Е.В. Захаров, И.В. Дмитриева, С.И. Орлик - Методическое пособие по курсу. Уравнения математической физики (1127886), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Тогда существует классическое решение з««дачи (5.5) -- (5,7), представимое формулой (5Л(), Доказательс«во. Для доказательства теоремы нужно доказать непрерывность функции и(х, «) и е6 производной и,(х,«) в области 0<х~«, «>О и непрерьгвное примыкание функции и(х„«) к заданным начальным и граничным условиям. Кроме того, нужно доказать существование вторых производных функции и(х, «) и выполнение уравнения (5.5) в области 0 < х < «, «> О.
Для доказательства непрерывности функции и(х,«) и ед производной и,(х,«) в области О < х < «, «> О достаточно доказать равномерну«о сходимость ряда ~~) А„сов«л„«+ — "япгд„«в1п — х (5.9) и ряда, полученного формальным дифференцированием ряда(5.9) по «: Х.~ и«. ~ — А„яп а«„«+ —" созе«„« 'яп — х .
(5.10):.:::!~:;, Мажорантныч рядом для ряда (5.9) является числовой ряд ~~ 1А„~+ — 1В„~, а для ряда (5.10) — числовой ряд ~~> 1а„~А„~+~В„~), Из теории рядов Фурье известно, и ! что эти числовые ряды сходятся при условиях, наложенных на функции р(х) и р(х). Следовательно, ряды ~5.9) и (5,10) сходятся равномерно и определяют непрерывные функции вобласти 0«х<1, г>О. Из тек же условий, наложенных на функции р(х) и а (х), следует„что ряды Фурье этих функций по системе яп — х~ сходятся равномерно на 10,/~ к р(х) и )„, р(х). Поэтому при г = О вьпюлняются начальные условия.
А так как все собственные функции з1п — х удовлетворяют однородным граничным условиям, то выполняются н граничные условия. Для доказательства существования вторых производных функции и(х,г) в области 0 < х <1, ~ > 0 продифференцируем (5.8) два раза по г и два раза по х, Тогда получим ряды, которые мажорируются числовым рядом силу свойств функций р(х) и р(х). Теорема доказана. рассмотрим теперь начально-краевую задачу для неоднородногв уравнения колебаний с однородными начальными и граничными условиями: и„(х,г)=-а и (х,~)+Дх,~),0<х<1,г>0, (5.11) и(х,0) = О, и, (х,О) = О, 0 < х < l, (5 12):.;-:;',-;-', я(о,у)=0, (14=0, ~>0.
~5.13) .,:,:-;='.".~!';. Предположим, что существует классическое решение---::.1;;;:.':- этой задачи. Разложим функцию и(х, ~) при фиксированном ~ > О в ряд Фурье по собственньМ жч 1 4-: функциям $1п -- х н(х,~) = ~~ и,(1)я1п-- ж 15.14) 1оэффициенти разложения н„(~) рассчитываются по 2е „. яи формуле и„(г) = — 1и(~, ~)з1п — - ~,' ак. Поскольку функция и(хл) является классическим решением задачи, то для интеграла, представляющего и„(г), вьпколнеиы условия дифференцируемости по параметру под знаком интеграла.
Поэтому и„(~)-- — )~ — я|п — ~И~, х =1„2, 01 2 гд"М . Л7 1, дг" Умножим уравнение проинтегрируем по х получим 2'~д'и(х,~) . ли — — в1п —.х~й = и' д1' э ( +- ~ ~(х„~)з|п — х й. 2 . Л77 15.11) на — яп — х и от О до 1. В результате — )и„,(х,~)в1п — хпх+ лп Вычисляя инги рал ) и 1х, г)Яп --" хг1х два раза по 1 частям и учитывая Г1запичные условия, получим обыкиовеипое дифферепциальиое уравпеиие втор~го порядка по и„'Я+ я„', и „Я = «„Я „ о 1 где 1„~~)=.— )«1;,~)з1п — Гй„'. Из начальных условий (5.12) следует и„~О) = О, и„'~0) = О. Получили задачу Когпи для обыкновеицого дифференциального уравнения второго поряд~а иа полупрямой 1 > О с иачаяьпыми ус~опиями при 1 = 0.
Регцеиие ягой задачи можио построить методом вариации постоешых. Оно имеет вид и„(г) = — ~«'„~т) з1п гл, 1г- т) 1т. 1 Ы„о Регпение задачи (5,11) — 15,13) построено в виде ряда (5.14), козффициенты которого теперь известны: и(х,т) = ~~ и„(г) з1п ~- х = .~1' лп =',~ — ~«„(т)з1пш„~~ — т)Ыт з)п — х= — ) — ~ДД т) з1п — Щ зш и, (г — т)Ыт > юп — х. Меняя порядок интегрирования и суммирования„ получим и(х,г) = ) )6(х„,",1-г)Я, т)А„" Ит, О в где 2 . ж О(х, ~, ~ — г) = „'1 — зш — х В1п —.~ з)п а„~~ — г).
15.16) „~ лна 1 Можно доказать, что для неп1зерыВной В области 0<х <1, ~ >О функцни Д1х,г), удовлетворяющей нулевым начальным и ( раничным условиям» представление 15.15), 15.16) определяет классическое решение задачи 15.11) -- Г5.13). Определение. Функция 61х, ~,1 — г), определяемая формулой 15.! 6). называется функцией Грина или функцией влняння мгновенного точечного импульса на отрезке. б.
Начально-краевые задачи н ограниченной области пространства. Единственность ик решений. п1. Уравнения колебанпй с 2 или 3 пространственнымн перемениымн. Смешение колеблющейся системы по отнон~ению к ее невозмущднному состоянию может зависеть не от .;;:,:: одной, а от несколькнк пространственнык переменнык, Пример. Рассмотрим в плоскости Оху связную область В с границей у. Можно считать ее двумерной однородной невозмущенной мембраной. Возмутим мембрану каким-либо образом. Предположим при этом, что любая точка мембраны, которая в невозмущднном состоянии имела В Охух пространственные координатм 1х, у, 0), смещается только в направлении оси Ог на величину и1х, у, Г) в момент времени 1.
Для описания распространения волн по мембране сделаем::-,-.~'''.';, предположения, аналогичные предположениям о 4; колебаниях струны, Тогда получим уравнение малых свободных поперечных колебаний мембраны и„(х,у,~)=а'(и„(х,у,г)+и,(х,у,!)). Еслл на мембрану действует распределечп!ая по ней поперечная внешняя сила, то уравнение колебаний мембраны имеет вид и„(х,у,!)=п'(и (х,у,!)+и„(х,уд))+ !'(х,у,!). Информацию о поведении края мембраны надо задать отдельно. Например, если край мембраны неподвижен, то и(Р,~) =- 0 для всех точек Р н у .
Р = Р(х, у), во всс моменты времени. Если в каждый момент времени измеряется положение движущихся точек края мембраны, то и(Р, !) = д(Р), Р н у, — известная функция. Как и на конце струны, на краю мембраны можно задать более общее граничное условие вида 4Р) — — ' — +,д(Р) (Р, !) = У(Р, !); зде ди(Р, ~) д дн дн производная по нормали к у, Если в момент времени !' известен изгиб мембраны, то задана функция и(М,~,)= га(М), М = М(х,у), М н В. Если в этот момент времени измеряются скорости поперечного движения точек мембраны, то и, (М„г,) = !Р(М), М и В, — известная функция. Пример. Рассмотрим пространственную область й с границей Я. Пусть эта область заполнена газом, в котором распространяются звуковые волны.
В невозмущенном состоянии объймная плотность газа р и давление р постоянны в й. Звуковая волна возмущает эти величины, т.е. приводит к зависимости их от точки М(х,у,х)ей и времени ~: р= р(М,1), р=р(М,!). Будем считать, что в области й нет источников или стоков газа, что звуковые колебания малы, внешние силы на частицы газа не действуют, н что процесс . распространения звука является адиабагнческнм ~т.е.
газ. -.-: не получаег тепло извне и не отдает его). Тогда,з н Р '::„:: удовлетворяют в й уравнениям Рх(М,г~= а «з.ь, Р(М,г), Р„(М,~)= а'ЛО „ПР(М,~). Здесь и "- величииа скорости звука в ьезе. н*2. Постааоака начально-ыраейь|х задач для уранненна колебаний* н ограниченной области н ~зоет~зан етна. Мы рассмотрим только задачи с 3 пространственни ми переменными; задачи с 2 пространственными переменными ставятся аналогично. Этн задачи являются естественным обобщением начально-краевых зидач, изученных в ~ 5. Пусть задана ограниченная область й~:.Л с границей Ь', допускающей применение формул Грина.
Задача согтгонт в определении в цилиндрической области Д = й х ~О, о) функции и(М„«), удовлетворяющей уравнению колебаний и„(М,~) = а'Ли(М,1)+ «"(М,~), (М, ~) е Д = й х (О, сс), Ф.1) начальным условиям и(М,О)=?а(М), и,(М,О)= у~(М), М и й, «6.2) и граничным условиям а(«)- '-+«?(Р~(Р,г)=2(Р,«), Р К,г (О, ),(бЗ) , ди(Р,г) где п(Р)+ ««(Р) ~ О, и(Р) > О, «у(Р) > О . 1)ели а(Р)м О, то получаем первую начально— краевую задачу„если фр)м0, то получаем вторую начально — краев)чо задачу. Определение. Классическим реп1ен нем 1шчально краевой задачи 16.1) — (6.3) называется функпия и(МЛ), непрерывная вместе с первыми производными в замкнутой области Д, имеющая непрерывные производные второго порядка в открытой области Д, удовлетворяющая в Ц уравнению колебаний 16.!), в области Й вЂ” начальным условиям (6.2), а на поверхности 5 при 1 с 1гО,сс) — граннчиым условиям ~6,3).
и(М.г) е С' Щ)гз С'ф). Замечание 1. Если граничное у~~~~ие 16.3) сеть уело~не Дирихле, г.е. гя(Р) и О, то непрерывности первых пронзволных функ11ни и(М,г) в 0 не треб)ется. Достаточно предположения и(М,1) и С®г С" ф), Замечание 2. Для существования классического решении необходимо согласование начальных и граничных условий: гт(г) ~( )+фр)р(Р)= 1(Р,О), Р 6', а(р) —.+РЯр~У)-.зЯ,О), Р К, 01ф) Замечание 3. В силу линейности задачи 16.1) — 16.3) ее решение и(М,1) можно представить в виде суммы решений трех заЛач: и(МЛ) = и,(МЛ)+и,(М,1)+ и,(М,1), где ц(М1) решение задачи с однородным уравнением, однородными граничными условиями и неоднородными начальными условиями, и,(МЛ) — решение задачи с 133 неоднородным уравнением и однородными граничными и начальными условиями, и,(М„~) — решение задачи с однородным уравнением„однородными начальными условиями и неоднородными граничными условиями.
При этом задачу для и,(М,г) можно свести к первым двум зада шм. Замечание 4. Часто встречаются задачи, решения которых не могут удовлетворять требованиям, предьявляемым к классическим решениям. Если не выполняется согласование начсыьных и граничных условий или искомая функция и(М,г) не может обладать требуемой гладкостью„то понятие решения задачи надо рассматривать в более и|иреком, обобщднном смьшле. В настояшем курсе мы рассматриваем только классические решения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
