Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 89
Текст из файла (страница 89)
д) Все ребра прямоугольной мембраны закреплены упруго, о„(0, у) — Ь,о (О, р)=О, о„[а, р)+Ь о (а. У)=0, о„ (х. 0) — Ь,о (х, 0) =О, оа (х, Ц +Ь,о (х. Ь) =О. Собственные значения Лт, „определяются из уравнения Х«ь»=[От 1~+(р««(~ (л 1. 2....), $п !»1 где рт и р~» — корни уравнений 12(ри'л)= ' " 12(р"'Ь)=( '+ ' " (рокар Ь|Ь« (рм'и Ь»Ь« о, „(х, у) =[рт сев р и х+ Ь, мп ртп х1 [ р» ' ом р»" у+ Ь» ып р»у[тг 1 н Утйг«« ~Члт~-ч ( а (Ь, +Ь,) [(Рт )в+Ьгйе( [2 + 2[(р'")'+ЬЛ [: р)«")'+ЬЯ1 ' + Ь (Ьз+Ь«) [(р„- )х+А»Ь«[ 2 2 [(рГР+ЬД [(р,'»')в+Л[1)' 23.
Начало полярной системы координат (р, и) поместим в центр круга, радиус круга равен а. а) Мембрана жестко закгеплена, и (, =О. («)1« Собственные значениа' Ат,„=( — ~, где Р— коРии УРавнениЯ /«(Р)= !«> о, Гр(т) 1 ( сов тир «~ о ~1ыпар а'ле«[ ° („,»1)-,а ~ 2. п=0, В ч - "вост ",: ' ~ и =0 ,„~о> а'и о=о =» ( — — р), (от(т= — »"е(р ). т ) ~„(о)1« где б) Граница р=а ..«бпз»ы - «бонна 1 — =-0 при р=а1, ,др нн. т идвнения эллиптического типд б) Если видены граничные условии второго роде о„ 0 при х=О, и; од †при у=О, Ь; о,=О при х=й, о, Г гпз пе Ьвт Х,,в=ив~ + — -+ — ) (пт, л, в=О, 1, 2, ...). ~ «з Ьз ) ню пн пй о,,в=сов — хохм — у ссм — х, а Ь с (2, 1=0, аЬс (о,„,„„в В= — „вмк„еы Нормированные собственные функции 1 рхь и.
В = оеь и.В. ) о,„,в) в) Для третьей краевой задачи (ох Ьгз)х а=О (ох+эхо)х-а=О* (ов йто)в-е=б (оц+йчо)в-ь (о — Ь„о)х е=0, (ох+йво) „=О имеем: й.,..в=[и.'(+И1+И1, где н'", р'т', р"' — корни следуюпгих уравнений: (Ь1+йе) Р",, (Ьх+Ь~))дт',, (Аь+Ьв) Р™ ом,и.в=им (х) 1 «(у) л» (х) м щ=ьх «*.~ч щч 1 ~мт+ч 1 ь)=(м Ф'~ ~.,~ ю'ч ь' 'гтК 1 х ( -и' ~г'~ь "~гч ( нт+" ' , и (Ьт+Ьз) ((р,„') +Ьгйв( Ь (Ь +/ ) ((Р„м)з+6 Я 1 (г (Ьв+Ье) 1(и~м')в+в~Я Ь+2((р.' +Ьт(ца~+й: (~ 'И', >'+й:Й(р.:+4 пт,л,й 1,2,3,... о ( до 1 1 д Г до) 1 ьио — — -(- - — . ~Б)п 6 -- — 1+ —. — — — +хо=О, ге с)г ~ дг ~ геапй дй ( дй ~ гв мней дфз хп.
Выбираем сферическую систему координат (г, 6. ~р) с началом в центра сферы рздиуса а. Исходное уравнение до+во=О или ОТВЕТЫ. УКАЧАНИИ И РЕШЕНИЯ а] Первая краевая задача: о 0 при г=а, ~. -.-') ~' Хи,„= ~ ~ (в=0„1, 2, ...; гп 1, 2...,», (1) а ("+ ~) где рги — корень номера ги уравнении , [И]=0, и+— 2 [и+ — ) ои.иьг=гри[[ г у„(В, Ф), /=0. ь 1, з-2, . „ к[1!(Е ) Р<г!(.В. (с ДР пРи 1)0,) 1 в[п Ьр и рн ! ( О, / г Р„! (х) =(1 — хэ) - — Ри [х] — присоединенная функпня, (11 Ри = Р„[х) — полипом Леманвра, и (6) '[и+ — ) (ои,,г(а= зр [[пн г ~ г!0(2, [у][(2, (6) !О тз 2пв! (л-)-1)! (2, 1=0,1 2л+1 (л — 1)! ' [1, !чьО,) дп б) Вторая краевая эадача: — =-0 при г=а.
Формулы (1). (3) — (7) сохрадг '[и+ — ) ПяЮт Сипу; ТОЛЬКО В ЭТОМ СЛуЧас ПОЛ !Ьи СЛЕдуЕТ ПОНИМатЬ КерЕИЬ уран- пения Ф„(р) =О, нли Г ! (р) Ю ! (р)-О, 1 и+-' 2[2 и+- 2 2 тн! уРАВнения элЛИПтическОГО типА в] !'резня краевая залача: до дг — +АР=О при г а. или ! — 2ад ,(р)- у, (р)-О, »+— з р»+— 3 ()О) ! т! (» + — ) ( ~»+ — )) «+— зб.
Выбираем цилиндрическу!о систему координат (р, ~р, г), направив ось а вдоль оси цилиндра и поместив начало координат на ннынем основании цялиндрз, а †ради цилиндра, ! †высо цилиндра. Исходное уравнение краевай задачи на собственные значения имеет вид Ьо+Ао О 1 дl до) 1д'с дзо — — (р — )+ — — + —,-+) =О. рдр~ др1 р д а) Первая краевая зздачы о=О при р=а, з О, 1, а Где р!",! — корень номера !и уравне ня ./„()з) О, о„,,а=з)п — зУ»~ ~ Р)( ». »ь ))о».«ьа'!р= — а»~Х»(р»!)~т, е»=~ до до б) Вторая нраевая задача: — О при г=а, -- =О при з=О, 1, дт ще р!»» — корень номера г» уравнения з»(р) О, и".-') = '"'-.:" !(рй'У-") ~.И'). 4(рм» ) !1 (.+-,1 Все формулы задачи зо а) кроме формул (2) и (8), остазпся в силе; р' теперь означает корень уравнения Рф» (р)+адф» (р) О, ОТВЕТЫ.
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ д0 Й/ в) Третья краевая задача: — +Ало=О при р=а. — — Ага=О при 2=0, ' Ор 'г]г +дев=О прн 2=1 г)о гр)„' ) ( созвр, "Л.ила(Р. <Р. 2]=Уз(г))л ( ть с<м таз+А мп таг 2а (г]= ть — корень уравнения ')/ т$+й', (2 т1 = ( г+ тд — йф~ ' р(л] — корень уравнения р/„(М)+лд у„(р) =О, <лг]2 )ги.лиа=теа+'( — ~ (т, А=1, 2, ...; л=О, 1, 2, .,„)> (ол, ль а !Г'= пел Ги ~ — Р~ ~ 6 2а (2) (з, а где г ШИР (А +лз) ("РА+АМ 2 2 (г)+Д-") (т'+й')' У к а з а н н е. Решение ищется в виде произведения о(р, дь 2)=г'(р, р)2(г). После разделения оеремеиных для р(р. ш) получаем задачу гй.
а для л (г)-задачу 17. 2Т. Выбирается полярная системз координат (р, о). а) Первая краеван задача: Р=О прн р=а и р=Ь„ ( сгншр ольи(р. р)=йиьи(р]( . (т 1, 2, ...; и~.О, 1, 2,,), ( яплш ( ги> )]У ( (л1,) у ( ОО )]у ( (и] ) илн гл! з)(у (р )~ (р ~) ( д)~ (р'-"'р)) л риг где р(л] †коре номера т трансцендентного уравнения «и (оР) ]Ул (ОР)- Ул (ЕР) )Уи (лР) = О. которое можно записать такнге в следующем виде: Ял (ар) А]л (ар) ул (РР) Ии (ЬР) чп.
годвняния аллиптичнского типа Здесь И„(2) — функция Неймана и-го порядка, л „=(р ">)', Рз ( оц ) Г2 ( («)Ь) до б) Вторая краевая задача; — =О прн р=а, Р=Ь, 2~т «(Р Ф=~ю'м»(Р)О2«(ф) Г соя ир ГР«ьр)=~ (п=б, (, 2, ...), ~ з)па(2 И,(р)-р„(рМ)р) И„'(р(«) ) — г„'(р «2а) И„(р(«)р), (4) 1«) ~~. (рйй и'. () й'9 — р;(в4'~) и„(рйЦ, где р,'„"2 — корень номера 2п уравнения ,Г «(ар) Л~«(ар) р«'(ьр) и,', (ьр) ' Собственное значение (б) л (Г,~ ))2 $~ . 0'=пз И, )'= -'- — '"--" — 3 'з«Г и' ~» (~~~~ а): и' п ~р~"')2 $( ь'(р1"212~' г'„'-'~р~"~ь) ( 2(р("212 В частностя.
прн «=О имеем ...(Р)=',((,",~ .(р."р)б(»- .(. Р)), где б ( ) = г„(р~"~а) — ~"„,~„(р~„"~ ), б (Ь) = р„()ф~ь) + Ь г„(р~"~ь), рм б(а)=И„(р'"1а) — Ь„, И„(рж>а), б(Ь)=И„(р'"1Ь)+ ~„И„(р<)ь). рм рт ()О) 1) ом. о Р = рп ( ом. е (2 = у) (ор,.»') — Л (Ьр.'"') (~ ) 1) (ьрм») до до я) Третья краевая задача: — †до прн р=а, — + Ьо =О прн Р=Ь, др др Г сснмр, оеь«(Р <Р)=он «(Р) ГР«ОР) Ф«ОР)=( ( мппф, „(Р)=у„(р'"1р) б (а) — б(а) И ()2'"'Р), (О) УП. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА О(веты( а) Первая краевая задача для секторе (л> Рлв ( . ПЛ о,л(р.
(р) /ли~ — р]ап - — вр(т, л 1, 2...,), — о ((ч ,„=~"'-"')', где р(л' — корень номера л( уравнения г (р) =О, Ев и. в-фР.'.(вг)~. б) Вторая краеван задача для сектора (л> ( рлв п „,(Р, ф Уил~ — Р~соз — (Р (л=о, 1. 2, ...; Я(=1, 2, ...), — ч>в (и)(2 Хи,„=~ — ) в Р(л) — коРень нОиеРа гл УРавненин,/ (Р)=0в (л! в „„„( в)~ .,л. в) Третья краевая задача для сек(ора (л( о,. (р ° р)= у.. ~ —, р)'р. (Ч) чл сся тлЛв+ +Лв ип ти9 «рр)= в )в' чв+Л1 (и((2 где та в иоле(кисельный корень уравнения (к чврв=- (Л(+ Лв) т л р(и( — корень — Л,Л уравнения рl, (р)+адов' (р)=0, тл Л ((ив 'ва ( 1+ 2)( и+ ( 2) ( р)~ ~1+ „)У (р ))2 ОТВНТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕГПЕИИЯ 29.
Ипгегся решение уравнения ! д! до1 1 г)зо — '(Р--)+ —,— +Ло=0 (п(Р(Ь. 0(ф(ЯЧ), рбр( М Раъ' удовлетворяющее однородным граничным услонням а) первого рода, б) второго родаг н) третьего рода. а) Первая краевая задача: е =0 при р- †-а, Ь; ф=О, ~рц, оаь а (Р ф) = )Гг». а (Р) Фа (ф). Фару)=мп — ~р (л=1, 2....), грз )7 .«(Р)=7 ((гшгр) )у (рш)о) — г,(Р.'",'а) (у . (Р'"гр), чч ч:е чь а или Л а=[р)„1) — норень номера ш уравнения (Р ) АГпй(ра) Огв) )у (РЬ) Н о, а !Р= ( Фа Р М ))м, а Р 2 6 А'ж, а Р.
Выражение дла 1)7ж, а ()з см. в задаче 27 (формула (4) с заменой заказ Вг l Подобйым же образом получаются выражения для случаев б) и в). 30. а) Требуегся найти собственные колебания для области а~рч-Ь, 0(г(1, если о=О при Р=О, р=а и г=О, г=1. Собственные функции огз, а. а (Р ф г) = йт. а (Р! Фл ОУ) да (г) где Фа (ф) =( (л = О, 1, 2,,), Г созшр жп лф пд 2а(г) ап — г (в=1, 2,,), (р(агр))У ((г(агп) У (1 (аго) ЛГ (см, ответ к задаче 27), р(ч) — корень уравнения г, (Ра) йа (Ра) .~„~рЬ> ж (РЬ) ' Л „=(р~"1)'+~1), п( (ож,,„а((з= — аа(я, а)з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
