Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 84
Текст из файла (страница 84)
33. Потенциал горизонтальных скоростей частиц воды является решением краевой задачи иг (го, ор, Г) = О, 0 < <р < 2н, О < ! <+ со, (2) и (г, ф, 0) = ц!г соо ф„ иг(г, ф, О) = О, 0 < г < го, О о ф ~. 2п, (3) для него получается выражение + о и(г, ор, !)=о,сооф !) Аиро~ — )гсв —, г риг ! а)ол! го го а 1 (4; *) См. также (7), стр.
270. 18 Фи,~дои ! ди ! дои) Ж (дго г дг го дйу! ' — =а'~ — + — — + — — ~, 0<г<еи О<ор<2н, 0<!<+со, (!) ш иилвипиия Гиппаноличеокого тиил бб. и[г, ~Р, [)=о ~ Со [а'Р-„' — г(ыо) г', [ -' — — ' ) сов ~ Р— ы[)— [ го л 1 ,..[ 1 . л =! го )Рлг .) [л.), ~'М"' и ) С оУ "(Рл) ((гомо — аопло)в+чг)кошт[о рл †положительн корни уравнения г,[р)р б У к аз а и и е.
Решение заалчн можео быть получено как действительная часть рыпения уравнения ели (оРи 1 ди 1 д'и) ди )(г) гге ыг, — а" с — + — — -1- —., — / — 2к — + — е д[о ~дгв г дг го дгрв( д[ р обращающегося в нуль при г г„. Такое ранение уравнения (1) можно искать в виде [)(г, гр, ))=Й [г) е"е мп. Решение ли~рференциального уравнения, получающегося аля )т (г), можно искать в воде т оо [[[г)= ~~ А.У,/и"'). го 66.
и (г, Ш, ))=(а[г, т)+ — 1[[) ~ сов лгр. го у (ржг), го Р [~ ° [Зао) И) — гм" [т)[У [1'"") дг р„([)— гоулли (рт) Р— положительные коРни УРавненив г'л [и) =О +оо 87. и[г, гр„[) ашои р у„~ — /(А„спешу+В„мп щр)+ о / [ло ло /р„, г[ ар' [ ~ гл~ /[А г совшр+Ьл мишр)мп — ~— го го л.т-а отвктв), унлздния и рвшнния 1 Г 1 Аа, ~ Р(ф)дф, Ал,, 1 Р(ф)ссипфйр [Вгл юге 2агв [ — в а а а= 1, 2, 3, ..., Вл Рфр)г)ппфдф, и 1, 2, 3....$ ! и!л (— 2 А„~ У„~ — )У„~' — )И п,т 0,1,2,3,..., [л) !' (р[л)) жгдл ~ ггл ~ — ) гл ~ ~ ) ,и 1,2,3,..., ш 0,1,2,...
[л) у' ( [л)) Алш— Вл Унан анне. Сначала целесообравно найти частное решенне уравнення д'и (дги !ди 1 дги! — аг — + — — + —— дгг ( дгт г дг га дфг 1' и (г, р, !) Р [ф) г)п оя, ()(г, ф [) !' (Г, ф)гзпо)[. +Оа 1 ш'аг ))~ гл 6 т,г о 2 ) (г) соа — Иг А ()[ш) — ноложнтельнме нория урввненнв гл ())) О, удовлетворяюшее граничному условню Это частное решение естес)венце нскать в виде р[") †положительн корнн уравнения г»(р)=0, г [ ((г) дг Ав — Хл ~ — ) УЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 501 — 2А ~ ( ( Г ~ — 1г„( — ) гю ~( ††"„, 1 ую ( 1В"1) т= 1, 2, ..., А=О, 1, ..., — 2АВ ~ гуа( — ) Уа~ — )~г ГО~1 — 1лв ~'а(~4"') (" ! ~4"Вг1 .
ГР~"" ыю1 69. и(г, ~р„в, 11= ~~ АВИВ ~ — ) сЬ В 1тг — — сов гнусавая+ "~" l ~' ". ") + 14а)гт л ы В В 1а1 + (1 А„,ау ~ — ) сов — сов л~р сов о( — +— е л( ю (В гю ю ~л. В=О (В1(а1 — положительные корин уравнения Х„'ОВ1=0. 2 г((г1 Да *( — ) й АВ ° ю ю й = О, 1, 2, ..., г ~пР В А  — — Аа сЬ — — — аж — Нв лю=! 2 юа аю ю А 0,1,2,..., 1 (авю ыв Люа — — АВ сй  — — ю(В, й О, 1, 2..., Д гю ою ю 60. ...,- =~ — ",'.")=( — "':.") .. „, %ю ~Ъ гю (11 Гке (г, ~р 1 — точка, в которой сооГВнен импульс 1(, Р~" — корни уравнения х (р~">) =о, 552 ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 01.
АРуав(0Т!гв) Мк (г))( ('! Яп — Яп — Япда аг, У"„„(Л„'га гД вЂ” У',н(А$") г,) фв ЯЬ ив)( мт и(г, ф. !)= — 7 дви в !дви 1 ди 1 дви! =на '( в + + в в ~ г1 ~ г гя б~ф~фв 0~('<+со~ (!) '(дгв ° бт "дфв ! ' ди ~ ди ~ ди ~ ди ~ (2) и(г, ф, О)=! (г, ф), ) г1 (г(гв, 0(ф(фв иг(г, ф, 0)=Р (г, ф), ! решение краевой задачи (1), (2), [3) может быть представлено в виде + ОЭ и(г. ф, !) ~ (А„а соваХсь"в(+ В„за)п ай~~")!) У(„ь (г) ссв —, (4) 'ро «,а=з где (тю>г)У (Ц» ) У' ()ю >г))У (ть(ь! ) (5) 3(го — положнтельные корни уравнения )Уа' (йг,) У' (,! — Уь (Дг,) !У; (йгв) О, ее ~0а чь Ф (5) А„а ~3 ~3/(„ф))( (г),Фдф, л 0 Р) 2 в" Г Фнф фв 33 г, гв Ег А ь = ~ ~ ) (г, ф) тсаа (г) г дг дф, 1 ф.~ )(Ь()аг * " г (5) '-'г'. ' гв 2 г в ()(а)г ) — г'в(т(в г 1 г)(ва (г) кг =— пв.„(а)в ' ' у,в (в(в!г; а (0) где й„к (г) =хкв(Ц"'г) и Аа(а! Ввеки тот же смысл. что и в задаче 45 тл.
У', и а (г, ф) — точка, в которой сообщен мембране импульс К. р — поверхностная плотность массы мембраны (масса единицы площади). 62. Потенциал скоростей частиц газа является решением краевой задачи и!. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 93. Р вше н ив. Поместии начала сферической системы координат в центр сосудз и направим ось 6=0 по скорости движения сосуда прв 1(0.
Тогда потенциал и скоростей частиц Газа не будет зависеть от угла !р и для и мы получим краевую задачу О(г~ге, 0~6 -и, 0 -'1(+со, п,(г„б, 1)=О, О~6~и. 0~1.<+Оз, и(г. б, 0)=огсоз6, иг(г, б, 0)=0. О~г~га, О(6~и (2) !3) Естествеиио попытаться искать решение краевой задачи (1), (2), (3] в виде и(г, 6, 1)=в(г, 1)ссв6. Это приводят к следуюшей краевой задаче для в: (4! доз (! д ! дв'1 2в) — =о — ( — ) — —,>, О = — г ° 0~1~+ О, д(з (гз дг(, дг ) гз 1' (га, 1)=0, О ~ 1 ~+со в(г, 0)=от, в!Оч 0)=0, Оейг ~ге, (б) (б) (у) которая решается методам разделения переменныа, прячем для в (г.
1) полу- чается выражение (3) где ра — положительные корни уразяения 1 ру'з (р) — — Х, (р) =О, 2 2 2 (О) ° ~ г'уЗ ( — "," Аа= т о 2 6=1, 2,3, '12 (ра)~ 1 (10) 94. Потбициал и скоростей частиц Газа является решеииеч краевой аадачи О~г~г. 0<6(и, 0<1<+со, = ыА сов 6 сов оМ.
ди дг г —.. г„ и(г, 6, О)=0, иг(г, 6, 0)=0. (2) (3) + ОЭ в(г, 1)=,т Аа аЫ а=-! "(Ю ор.з1 бг га ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Решение краевой зздачн (1), (2), (2) может быть предстзнлено в виде ;- ';(:.') и(г, 8, 1) ИАг+ ~» А = — совзсовы(+ л г— л ! .- 'Ф) + 1) Са сов 6 с<и —, 2 орв( уг гв «=! где р — ноложительные корни уравнения ! ру'з (р) — 2 уз (р)=й гв (-",.'- —::)Ы ' "Р -Л' рад гв + з(г ) Уг гв л=! 2 — аз ()вз)~1 — — ~ гв в гв В 1 гву (Рзг)дг 2 — РЗ (ра) ~ 1 — — ~ о а меч ае не. Слагаемое ' (Т) 2 ' сов 6 сов л!2, ИАг+ г А„ л=! входяшее в (4), является решением уравнения (1), удовлепюряюшим граничному условию (2), но не удовлетворявшим начальным условиям (й), Фчикпня ИАг сов 6 оси ы! уеовлешоряет граничному условию (2), ио не удовлетворнет урзвнеишо (1), Уз.
УРАВНКНИЯ ГИПБРВОЛНЧЕОКОГО ТИПА 1Ф) 96. и(г, 6, 1) — „-(- ()1 Ат Агп к=з Р.( 6) (+ МПЗг и+ — т гз ) и зшй Р„(соз 6) соз —, (1) гз + '~ с, з=! Тле Раш' — Яоложительные коРии УРавиеаиа 1 (ьу' з (Р) — Х 1 (Р)-О. и+ 2 2 з (2) ыз А О и+ 2 (~фг) а а л(л+1) р)п)г е 2 С„ фу, з И)~1 „~ 1* лгп ~ ге п(п-1- 1) Аа.
(4! е гь Уз, (ра)~)в 2 и-1- — рб" 0 ~ г ( гз, 0 =й 6.6 л, 0 (1 ~+со, М„(гз, 6, 1) Рп(созе)К(1), О~а~я, 0~1(+со, л(г, 6, 0)=лт(Г, 6, О) аО, Ольг(гз, 0<6~я. (2) 3 а меч ание. См. замечание в ответу к ирелылущей задаче. 96. Потенциал скоростей частиц таза является решеиием краевой задачи ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ ... ( — "',;") Н„(т) Р«(оса а), (4) ) г С« г«) И) и(г, е,() — „,+ ~ «г« е з=~ где щ'з †положительн корни уравнение 1 , (р) — г, („)=6, «+"- «+в (б) 4 ~«1 га (Е р ° ирл зрл(()= — ~ /«(т) а(п (( — т) Лт, 1=1, 2, 3... (6) аи(гп 3 г е е , ~р'""")., ,~--) Р (сов Е) осе оз(-1- )гг 97. и(г, е, () ~ А„ «== 1 , ("'"") «+- чФ( л«А, Р„( с) сев, (1) ге А„- .
~1(В)Р«,аде)апьде. 2«+1 Р 2й„' (ге) '...Г) )) (г)= з «=0, 1, 2... «)г" .1 (т) ( — ";.)" гк (е ( ~«1) "1 2 «.~. ~ п'г (2) Е 1, 2, 3, ..., л о, 1, 2, 3, ..., (3) Решение краевой задачи (1), (2), (3] может быть предо~валено а анде ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ где «ф! — положит!левые корни уравнения 1 р,),(р)- .,) 1(р)=О, а+в 2 л+— 2 (2) и а ,')/(~сс с 8)с Вл ' '~["— " с ) л, ( ) с, (сс") йн! — = /(Г) Рллс (ссж 0) сов «ссу, г(0) Г' (О) О, (2) л )с . — й=е-й. Решение краевой задачи (1), (2), (3) может быть представлено в виде ., 1"— ':,") '"„'"),+ У Оа(г) л=! н(г, а, Г)- Р сл (оса З) соа сжу, (4) где фс! — положительные корня уравнения 1 )ь)' ! (р) - — У ! (Я)-0 л+а 2 а+в с сл! Г(т) — (à — )сй.
й 1, 2, 0...„(В) гл е ж 2 — (рй"')1' - —" л+ ~ )сг ! 2 (О) гада с)а (г) лД~! 1 Аа л †! с 100. Потенциал скоростей частиц газа является решением краевой втдзчи Уд. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРВОЛИД1ЕСКОГО ТИПА сс»2 а (Л»г) — 0»)У з (Л»г) 1О1. и(г, э. 1)= ~~ А» соваЛ»2 сорб, Г »=! Где Л» — положительные корни уравнения г Лгдуа ()гд) 2 га (Лгд) Лгвд(да (Лга) — 2 )1дв (Лга) 2 2 2 2 — ЛгаУ'э (Ага) — — /э (Лга) Лгдй)в (Лгд) — — днэ (Лгд) 0 (2) 2 2 2 н 1 1 а» Л»гд| а (Лвгд) — Ж а (Л»гд)„0» Л»гад а (Л»гв) 2 "г э (Л»гв)д (3) 2 2 2 2 г в с ~ г [сс».)а (Л»г) — 0»д) в (Л»г)~йг г 2 2 А й 1,2,2,... (Ч) 12 г [да»( а (Л»г) — Ьгг в (Л»г)) 2 2 Одэ ~ — „)-0)22 (о) 2 2 !02. и(г, В, 1) с<вы(+ ргг + сс»Х а (Л»г) — 0»)у (Л»г) + ~~ А» соваЛ»( совй, (ц у'г »=1 Где Лж да», 0» имеют те же значения, что и в ответе и предыдущей задаче, а э а ИА (2) (р (ед, а, г„гв) а а ,'[ — 'Г;("— ) — фд,( —,)~ —,'[.-.'и',(~) — ~ и,( —,')) 0 свА Р) (р(яд, а, гд, г,) ОТВЕТЫ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
