Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 73
Текст из файла (страница 73)
У к аз а н и е. Сначала следует найти частное решение уравнения (!). удовлетворякхцее неоднородному граничному условию (2). Такое .зсгное решение можно искать в виде (! (г, О=(1,+и(+Р(г), где Г(г) — неизвестная Функция. 2!. Решением краевой задачи ди , (д'и 2 ди) — а ( — + — — ) г <г< ты О<( <+со, . с)( [дгз г дг) (д-' — й, )~ =-О. (-"+4~)~ =О, О<(<+ (2) и(г, О)=1(г), г! <г <гы является: + сч ч' 4 а*хе™ (Л» (г — гд)+чз) (г, ()= г А„е В г (4) является! ге) Га — ге — 2— й А и(г, О=Уз+и (+ + е и,! р р'„+(иге — 1)' ( — 1)зю " ' г " (4) 14+42 о — йг„ раг ')/ Рче + (6»е — 1)з г( га (4) Рг (И'+ й'; — Л е) о, гпквниння пкоаволичнского типа зшь „х . ппу юп —, мпм х, 1 мну а(1т — х) мп мп ммк (11 «е) О<«<ха, 0<у<1а, 1, О у — сара з папа Нмк — Хма— А~ серз, папа йз р Ф сноз з папе с р „, птпз) = й, — ) — — с(8 ~(хз — 1,) — Х,л — — 1, ()) р й„ 1з 1 с, й ~ Р(х, У)1(х, У) оаьа(Х, У) Их ИУ о о (8) Ам.
к (о ~к)а 1с,р, при О<х<х„О<у<1м р(х, у) 1стрз при ха- х<1м 0<у<1о С, 1, )ом,„(з =~ ~ р(х, у) ось «(х. у) дав= о о (9) (з срзх с р (1 — хе) япз им«ха мп' мфда А — хз)Х 4~. з Функции о „, ортогональны с весом р(х, у) на прямоугольнике 0 <« <1м О у<1,, 24. Решением краевой задачи до И'и Фи дан) ср, — А,( †+ в -), 0<х<хм 0<у<(з, 0<«<1«, 0<1<~-со, (1) ди Иаи дзк Фи) сара — =Ь~ — + — + —., х --х<11, 0<у<1, 0<»<1, д1 (дхт ду' дФ) ' О<1.-+, (Р) н(хз — О, у, х, 1) и(хо+О, у, а, 1)„0<у <1а, 0<«<1«, 0<1 +со, (2] й,и,(х,— О, у, а, 1) Азпх(хе+О, у, х, 1). О<у~~ 0<«<(м 0<1< (, (2) и) =о=Я 1, п)в .з и! й и(,=о и),=1=0.
(2) и!ю-о=)(» у, х), О==к<(„О у=(„О«х~г (з) о, (ш=1, 2, 3, ...; н=), 2, 3, ...) — корни транспендентного уравнения 464 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕП!ЕНИЯ явлин!си! и(х, д, г, 1) ~ Арал, с '"" Р олв„,р(х, д, г), (4) лл л, о=! тдв яп сб „„а лпд ап г ас! о!!лирк рлг ап — 0<к<ха, % О д 1,, О г=са, а лил(к д г)= ап ы ('С х) ап лнс рлг — ап —, ха< х 1„ са 0 < д <1, О < г -= са,с с,р,, ива! Рана овл, л, о — )ил л. и — — „—,, (0) саа са! а с р лап* рана с сар! „лала ралд ( -1 с сара, л"'сд дала) / саР! лала Рааса -«ф — '' й' —.— — х !ллл са (а Глас,, лапа рана) Хс(2((кв 1,) ф — Аа РС «а л!ло (а (а ) ° (л с,с,с, ) ) 1 р(х, д, г)((х, д, г) оа.,„р(х, д, г)с(кадаг ооб Ало л.р ,"а (8) !ил! р ср, пРи 0<к<хо, О<У--1а, 0<а<1, р(к, Т.
г]= ' '1 (О) сра при ха<к<с!, 0<к<(а, 0<глк1а,! 1оли л о! -),) 1Р(х д г)ит л о(х. д г)«хдд«г= боб (а(в ~ с!рсха сара (1! хв) ! всп дслалрхо нпасощл (1, — ха)1 лало ! 4СЧНКННН Олл л, р ОЕ д г) ОРТОСОНааьиЫ С ИЕСОН Р (Х, д, г) В ПараааЕЛЕ- пипеас О <х< 1„0<д<сь 0<в < 1в. 25. Решением краевой аааачи да (даи 2 да) ср — «с(- — + — — ), 0<с<го, 0<1<-)-оо, ' д1 ')дса с дс~' да сдан 2 да) гаса — -«а( — + — — ), ха<с~с!, 0<1<+ >, дс дс!' Г дг а(тв — О, 1) и(ха+О, 1), 0<1<+со. «аас(св — 0,1)=«и (ха+О. 1), 0<1<+оп, и(с,, 1)=0, 0<1<+по, и(г, О) 1'(г), 0<с <са, (2) (2') (2') Р) Х,л, „, рл 1, 2. 3, ...; л 1, 2, 3...,; и=1.
2. 3, ...) — парни трансиепаеспносо Уравнении тл РРлпнения плрлБОлинескОГО тнпА иилиетсв: + и(г, т)= ~ А„е " о„(г), (4) тле да(о= 1, 2, 3, „.) †кор трансдендентиого уравнении. 'г' Л с Р, с(Д ~геХ„1/ — 0-')-) — 'ггаесрг с(2)(га — г,) ). 1/ — агз 'Г ' ', (5) дтт о„(г) — .— мп ы„(г, — г) ге(г(г~ ~ г мн Ыв(г, — ге) ' (у) ) Ы (г) ((г) о„ (г) дг о (в = )еа)т с,р,г' при 0(г(г„, ~ Ы(г)= гтр,гт При га (г (г, (9) сьоотге г,р, (г~ — га) Лт — йт 2иитйатю йа!ПтЩ,(Г,— Г,) А„Г„ Функпии ов(г) ортогональны на отрезке 0(г(г с весом Ы(гь 26.
Решением краевой аадачн ди (дти 2 да 1 — -=ат с — + — — т, г, (г (га, О(((+со, д) = (д-в ° д. ) 4 г д() „ди ~ — пгг1р'сг — — =4пгтд —, и = У (т), и =О, 0(Е (+ос, ир. 0)=)(г), ~ (г (ги (2) (2) а — 3 где Ла — положительные корни уравнения отг,).т — 3)( с(й лв (га — г,) = дйХа гг 2 ~ г~(г) мп Хв (г — г,) дг г, А» Г )а%аг,р*с* 1 )а 2огг,р' ь 1 1 1 ЗЛ Х.4 -* 3' где р* и с* — плотность массы н удельная тсплоемкость жидкости, явлиетси: о — агат,г мп Х„(г — гд и(г, ()= у А„е ' " ', г,(г( о О(.<+, (4) г ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 2. Краевые задачи, требующие применения специальных функцнй а) Однороднмо среды о»о аа»» (р г) 1 — 2 е — Х )а»а а (р») » 1 и (г, 1) (7» О~гкго. О~(~+, (1) где го — радиус цилиндра, а р» — положительные корни уравнения 7» (р) О.
Б услоаняк регулярного ре>кнма, т. е. при столь больших значениях 6 что сумма членов ряда (1), соошетствующнх р р, ... пренебрежимо мала по сравнению с первым членом о) 2/о( ! ) р г (рт) (2! средняк по поперечному сечению температуоа моно ! 4 и(1) (7о 1 — — г о Замечание. В точках с координатой г, = — ' регулярный режим нас!у. ра )аз пает раньше, так как в этим точках обращается в нуль член ряда (1), соотжтствующий рт. хв.
и(г, 1) =8(7»,г е ',, гае р„— положительные корни уравнения уо(р) =О. В условиях регулярного режима о(г ) га и(г. 1)»=И/о,у,~ е а р% (ра) а) Напомним, что для корней уравнения lо (р) =0 имеет место представление 1 0,05661 0,053041 4 + 4» — 1 (4л — 1)з "")а так что р ~2,4048, р»ыбабЮ1а ра 8,6537» ...
Значения уа(р») см. (7га стр. 678. Указание. С помощью подстановки о(г, г) гц(г, () задача (1), (2), (3) сводится к задаче об остываннн отрезка с сосредоточенной теплоемкостью иа канве, ксторая решается аналогично тому, как зто делалось в гл. ВН (см. задачу 50). ж уРАВнения пАРАБОличесКОГО типА среднян по поперечному сечению температура Роао (т(()~ о, 'о ро (2) является: ")з и(г, ()=и,+— рте (4) где р„— положательные корня транспепдентного уравнения то (Р)=0. 30. Решением краевой задачи ди тдтн 1 дит — =оос — + — — т О(г(го. 0~((+со д( (дто г дт(' о' п(т о )(г), О~г(го, ~ — +Аи~ О, 0«((+~, (2) (2) я властею + со и(г, ()= лт' А„е ",)о~~— "-)т и =! (4) А„= т)(т) Яо( — дг, 2)оо /ра' го[4+Латает )° 4(р„) 3 ~ то ) ра — положительные корни уравнения пг; (и)+Атомр) =О.
В условиях регулярного режима (О) то ~р( ~) (~) 4 ~ —,~ д~ ~(ю (рет) ~тот — — т грот ( .о «(» 'т~ то — з ° гоо(р,о+Бетто),)оо(рт) о(( го т' Замечание. Регулярный режим каступает раньше в тех тке точкак, что и з предыдущей задаче (см. замечание к ответу предыдущей задачи). 29. Решением краевой задачи ди Иоз ! ди) — =по о — + — — ь, О~г<го, О~т'(+со, т)( (дго г дг ) ' ди )о — =4 прн г=го, О 1(+сот дг и (г, 0) =(/о. С ~ т ~ то, (з) ОТВЕТИ, УКЛЗЛИИЯ И РигПЕИИЯ 31. Решением краевой задачи да «дзи 1 ди1 д! (дгз г дг) ' =аз « — + — — 1, 0(г~ ге.
О<! <+со, ди дг -- =!!((г! — и) при г=ге, 0~! ~-(-оз, и[г, 0)=Ц,. 0(г~ге, (2) (З) леал! +со и(г. П=-(1!+2((/! — Ц) и' л ! ге! Хг(р„)е ~ [~3()! Р(-('Ог)) '(изу' где Ȅ— положительные корни уравнения )ьу'„(Д+йгее'е(р) О. 3 а м е ч а н и е. В силу (5) у! (Рл) йге Ил(де(1"л)+У!(рл)) ее(йл)(йй+" а) Таким образом. выражение (4) для и (г, !) может быть записано в виде лзн' ! л +ОЪ и(г. !)=(!!+2Ф! — (!е)йге у .,+Лз л Уе (6) гз — ге — 2--( ю ЗЗ, и(г, !)-и,+а 1+ ча, ~+ + ге Еилг) + аз ~~~„ре У ()г ) (а1+йзге1 ° (1) л ! где рл имеют те же значения. что и в ответе к предыдущей задаче. ЗЗ.
Напряженность магнитного полн и=-Н 1 — 2 Х е г 1 ге/ ~.' (р ))' Зл гг Ф=1 ) Нгдгд!у=И ( ) Нл 1 — 2 г е " — ' гдгдмИл "г(рл) о л=! -1- лл — — Г ге агю)г г(о л ! где )гл — положительные корни уравнения ез(И) О. Поток магнитной иидукиик через поперечнсж сечение цилиндра ж РРАВнения ИАРАВОлическОГО типА Указа ние. В уравнении для вектора магнитной напряженности *) ерФИ 4пмо дИ ст др сз д( для орсводяшей среды с больш!А проводимостью можно пренебречь членом ар ФН 4ггро дН сз дгз -)! — по сравнению с членом — — †, что приводит к уравнению гз д(' дН .--=аз ЛН, ат= —. д) ' 4про Так как внешнее поле не зависит ст гр и параллельно оси г, то есгествсшю предпологкитгч что Н,=Не — — О, а Нг=Н(г. Г). Эта гипотеза оправаынчегся в силу теоремы о единствепнсстк решения краевой задачи.
для Н(г. !) получаем краевую задачу дН (ФН ! дН! — — =аа г- —,+ — - -), 0 - ° <г„, 0(Г(-)-со, (дгт г дг!' Н(г, 0)=0, 0(г(га, (2) Н (пн !) = и.. О < ! <+со. 34. В пилиндрнческой системе кгюраиват, ось а катар~а совмещена с осью пнлиндра, Н=е,Н,+е, Не+е,Н„)1„=Нч =— О, Н,-Н(г, !), Ьег ы'г Ье! ы'га — Ье! ы'г Ьег ы'а Ьег го г Ье! и'г„— Ьс! ы г Ье! ы га + На — '3!и ю)+ Ьсг* ы'ге+ Ье! ч ы'га а ио! Я р г+ ю'тг! ч=! и а где р„— положительныс корни уравнения уч (р)=0, а ю'~ —.
а ' Решение. Решение краевой задачи г— — -=-а г — -+- ~, 0(г(г!ь О«((-)-сс, дт (дгй г дг~' Н (г, 0) = О, О -'<г'ш Н (га, !) = На соз ИГ, 0 ( Г (-)-со, (2) (3) находим как действительную часть решения краевой задачи ди гдзи ! д(г"! ==а'1 — + — --)1. Огй ", О ((+ . д! 1дгз г дг (' ()(г, 0)=0, О-=.г(га, Н (гщ !) = Нег™, О (! <+ гю. «) См, [7)), стр. 443 — 447, (2') (й') Разложим вектоР Н по единичным вектоРам е„ егг, ег ПилиндРической системы, ось которой совпадает с осью цилиндра, Н=Н,е,+Нее, — Н е,. .470 Отве!'ы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
