Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 79
Текст из файла (страница 79)
2. 3. в предположении малости возмущений тдовлепюряст уравнению вм — а* (ихх+ и„г+ к„), (!) Рг ср где аг Ф вЂ , а — — отношение удельной геплоемкости при постоянном дав. рг' с, ленин к УДельной теплоемкосги пРи постоЯнном объеме; Рг=сопз( н Р сопя(— невозмущенное давление и невозмушенная плотность. Начальные условия записываются в виде И (Х„ У, г. О) Г (Х, У, г). Иг (Х, У, г, О) Р (Х, У* г), — СО ( Х, У. г С + ЕО (2) *) Подробнее о лагранжсвых координатах см. задач) 4 З ! гл, П. аа) См. задачу 4 $ ! гл. П.
511 Ун УРАБНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Каждая из величин р, р, (>. Ф, а, и может быть вырюкена гу>о из этих величин с помощью соотношений Р = «р(ь Гч(г,+3=0, РзФ>«+Р = О, а=йгад (), и=йгад Ф, ди а= 31' через любую дру- (3) (4! (5) (б! (7! рэ«(»=р (>з д()> д(>э дл дл' (1) (2! д где — означает производную по нормали к поверхности В. я р«, н р, — неваэдл мущенные плотности газов.
У н а з а и и е. Граничи ж условие (1) получается с помощью ревеню на (4) нз ответа к задаче 1. Граничное условие (2) выражает сохранение границы раздела газов (равенство нормальных составляющих скорости частиц обоих газов, прнмыкакицих в одном и там же месте к поверхности раздела Р). 4. Для отклонения и [х, у. () частиц мембраны ат плоскости невозмущенного состояния (плоскости ХОУ) получаем: дэи, I дэи д'и ! д„-= '(д —,+д-,). 0~1~+, (». И =-б. (д э ду) где 6 †облас в плоскости », у, ограниченная контуром Г, и (х, у, О) = 7 (х, у), и, (х, у, О) р (х, у), бн у! «и О, и! =О, 0<1<+ *! ч) Падробиый вывод уравнения (1) см. в (7)> стр. 3! — 34.
(2) (3! У к а з з н н е. Уравнение неразрывности в лагранжевых координатах можно получить, рассматривая деформацию элементарного объема Лх Лу Лг и учитывая, чта его масса остается неизменной; коэффициентом деформации абьема является определитель Остроградского («якабиань). Линсарнзованнге уравнение адиабаты и уравнения (4) и (5) выводятся так же, как соответствующие уравнения в решении задачи 4 4 1 гл Н.
2. На плоскости, ограничивающей рассматриваемое палупространство, должны выполняться граничные условия др др д() дФ д а) — = — = — = — = О, где.— — производная по нормали к пласности; дл дл дл дл ' дл д(> дФ Г др ° др р«- б) —. У, — = ~ Уду, -- = — рэр, — — — У, где У(1) — проекдл ' дл ,) ' дл дл аэ а цня скорости плоскости на выбранное направление нормали, которому сост д ветствует производная дл' 3. Величины по одну сторону ат поверхности Я отмечены нпдексом 1, а по другую — индексом 2.
На поверхности Г, должны выполняться граничные условия 512 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ б. Уравнение (1) в ответе к предыдущей задаче нужно заменить уравне- нием где аг — скорость распространения поперечных воля в мембране, р,— поверхностная плотность мембраны, ()з — объем сосуда, рэ — невозмущеннав плотность воздуха, аа — скорость распространения малых воичущснии в воздухе. Указание. В силу условия а ~а> давление воздуха, заключенного в сосуде, при подсчете сил. действующих на элемент мембраны, можно считать не зависящим от координат рассматриваемого элемента мембраны, а определяющимся общим изменением объема сосуда за счсг прогиба мембраны.
Заме чан не. Если скорость распространения малых возмущений з окружаю>пей среде значительно меньше скорости распространения возмущений в мембране, т. е. если ар цат, то реакция среды на каждый элемент мембраны определяется состоянием среды в непосредственной близости к этому элемевту. В этом случае уравнение колебании мембраны ") может быть записано в виде дзи „[д'и дти) рэ ди д(з ' [дк> ду'/ р, дГ д 1з ~д(+(в„р)) ( =.тб(>, д (эз. т)=ва— дх и уравнение (1) примет вид ои(> а дзи (д-(> д и д (>1 дР э дх д( " дхз (дхз дрз дзз 1' — — +2га — +;; — ="[ — + — + — 1, Такие же уравнения имеют место для плотности и для давления.
У казан не. Сначала нужно вывестн основные уравнения гидродинамики в эйлеровых ноординатах — +(о', ч>)э*= — — йгадр, д( ' р (3) др д( . +4(ч(ро*) О, р ср ь Р=Г(Р! ((Р)=Ро й Ро оэ (4) ) См. [38), стр. 224. ьз) Подробнее о лагранжевых и зйлеровых координатах см. задачу 4 2 1 гл. П, где (> — потенциал скоростей частиц газа, вызванных малыми возмущениями э„= (о',м+уо'„м+ йо'„" — вентер скорости движения среды.
оператор (оч, Е) определяется соотношением (и, о)=о'м — +ем . [ „м . ,д,д,,д — д,- (2) причем потенциал 0 рассматривается как функция координат (х, р, г) геометрической точки и времени ( в неполвнжной системе координат, относительно которой среда движется со скорое>ью па, икыми словами„(> изучается в эйлеровых координатах гь).
Если ось х совпадает по направлению с вектором эз, то 513 вп кглвнвния гипнэволичнского типа в*=в»+в, р=р,-(-р, р=р»+р, где о* — полнея (»абсолютная») скоросгь частиц, о,— цереносная скорость. э — относительная скорость, а величины р», ре, р, р определяются. как и в задаче 1. Лннеаризация уравнения (3), (4), (5) и исключение р и р при»идут к уравнению (1) ответа. Уравнение (1) может быль получено также следующим путем. В системе координат (О', х', у', г').
движущейся вместе со средой и совпадающей в мо. мент 1 0 с неподвижной системой (О, х, у, г), для потенциала (/=О(х', у', г', 1) будет иметь место уравнение д О,,уд (г юи д (г~ (6) Переход от эйлеровых координат (х', у', г', 1) к эйлеровым координатам (х, у, г, Г) преобразует уравнение (6) в уравнение (1) ответа. 7. Совместим ось Ог декартовой прямоугольной системы с ребром клина тзк, чтобы клин был симметричен относительно плоскости хОа и чтобы направление скорости набегакхцего потока о» совпадало с направлением оси Ох Рис. 50. д»О 1 РИ дх» М» — 1 ду» ' где М вЂ” )! з силу условия задачи (скоросп* набегающего потока больше и» скорости звука).
Уравнение (1) имеет место между поверхностью клина и вол ной слабого рюрыва *). На поверхиссти клина имеем". д(1 / д(1'1 — гь+ — 11йз при у=х1йе. ду 1 дх7' *) Волна слабого разрыва отделяет возмущенную область от невозмущеиной; на поверхности волны слабого разрыва потенциал (Г и его производные первого порядка непрерывны. Подробнее см, (15), 17 Б, и. Будам а лэ. (рис. 50).
Угол распюра клина обозначим через 2в. Так как в данном случае потенциал скоростей О, в=*йгад К не будет зависеть от г и 1, то уравнение (1') ответа к предыдущей задаче преобразуется к виду 514 ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ На волне слабою разрыва (1=0 при р=х(йа, 1 где (йа= ]«М — 1 еб ф У -«В.Ф-; ч«ю' Рнт. 51. 6.
В цилиндрической системе координат, ось Ох которой совпадает с осью конуса (рнс. 51), для потенциала скоростей 0 =1/ (г, з) получим краевую за- дачу пеклу поверхностью конуса и поверхностью волны слабого разрыва (2) на поверхности конуса, т. е.
при г х(йа; на поверхности волны слабого разрыва 5« =О. (5) 9. Для 9(х, у, 1) получаем краевую задачу оз яд, я — ускорение силы тяткес«и; Е (х, У, 0)=1(х, Р), (т(х, У, 0) Р (х, д), -- = 0 на стенке бассейн», где — — производная по нормали и стенке. Для потенциала горвзонтальных д дл скоростей 0(х, р, 1) получаем краевую задачу дЧ3 lд'0 д«01 — =от~ — .1. — ~, ат ол, д( '(дх дрз) ' О (х, р, 0)=тт (х, у), 5«т(х, у, О) = тт (х, р], д(т — = О на стенке бассейна.
дн (5] ю!. РРАВниния гипБРВОличвскОГО типа Указание. Получить сначала: уравиеиие неразрывности — — а(ч тв, д~ дг где то — вектор горизонтальной скорости; уравнение движения дто д1з др р — = — йгаа р — 1 — — / —; дт дх ду ' уравнение, выражающее давление в жидкости иа расстоянии х от д«а бассейна, Р— Р.— -йР(в+4 — х). а затем произвести надлежащие исключения (см. также решепве задачи 1). 10. Уравнение для потенциала горизонтальных скоростей принимает вид дг(1 (дт(/ дг(l ) 1 дпз — = а' + — + — — аз=да. дд ( дхз дуя) р д( Начальные к граничные условия формулируются, как в ответе к предыдущей задаче.
11. дти до„дт „, д гх Р д( дх + ду + дх +~' део дту „до„дту, рд~-* ах+ д + д +У д~ дтх дтху дох Рде дх+ ду + дх+ г, где а„, т„, т — проекции иа оси координат вектора иапряжения„действую. щего иа йлощвдку, перпендикулярную к оси х; аналогично определщотся тую оу. туг и тхх. тху, ох; при згом ох, оу, ох называются нормальными ва- прюкеииями, а т, т„„т„— касательными или скалываквцими напряжениями; Х, У.
2 — проекцйи па осй координат вектора плотности объемных сил. 12. У к а за ние. Из уравнений движения, полученных вответек задаче 11, и закова Гуна, приведенного в примечании 2) к настоящей задаче, нетрудно вывести следующие уравнения для составлякхцих вектора йб д'и ае дг' 1 д дто дЕ р — = Фо+Ф+р) — +!'. д(т ду д-'п~ дŠР— = Ибю+(Д+ П) — +Х, д(2 дх тле Е=д(чи: ии и-11' — + — ~+1~ — — — ~, ч - р(». у. 1).
ф-ф(х, д, (). I д~р дф ! / Йр др ! (дх ду/ ~ду дх/' — (1+2)г) ( — + — „!+ Е, (х, у, 1), дата 1 дър дт~р 1 де '(дхт а;с ) дте ( сит) дьф 1 — — + ) +гз(х у 1) д(т (дхз дуз ) \7 ° 516 ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Принимая плоскость хг за граничную и направляя ось у внутрь тела, в слу- чае плоской задачи *) получим следующее аыражеине граничных условий: — — ='- — 1,.— а' — -1- (а' — 2дз) ха. — 2аг — 1 = О, Рр д- Юр т дуг дх' дк ду )а„а где <р и ф — потенциалы, фигурирующие а ответе к предыдущей задаче.
Ук аз анне. Левые части равенства (!) являются проекциями на оси координат вектора напряжения, приложенного к площадке с нормалью л **). 16. Ддя радиального смешения и(г, () частицы трубы, отстоящей от осн трубы на расстоянии г, получаем: д'и Гдги ! ди и ! =аз ~ . + — /+ г (г, г), гт'шг(гз 0(! ~+со, (1) д(г (дгг г дг гг / й+2р где г и гз — внутренний и анешний радиусы трубы. Ф= — а — скорость в р Э распространения продольных деформаций, — 1=,= — +61 =О, '.— +~ 1 -О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
