (М, «) е 0 .Теорема доказана. Теорема сравнении 2. Пусть функции и, (М,«), «' = 1, 2 удовлетворяют однородному уравнению теплопроводности и, = а' Ли, непрерывны в Я. и удовлетворяют условиям 'и, (М,О)- и, (М,О1 ь я, М е Г2, и 1и,(Р,«) — и,(Р,«1 < е» Рн Б, «е '10,«'1.
Тогда ,и,(М,«) — и2(М,«1 < г во всех точках замкнутого «~илиндра Д,. Доказательство. Рассмотрим три функции: », .(М, «) = — к, «,(М,«)=к и т,(М„«)= и,(М,«)-««„(М,«). Все функции «, (М„«), « = 1, 2, 3, удовлетворяют уравнению у, = «« 'Лу, принадлежат классу ««е««рсрь«нных «1«у««кций С(~~«) и удо . ор у., в ям «««(М,О) < ««,(М,О)» г«(М,О), М и ь2, и «,(Р,«) < «,(Р,«) < г«(Р„«), Р е Ж „«и (О,«~. Из принципов максимума и минимума следует «,(М,«)<««(М,«)<««(М,«), (М,«)с Д, Теорема доказана, Замечание. Принципы максимума и минимума име«от место и для более общего уравнения С«з««„= сГи (я(М) уа««««)- «1и „««> О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
