Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Методическое пособие по курсу. Уравнения математической физики (1127886), страница 13
Текст из файла (страница 13)
п.2. Существование, единетвенноетл устойчивость Решении задачи Коши. Теорема существовании и единственности е задачи Коши. Пусть функция Гу(х) дважды не лиффереицируемй, й функция фх) не! лифференцир)еый нй л . )ОГлй классическое задачи КО1ли ~23), Г2.4) существует, единс определяется формулой Даламбера. Доказательство, Пусть функции р(х) и удовлетворяют условиям теоремы.
непосредственной проверкой устаийвливае функциЯ ц(х,Г), представимая фОрмулОй Д является классическим решашем задачи. (П ~2.8) в (2.3) и «2.4),) Докажем теперь, что решение задачи елиз Если решение существует, то оно представимо ф Даламбера, Если есть второе решенно, то он представимо формулой Даламбера. Разнос р лений '(Х,Г)=и,(Х,1)-и,(х,~) удовл однородному уравнению и нулевГЯМ на ильным и так же представимй формулой Даламбера.
Пол формулу Далймберй нувель нй'шльньш Олуч' (х4 =- 0 и (хл) =- ИМ) ЛОКЯЗйНй. прерывно ~рерывно УХ(Х) .Ф'; Тотлй;!':в:::.: м, что йлймберй„ Олстйвьте. 4СТВЕННО. ормулой О тйк же ЕТВОРЯЕТ ::~!,' условиям Теорема, Формула Даламбера лает возможность доказать устойчивость решения задачи Коши по начальным Теорема устойчивости решении задачи Коши.
Пусть функции р(х), ф(х), у (х), уу(х) — начальные данные двух задач Коши ял(хД=и'л.,(х,~), хек', ~>О, и(х,0) =- У(х), и,(х,О) = 1и(х), х и Р', ',(х,~)=а":я„(х,1), хай'„г. О, й(х,О)=ге(х), л,(х,О)=д(х). х —.Л'. При любом конечном 1'>О лля любого числа л>О найлйгся такое число д(х,T)>0, что если функини уловлетворяюг неравенствам явр ~ф~(х)-ФЦ<д, змр ~1и(х)-ф(х~<8, то решения и(х» 1) и Р(х, 1) уловлстворяют неравенегву аир ~и(х.г)-й(х4<к при О~гьТ, Доказательство.
~и(х,1)- й(х, ~)1 < —, ~1л(х — дГ) — 1л(х — и~ 1+ 1 2. + — ~Га(х+ а~) — 1л(х+ц1)+ — ~~1к( ) — у;Цг1-., 1 '™ 2 2и ~и(х,~)- й(х,ф< — + — + — 2ад < б(1+ 'г). д' 8 1 2 2 2и К Выбирая д = —, получаем утверждение теоремы, 1+T Теорема Локазана. Теорема устойчивосги означает, что если начальные данные двух задач мало отличаются друг от лруга в указанном смысле, то и их решения мало отличаются в момент времени ~ е 10, Т).
109 Существование, единственность и устойчивость;:, ре|пения задачи Коши (23), (2.4) означают, что эта,':, задача корректно поставлена. и. 3. Сущеетвовинпе н единетвенноети —;: решенин зндпчи Коши для неоднородного Щривнснин колебаний ни примой. Рассмотрим задачу Коши лля неоднородного уравнения колебаний: „(х,г)= ' „(х„~)+ ('(~,ф е Я'„~ О, (2.9) -'. и(х,О) = О, и, (х,0) = О, х е л'. «2.10) Пусть функция и(х,г, г) является решеицем вспомогательной задачи Коши с параметром г ц (х,г,г)=а „(х,бг), хек, г>0, (2.11) и(х,г,г~ =О, днах*~'~ ~ =д(х,г), хе г'. (2,12) Формула Даламбера дант решение задачи (2.11), (2.12): я~а(~-х) (х,г, г') = — ~ ф, г)а~~, 2а „.(,» Легко понять, что для построения решения задачи (2,9), .-:; (2.10) осталось проинтегрировать функцию и(х,бг) по -:,' переменной г в пределах от 0 до ~.
Теорема. Пусть функция Г'(х,г) непрерывна и имеет:,:;-::„;~ дух, г) непрерывную производную — ' в области '-;-! дх х и )г', г > О. Тогда задача (2.9), (2.10) имеет решенно,::,':::.:;!~ -'Л~1 единственно и определяется формулой ! .1! !1!"!) и(х„«) = — ) 1®! т)Щт. )! с-!!1!-!) Доказательство. Най)дем и„(х, «) и и, (х, «) „ дифференцируя зависящий от параметра х интеграл по формуле Лейбница: и,(х,«)= — ф(~,т)„,, — «"(х,т),, )«т, а 1 '«~«дф т)~ ФФ т)~ О " « .е+ !(!-!) ,"; !-!!1! - !) Найдь!м и,(х,«) и м„(х!«),дифференцируязавися)цийот параметра «интеграл по формуле Лейбница: и,(х,«)=- ~ф(Дт)~, 1,+ «ф,т)~,,~))т, „(.!«)=Х(.,«)~- — --~ — — ~ а..
а ' д«Ц, 'ф д«(„т)) 2 д" дР я ~ т л! !1!-!) х-!!1!-!) Подставляя полученные выражения производнь«к и„(х,«) н и (х,«) вуравнение (2.9ьа и(х,«) и и,(х,«) — в начальные условия (2.10), убеждаемся в том, что и(х, «) является решением задачи Коши (проверьте!). Если бы существовали два различных решения и,(х,«) и и,(х,«) задачи (2.9), (2.10) „то функция н(х, «) = и, (х, «) — и,(х, «) удовлетворяла бы задаче в„(х,«)=а'и!„„(х,«), хе г', «>О! и!(х,О)=0, и!(х,0)= О, хе Я', рспгения по Замечание. Решение задачи и„(х,г)=а и„(х„г)+г(х,)), хи л), г>О и(х,0) = с)(х), и, (х,О) =,*и(х), х н й' можно записать в виде у(х+ а))+ р(х — а)) и(х,)') .= — — - — — — — — + 2 »+1-) + — ))Р(и)г2а+ — - ) () (;, г Щй 2и „2и „(',) Эта формула ~акж~ пазы~не~~~ й)ор смысл легко прояснить, если н независимых пе))сменных фнксиро ~, > О, и провести через ней две прямые х — аг = х+ иг = х„ь иГ~.
Они пересекут ось Ох в Р(т, — а~„0) и фх, +а)„,0) соответственно. Эти называются ха акте истнками равнения колеба треугольник МРД вЂ” ха " е истическим оль Значение решения и в точке х, в момент врем определяется только значениями функции р в точ и Д, только интегралом от функции и только интегралом от функции МРД. Если изменить входные замкнутого треугольника МРД, то решение в точ не изменится. Если требуется найти зависимоегь и(х координаты х в фиксированный момент времени мулой Даламб а плоскости вать точку М 1и по отрезку по треугол данные задач Но по теореме единственности задачи нет решений, отличных от доказана.
слсдней .:,,:.:1~,,::;;:-:,:::; х, -аг„ точках прямые:~я-:',; ником, ,а ени г„, -;:~6 ках Р ьнику ке М хч. ,г,) от .,; '::,::;. надо двигать точку М вдоль прямой г = !р на плоскости Ох!, для каждого положени!! точки М строить харак!ерйстйчсскйй треугольник й с его помог!!ьвэ пакодйть решейие в точке М. '1'очйо так !Ке можйо "расп!Ифровать" формулу Лаламбе1)а, если требуется найтй завйсймость п(хо,!) от временй ! в фйксированпой ггпгке х Надо двигать з очку М вдоль прямой х — х лля каждоГо положения точки М строить яарактеристй !еский треуголы!ик й с его помо!Лыо находить по формуле Далимбера зависимость у(х„,г).
Задача, Пусть „!" м О, у~ а О, гл(х)> 0 в интервале х, <х<х„и р(х)=0 вне этого интервала. При !>О йа плоскости Охг найдите все точки, в которых . и(х,г) = 0 „ 2" . Р(х,!) определяется двумя ненулевыми значениями функций р; з~ ('г) д ' ч м ненулевым значением функции !л. Задача. Пусть ! сч О „!а а О, !! (Х)> 0 в интервале х, < х <х, й у~(х)=О вие этого ййтервала. Прй г>0 йа плоскости Охг найдите все точки, в которых п(х,!) = О; 2'.
И(х,г) определяется интегралом от функции у лишь по части отрезка х~ <х <х~', 3 . Л(х,г) определяется йнгеграг!ом от функции р по всему отрезку х, < х < х,. Задача. Пусть у =в О, !я а О, ! (Х,г)>0 в прямоугольнике 0=(х, <х<х,)я(0<!<7) и ~'(х,г)=О вне этого прямоугольника.
Пр точки, в которых 1 . и(х.«)= 2'. и(х,«) функц 0; (х, фун В. определяется интегралом от ии «лишь по части прямоуг «) определяется интегралом от КПИИ «ПО ВСЕМУ ПРЯМОУ! ОЛЬНИКУ нейе Ф«иении начально-к~э Виеиия колебаний я» и Родолисеиий, угот колебания струны на в, ио вдали От друГОГО„и Огда влияние удаленно« ться на выбранном уча о считать происходящи п.1. Рассмотрим задач полупрямой х е ~0, сс). образом: Найти решение ур и„(х,«) = а'и„(х,« удовлетворягощее гранич и(0, «) = ««(«) или и начальным условия и(х,О) = р(х), Р~~ение каж представить как однородными нач и о распространении Эти задачи ставятся еле м и, дои сумь алы (х,О)= ги(х), х > О. из этих двух задач «у решений двух з «ыми условиями, 3.
ПОетроеиие задач дли УР ИОлуиримОЙ метО Если нас интерес возле ОднОГО из ей КО« промежутке времени еще не успевает сказ такие колебания моя« О < х < +х>, ), х>О, «>О, ному условн«о и,(0„«)= («), «>О участке в таком стке, то ми при (З.1) ':.~!~ (3.2):-"-.„'",: ,3 адач: с ':,.'- неоднородным граничным условием, и с нсоднороднымн начальными условиями, но с однородным граничным. п,2. Рассмотрим сначала начально-краевую задачу с однородным условием Дирихле: и„(х,~)=а'и„(х,~), х>О, ~ >О, (3.4) и(х.,0) = й (х) „н, (х„0) = р(х), х > О, (3.5) и(0,1)= О, ~ > О, (3.6) Продолжим функции у(х) и у(х) нечетным образом нй Всю нрямуин ф(х), х сч О, —.у(-х), х с О, р(х), х>О; -~ (-х), хсО. Тогда нй Всей нрямой получим Задачу для функиии У(х,г): У„(х,~) = а'У„(х,~), хи Р', ~ > О, У(х,0) = у,(х), У,(х,О).= ус,(х),.
хе Я'. Рензеиие этой задачи дается формулой Даламбера р, (х — а~)+ у, (х+ аг) У(х,т) = — ' — — ' — + — (у~, (х~й. 2а, '„ Выпишем формулу Даламоера для задачи (3,4) — (3.6), учитывая нри этом, что х-а1 меж~~ быть кйк болыие нуля, так и меныне нуля. Если х+аг>х-а~>0, то р,(х+ат)=р(хй:а~), ~,(хна~)=у~(хна~). Если х-а~ с О, то р,(х-а~)=-~Р(а~-х)„ а, (х-ат) = -уфи- х). 115 р(х+а~)+а(х — м) 1 "'(" «-ю х>0, 0<~< —, х у(х+ ~Ф)- р(а1 — х) 1 2 2а,~, необходимо, 4,",...
непрерывно я ~/у(х)- задачу с .3. Рассмотрим теперь начально-краевую однородным условием Неймана: ик(х,~)=а'и (х,г), х>0, ~>О, и(х,О) = р(х), и, (х,О) = у~(х), х > О, и„(О, «) = О, ~ > О. Продолжим функции у(х) н ~~(х) четным всю пряму'ю: р(х), . >О, р(-х), . О, р(х), х>0, ~+ х), х < О, На всей прямой получаем задачу для функци У„(х,~)=а'У (х,~), хи к', ~>0, У(х,О)=р,(х), У,(х,О)=р,(х), хе Я'. (3.7) Р.8) (3.9):~,:" образом на .
и С4х,е): Для существования классического решения чтобы функция р(х) была дважды диффереицируема в области х >О, и функди один раз непрерывно днфференцируема а облас и чтобы р(0) = О, р(О) = О. Учитывая, что если Н (х+ аг) ~9(х +а1), ~1 (х+ 4М).' ~(х Х ж), и Осли х-аг<0. то гр,(х- н)=-р(аг-х), р,(х — аг)=уфи-х), получим рещение задачи ~3.7) — (3.9): га(х+аг)+ ~р(х-ат) 1 7 2 2а х>О.
О<г< —, Для существования классического решения необходимо выполнение тех же условий гладкости функннй ~р н что в задаче Г3.4) — (3.6). Кроме того, надо потребовать ~,(0)=0, ~,(0)=0. 4. Сущее гвование решении начальиокраевой задачи дла уравнении колебаний иа иолуирамой с неоднородным краевым условием. Рассмотрим начально-краевую задачу в области х > О для однородного уравнения колебаний с однородными начальными условиями и неоднородным краевым условием Дирихле: и„(х,г) = а-'и.
(х,г), х > О, г > О, и(хО)=О, и,(хО)=0, х~0, !17 ~«), «>О, кновения воз режим. Буд волны: и(х„ ая фуикцн м и(х,О) ие дает и, И~О,«) =,« > О функция. мущений зд ем искать ре «)=Дх-а« я, Нз перв = ~~х)=0, (х,О) =- — а«'~х '(-а«)= «ф) Следовател начальное услов ДРУГОЙ СТОРОНЬ заданная при О, 0<«< —, 1 ) Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
