Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 74
Текст из файла (страница 74)
укАзАния и Решения а Му (г, 0 есть решение уравнения (Г), удовлетворяющее начальному услонню йт (г, О)= — У (г, О)= — )7 (г) (б) и граничному условню )Р(г,, !)-0. (7) Подставляя [5) в (1') и (3'), найдем: )л(гю'ф с) .„, Ьегю'г+!Ъе~ю'г (е(гаю' ггг) Ьег ю га+! Ье! в ге )гю а =н ! (™Ьг) '7,(г,ю' Ргг)' в г л йг(г, !) ~~) дле л /а(1 л ) (9) (10) г а г)7 (г) (а () — 1дг Ал=,, =2О.~,+„„,, Вычисление интеграла, стоящего в чнслнтеле равенства (11), выполняетск с помощью следующего общего приема.
ПУсгь йч(Л*х) к 2 (Лх) — пРонзвольные пнлиндРическне фУнкцнн т-го порядка, Л н Лл — действйтельные нлн комплексные числа. Мы имеем: Д,42 (Л)~+(Л„")йг(~ ) 0 (, Умножая первое нз ннх на Хд(Л*х), а второе на лт(Лх), вьинтая результаты н выполняя интегрирование, получнм: * '' "-' '* х (Л2т (Л*х) 2т (Лх) — Лейт (Лх) 2т (Л*х)) йч(Л*)2,( )» (14) (!3) л) Наномннм, что Хе(х()г!) (а(хаг!)=Ьегх+!Ье1х; хл хз ха хе хы 2~Р ~4%'(Р "' 2а 2гйгйе Р4тйтйз~~ Решение краевой задачи (1'), (2'), (3') ищем в виде и (г, !) 4 У (г, 0+ йт (г, !), (4) где У (г, 0 — частное решение уравненнн (1'), удовлетворяющее граничному условию (3') н имеющее над У(г, !)=!г(г) е!лк, (5] 471 Н.
КРАВИЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА т> »Ра»1 о 1 »1 Я т> то т'Ро»1 36. и(г. 1)= —,- ~~ 1 2»1 ~~ 1((Р,) — то(Р й) '1 »1 Г' е=! + о ио'1 1 о а ) уо > — ~>е — ('о" о(Р ) ('1Хо (Рвй) ( (Р,>г) „о уо(Р„) у((Р й) !о Ро)уоЫе и ! +~и, Рл — +(»,)п — 1РЛ й, го г1 т Го ) где й — > Ро — положительные коРни УРавненна то г,' )о(Р) )Уо(РА) — то(РА))Уо(Р)=б Яо ~" —," ) = )Уо (РФ) Уо(",~) — Уо (Рай) А!о (" — ") ПРи (Г (Го — — (! =сола!, ) (г) (Iо — — сопя( то(рп) оо «(г, !)=ио+п(()о — ио) е ,йа та(Р )+ то(Р й) и=! Указание.
Для вычисления нормы собственных функций 31 () зт) = »1()егт) !у, ()оат) — А!1 ()оьт,)»1(дьг) нужно воспользоваться равенством (1б) из замечания к решению задачи 34 и выРажением длЯ вРонскиана цилиндРи>вских фУикций» (а), А(т(а) 1: то[а) А!т(а)1 2 т'о(а) Жо (а) ! 36. Решением краевой задаче ди (дои ! ди1 — 12 (. + — — 1 г С Сг ОС!С+ д( !дто т дг) ' П) и(тх, 1) б, (го, 1)= —. ОС(С+со, и(г, 0) б, г> Сг Сг,>, (2) (3) Полагая )о* м' г 1, )о —, получим: го ' то »1,(гы )7) Х (Р >) д„Н т(Р 1 (Р ) ()б) и о откуда сразу же следует (11). Выделяя действительную часть У (», 1) и 3>(г, !) в складывая, получим равенство (1), приведенное в ответе. 3 ам е ч а и не.
Переходя к пределу в (14) при )оо -ь)> и используя уравнение (12), нетрудно получить соотяошение, важное для вычисления норм собственных функций, ( )'~2'(~ )"+((А )' — Ч Гг,() )У ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ является: +а» и(г, »)=(Г(г)+ ~~ А»е (га[Л»г»]Фа(Л»г) — [уа[Л»г») )о[Л»г]], [4) »=1 »де (Г(г]= — [и — — стационарное решение уравнения (!), удовлепюряющее Чего Л г» граничным условиям (2) [предел, к которому стремятся температура при (-ь+со].
а коэффициенты Аг, находятся по формулам 37. Решением краевой задачи ди О'и ! ди] — о'~( — + — — 1, » г, О<(<+ д( (дго г дг) ' о иг (го О Ь»и (г» !) 0 иг(го О+)»он (гм» 0» О < ! <+со и(г, 0] бо. г, <г< го, (2) (з] является: + СО Г) = 2~ 4»г ' ((Л»у» (Л»га] — "~у»(Л»~~)! А[~ [Л»«)— »=1 — (Л»»[о(Л»га) — Ва)уо(Л»га)! уо (Л»г)) (4) где (Л»уа(Л»го]+"»У»(Л»гд)о ("а+Л!) [Л»)а (Л га) —" ~о (»'з)!' — (А(+Л») Р 'о (Л»го)+до)о (Л»г Ца ! Х(го — — ((Л»)а (Л»га) )»» 1а (Л»га)! (гФ» ()»»гд — г»й, (Л»г,)!— Л» (Л» у» [Л»гд )аа)уо [Л»га !) ' (га )а [Л»го) гр)а (Л»га)) ! Л» — положизельные корин уравнения 1::: Л )» (аг») Мо [)г!) ЛА а [Лга! [»»да (Лг»)~ =О.
Л) (Лго]+)»» )а (Лг») Л)у» [)»го)+йю]уо (Лго) ! ЗВ. Решением краевой згд пш дс (д~и ! до и! д( (дго г дг га) ' — — — — га<г <го, О<(< ! со Э о(г„()=0, о[г,, [)-..ы о, О < [ <+со, о[г, 0)=О, г,<г<гм (2) (з) Ао = —, ' ~ г[) (г) (Хо (Л»г,) Фо [Л*г]— иоЛ» о'о (Л»г ) 2»»о ().»г») — 3", (Л»гд — Фо (Л»га) )о (Л»г)! дг, (6) Л» — положительные корни уравнения 2» ("га) )Уо (Лго] — )Уа (Лга] Уа (""'о) О.
(6) о коапыпыыя плрлиолыиипиого типа 473 т,рс:еи о(г, [;=о, (г. 1) *), является: +ОЭ го о(г, 1)= — — „„' — поил Ъ ' ' ' — оа(г, а=. ! оа [г) =./, ()овг,) Ф, [),вг) — Ф, [алев),/, [).аг), [4) где Ха †положительн корни уравнения 3сйаМ В1 Огго) — 7)~ (Хвг~) 71 [) вгв)=0, (О) где ! )гв"" ) Ю Е л ( — ) сов вр г пг Зор, го ел "' =-:~;ьгт ~,~" 2 ы еи '" -"~' < ")! ~ ~" [2] лФ0,3 (3) ( р ~ л ) оу) гл[ ~в(Плачут<!глсР, го (Яг рава — положительные корни уравнении /„(р)=0.
гл! !л~ +ол ( ~л л'и и(г, ор, [)= Ль — (Алла ссвпр+Вл вяплфе ', (1) го л. а=о 40. г Вл Ал,а= вл (' (' [рьл ", ,л,.— в ! при л=0, ел= 2 прн и ~0,1 2 вл / (л: (3) [4) [л) †положительн корни уравнения иу„(П)+го37л [р)-оо л) См. укаванне к ответу вааачн 7. (3) , влр +»л <л> л'иа 3л. и(г Чь () „гл~ — ~(Ал,ассвгир+Вл,а опжр!е о, (1) л,а=е 474 ответы, укАЭАния и Решения й — коэффипнент теплообмсна, входящий в граничное условие (3! 3 а меч а н и е. Если представить решение с помощью собственных функций 2а (Аа<"<г) =1„((<~а<ге) А'„(Х~гог) — А<„®<гз) 1а (Хь<" <г) = „<, 2„(7<~а"<г), (7! (зта связь микку 2„и йи устанавливается с помощью (3)), то +аз — ага<а ! < и(г, ф, <)= зг а " Й„Я,"<г)(А асойп<у+В„ь а<пар(.
(д! а,а=а формулы для А„,ь и Вша получаются из формул (4) и (6), если дробь ГЗ (АЬ<гОГ ) заменить дробью ,<е (Л~"<г,) — Уз„(АА<"<г,) г з (ьа<" <г<) уз гт<»> ) уз Гт<а> з)' 42. Решением краевой задачи ди <дзи ! ди 1 д'и! — из~ — + — — + — — ), г<'~г(гз. ОЩ<р~2и д< (дгз г дг гз йрз! ' 0 << ~+со, — А<и~ =О, ~ — +Ам~ =О, 0 Е<~+ 1 — ~,= [— ди 1 <ди д.
1, „ — ~ д, г=гг (2! и(ьа 1(г у!. гт(г ~ге, Ои,~р~2и, — +Ьи~ =О, О~<~+ >, ди (О! дг г — г, +аа — ащ«, <а<с 4!. и(г, <Р, <! ~ е а л„(АА<а<г)(А„асови<Р-(-В„аапп(<<), ((! а,а=а гЛ<а! ) г <А(а! ) А, г<4а> ) А< гт<а! ) ! гт<а! ) (2! где Аз<а! — положительные корни уравнения Д, Кл<г ) А<„Я>г,) — А<„К,"! 4 Д„ММ4-0, <2 при л О,! (5! и.
крдвнения параволичвокОго типа является: -вакф г п(г, >Р. ()= 7 е Я„(Л~Юг)]А„асозлф+В а>плф) (Я) где где Лз"> — положительиые корни уравиеиив =О, ""' '(Л'"" )+ (Лоп,) ! Л$а>/ (цл> ) ) й г ()>к> ) Зк гг 2Л>л> ) ) 7(г, б г, (6) ф) Ел (Лаю>г) соз лфг г(г >Йр пеа ~Йцгз+лаш>*гз — л ] Уз (л[к>г ) — [йзгз ) л>л>;з лз] дз(л(к>г ) ' 2Л>$,"> ) ) У(г, ф) йа(Лаю>г) ап лфг пг»ф з; и [йзгз+Лз'> гз з— л ] Як (Лаш>гз) — [йз>гз+Лз>л>'гз — лз]2з (Л>л>г ) 3 а и е > а я и е. Можно представить решение с помощью собствеииых функций г„(ЛХ"~ )-[Л„'">Х'„(Лш',)+И,У„(Л~"~,)] И>„® .)— — [Ла> >й> (Ла> >г)+й И> (Л> >г )]./„(Л( >г), (10) связанных с фуикциями Еа(Л>зк>г) соотношениями ""') Ф)3 (Л..)- Д (Л..) "к )' +' — К[кг> >л> и(г, ф, ()= ~ е л„(Лаю>г)[А„„созлф+В„аяплф].
к, з=-е Формулы для Ак, а и Вгь а получаются яз формул (7) и (9) заменой Ек иа ак и(г, >Р, Г)= ~~) А„зе з 1 ®>г) зз> — -"т- а.с=> ее Е (Л> >г) [Л[ >У (Лзш>г ) — й у (Л)' >г„)] И> (Л) >г)— — [Л1к>>У' (Ла>к>г ) — И И> Я"г )] Х (Ла>к>г), (5) ОТВЕТЫ, ИКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ где Ла("( — положительные корни уравнения 1„„(Л(аа(га) =О, (2) гю Е А„(,—, — ) (г, »р) Хан(ЛА( )г) жи — г ((г ((ф. (а) + о» вЂ” а"А(а(' ( (а> ГццР и(г, юр.
(! = ~ А„„е ': 1ан ®'г)оса —, (1) а. *=-О АЬ еле Ла — положительные корни уравнения (а> (2) 4Л(а! У2 (Л(а! ) гю Е» Р О Т ~ ) (г, ф] » »и (Ла" ~г) сов — г ((г ((ф, (3) фа е ,*А(аи, 45. и(г, (р, ()= ~~ю А„ае Яап(ЛА"'г) жп —, ф» и. а=( Х„„(ЛО("(г) =,Гак(ЛА("'г ) Лаи(ЛО(юнг) — Лап(Л~~"(г ) у ли(ЛА(")г), (2) Л(а( — положительные корни уравнения а г„„(Л(,"(г,) А „„(Л',"",) — А(„(ле"",) Уа„(Л("(,,) = О, (2 ("Л(а! й) га!» Фю 'рю г» Ею х ~ ~ ) (г„ф! Х„и(ЛА"'г) а(п — ~ г йг ((ф. (4) О еа 46.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
