Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Полная сила, действукяпая на шар в направлении его колебаний, 2 проооо. 3 Безразмерный удельный резонанс прн г=а гоЬ(" (йа) 2гно(йо) В волновой зоне р= — е гш —.я сома А йг о = — е г'от-н'созе, А гройс Зсроо( 2~~$1 (йв) ЦЭФ (йа) Поток Энергии, излучаемой диполем в единипу времени, бб Ао~~~~'.б 1 ич(обрей ~ яро(йг)о 3 (йг)' Полная мощность, излучаемая акустическим диполем, равна П = — сроо„оо (ай)о, т.
е. 1 П йо. или П йо бб. Если всаможно разложение ол )(В) У, А.Р.(сш ). м=о ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ ъо скорость %1 Атьт (Вг) (а т=-О избыточное давление Д В ("'(йг) „,.„, ) Рт(~В), га =- О где Если йа -1, то полную реакцию среды на шар можно вычислить по формуле 4паа Ь(а!(Ва) асРО Г4на!. Р=2па' т (р) созаапВФ= о ))~ —,', = — ~ )ЛФ+". О Если )(В)=-оа, то ( оа при ш=О, Ат= ( 0 при пгФО., Р=О. У казан не.
При вычислении полной силы, действуюшей на шар. следует воспользоваться формулами 2! ь!а!(р)~ — +..."1 ('аи(р)= — — +... при малых р. ! ра '"' ! Ра О~В~--, а о оа прн о(В) = 0 при где а †ради сферы, то ~!а! р= —,асра ~ "(т ~,ан т=о (Йг) Р (соз В) (ло) т =-а а/а А =- оа ~ Рт(соэВ)зшВФ~ !( — )! Оо.
2т+1 !" . 2т+! ! е гз 2 4 (а) О Полная энергия излучения равна И М %1 2т+1 И=рсоа — — Т а 32 а (ао)а 7г ()и т О 54. Если скорость поверхности сферы равна нулю везде, кроме малой круговой плошади радиуса е. вокруг а!хаки В=О (полюса) уи уРАвиГиия зллиитичнскОГО типА При очень низких частотах р = еь — (нее о,) еьй = (е) — егз фщ Рь 4нг е 4пг гда ()е пезое есть производительность точечного исючника, Указание. Выражение для Пм получьется нз формул (1) задачи 62.
55. Радиальная составлнющая скорости равна Лавление Р= )гране, н(йл Р (созе). При йа~( интенсивность и мощность излучения квадруполя будут равны: — грьйааз У = — о'Р' (соз 8), 152ге ь е 2и П = — — Рейелзое. 4()5 е Указание. Учесть, что п(г „может быть записано в виде о(, =о„Ре(созб) и искать давление в виде р=)((г) Ре(сов 8).
При вычислении потока энергии и мощнгхти излучения воспользоваться формулами 3 Ьзе'(Х)=1 — ПРИ МаЛЫХ Х, хе ~фи(х)=: — 1 — при малым х хе а таиже асимптотическими формулами для больших х. Интересно сравнить формулы П=-- среоеаейе ыь для акустического диполя, е 2н П == — греоьазйь озе для акустического квадруполя. == 405 ь 56.
Если скорость поршни о, то е Зп гйгреое (, (' е а где )г — Расстоание точки Ме(У, ьу) от точки наблюдениа М (Рис. бб). а Если — ~ 1, то !йсРель шг Гг'ь (йа ьтн 8) ] Р~ оез 2г йа з)п а е-шг Г2.г, (йа Ып 8)т ог: ййае — оь~ —. 2г Е йл ап 8,)' 624 отпиты, нклзлния и ришиния Поток энергии, излучаемой поршнем, — огсрюо' ) 2ув(р в1п 6)1в бгв 1 '( рпа 6 р ай. Если В~1, то павсР,В, 'Г рв 1 В этом случае полная мощность равна П рв ' рв(1 — 1" ) р .ео.
У к а з а и н е. Потенциал скоростей, создаваемых двингением поршня, представляется в ниде потенциала простого слоя ,-гвя (г- —" ~ ~' удуж~. о о Давление Если ге~ а, то подынтегральная функция принимает внд — ия — гь «ввй»всюво (й=г — у в(п бсовф), )1 г — у сов 6 сов гр так что а вв Г 1„.,„ е — гвг (' г. в вш ю е-гвг 1' е-г"' Гав (йа мп 6)1 = св — ~ У ИУУв (66 в)п 6) 2п о — ав ~ упг 2г ~ лавш6 Отсюда и получаются формулы для р и о . 67. Давление на поверхности пластннйи р )г „, — ою (1 — г'ю (2р)+(Мю 12рН Р ай, срю 2 УП УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 2 !", 2/ хе, хь хт Ме( )= — ! 2(п(~миф)йр= —.(,х 1, 32+ !2 „„, +...) е Сила реакции звукового поля иа пластинку Р=2п ~ р ~,а'еа'= «/'лсраое ! /! (2РП . псрюоо 2 ! р ) 422 ! 1 — — !!+! — М! (2р), где х 2/ ха хь хт и (12-3 12-32 5 !2 32 ° 52 7 "') е Если масса пластинки мела, т.
е. мало а и, следовательно, мало р(р ~1), то р — +! — ро 4Ф ЗМ Импеданс Решение. При вычислении потенциала простого слоя иа самой пластинке удобно выбрать полярные координап! р, !р с какой-либо точкой окружности р=а' в качестве волюса. Тогда и/2 2а'саеф и/2 (/= — ое 1 2Р е-!аодрдср= — 2 2Р (! — е мхе мме) йр, 2п,1 ) !йп ! — й/2 Учитываем, что И/2 2!аж~шейр 2 маа'~!~ е я/2 н ~Р, — ~ соа(2йа' илф)гйр — ~ мп (22а' миф) йр= /о(22п ) — /Ме(2йа'), и п3 где Ме(х) — некоторая функция, определяемая формулой 2 !" 2/ ха Хь Ма (х) = — мп (х а(п !р) йр — ~х — + — ...). и н ( !'3' 1'3'32 При х-э.оо для Ме(х) имеет место асимптотическая формула Ме(т)= ~// .— Ип (х — )+ — — +О ~ — ).
21 и, ы. Втваа а лв. ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Следовательно, для р„„верна формула (1). Чтобы найти силу реакции, действующую на пластинку. надо вычислить интеграл О э гн 1 о о о а 'Ч~~'о ~1 Уг(ЕР) псРооо А( 2 [ р ~ 4йэ к 611(к) ~ 640 (ь) ъ г'ь 68. В волновой ване (при йт ~ 1) е га» ит р'=(йгроаэ — У~ АИФИ(6), е-тат 'е1 о=(дав — ~' АмФм(6), т где Ам — коэффициенты рааложения о ! о 1(р) в ряд по функциям Уо Г мр), равные а л - „',„, ~~ь)ь(~фа. Фм(6)=, ~,, тй йавшо, 2эк г (а) ~ь1 рм — корень уравнении 1ь(р)=0.
решение. Польвуясь разложением)(р) в ряд = х "-"(' — ') ° м=о находим: А ~хб( — т)рь~ ь аь О В волновой зоне е гал е а т НП. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (см, задачу 56). Вычисления даютг а м и 1 п — а) о е Для нзхождения этого интеграла обратимся к формуле О Ха(сгр)ха(()Р)рг( =, . (гхх (по)(ч(()н) — Рх (()о)х (по)1. в положим здесь сг=ргагп, ()=й зйг е, т=б, тогда получим: а паз,)~ (з) )а Охр) "га (()Р) Р г(Р= а —, "га (Рт) (гг (Рт) =О) так что %г йт)а()гт)луг(з) е г г Р = гйсрапа Рт ги=-о Первый член (гп=б, ра=б) этого ряда дает решение звдачи 56 о колебании жесткого поршня в бесконечном экране з=йа Мп б, причем А„очевидно, означает среднюю скорость поршня, 3.
Дифранция на цилиндре и сфере 69. Если плоеная волна распространяется вдоль оси х, перпендикулярной к ося цилиндра (оси я), то давление в ней можно представить в внле ра=Ае гах=Ае г '~о=А /а(lгг)+2 ~ ( — Вт.г Гйг)созтгр . а =! давление в ржсеянной волне р,= ~ ВтсгнггкрНт (йг), т=е где у (до) у (. г)аг,/ (йп) Скорость в рассеянной волне гаг оа = — г ВтНт (йг) сан тгр. ПМ и-'г т=а 628 ОТВЕТЫ.
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ В волновой зоне (на больших расстояниях от цилиндра йг~.() н~ l 2 — 4(аг — -~ ял =У ~. ! Г 2 — 4(а' — — ) цт ! Ол = — ~/ — а 4 ср ~' пйг Втгт соз гшр = — Р ° срл т=е 60. Интенсивность рассеянной волны пьг гтт Г = за е,з!путе тсозтф, ге=1, ем=2, т~й, лю = О (Рл!з= ~ ~ втвл ыпУтмп'Улсоз(рт — Ул)созлнусозшу, т О а==О ут определяется соотношениями (! ((4) 16 ТО= Агг(р) ' (ау = т'! + =да А~ты (р) — А(т а (р) А( — функция Неймана.
Полная мощность звука, рассеянного иа единице длины цилиндра, '1 !'О ~~ - Аз Пз= ~ г мпзут, уз ——— т=е У к а з а н и е. Пользуясь соотношениями ,(и =б,б(ут,— от+4) (ут б,б(М т — Ф +Д, нетрудно выразить ком)фицненты Вт в виде . т+! — гг, Вт= — — Авт( — В е газ(п у, где за=1, ет — — 2, ш~1; в волновой зоне имеем Г4рзсл О ! ~~ 4) "=1~' — "() ' пйг 1 Ол = ' Рл г р. 61. Если лл т,!. то в волншюй зоне будем иметь! 2Р 2йг ! О = — Р. аг ср л УИ, УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Интенсивность пдтаи Аа !',= — 1'а(1 — 2соа9)а ) а= ° Ег 2сра Полная мощность — а Ф бнааа 1! = — ~ЧО~Ч'~+ ... 4 где Л вЂ” длина волны (й= 2п)Л= — <а!с).
! 1олное давление на поверхности цилиндра ОЭ т имт т=а где р (у (рт — у — (р))'+Р' + (н) †)у — (р))а а~и 2 Полная *ила, действующая на единицу длины цилиндра, направленная по линни распространения плоской волны, равна Ои 4А с (ть — — ) р а сов~,~бр О т ас Фа, Если р=йа ~'1, то l! р„=А ~ — + 2!)сссв~р), Р— 2!наайА. Если р да~ 1, то р= — )~4ОЛ Ае ! ~п — ) У к а з а н и е, Следует воспользоваться приближеннымн формулами: а) прн р ~ и+1(2 /" Е и аГ2 1 ( !! аа — ~/, "та=И вЂ” —, мм )г' — > ут=р — п~щ+ — 1, б) при р=йа ~ !и+1/2 4 прт ш! /2 !и'и нт у р \ам Па, Уа, ам 1 — ), Ума~ — — ~ — ) (ж)О). — цр ° вЂ” 4 2.
',„! ' (ир)а ~Я 62. Пусть плоская волна распростраияетсн влоль оси а: ! Им -аи~ йа' ра — — Ае = рае А, ПМ А Фа( саве Давление и радиальная скорость в рассеянной волне даются формулами р = ~ ', ВиЯ'(Ьг)рм(сааб), и О 1 др ! %т О = — — = — ~~ Ви4м (Ог! Вт(сота), !йр. й ср, Л м О ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ где Ц'»' (х) 1 — Н'" ! (х), 2х м+ —, 2 В„= — А( — !) (2 +1)ф —, ! =1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
