Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 71
Текст из файла (страница 71)
!66. Логарнфнн!ескнй потенциал спнОЯОднОй эллиптической области ГН УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 447 лается 6ормулами г ! а+Ы паьр, 7 х' рт) Ь' [х, р) паьре ! — 1п — ! — — ! — + — ) внутри эллипса, [,2 2 ) а+Ь (аз Ьэ/ х д~ а+Ы У~+К УЬ +Л У (х, У)-паьрэ [! — — !п — ! — паЬР„ '(2 2 ) а'+2+ УЬэ+ Л раз+а+Уьэ+А ~рейо а+Ь где А — положительный корень уравнения хз рз + — = 1. а'+ з Ь'-1-з !67. Потенциал вне эллипса равен вне эллипса, Л У[., р)=У ! — 2 (а 1 Г аз а+Ь вли 1 Б+а"+Ьт+Р [)С+аз)(А+Ьз)1 У(х, д)=~э [п 1 2[ив а+Ь где хэ+ уз. к а з а н и е. Вывод формулы для У (х, у) совершенно аналогичен выводу, приведенному в' решении задачи 163. На бесконечности мы ставим условие и У вЂ” Л !и — — ьо при р )гхэ+рэ- со, [Всади ! ~ —, 1 В Р рз ! где А н В )0 — некоторые постоянные.
166. Пусть 1 — ток, протекающий по петле Са с центром а точке х=О„ Р 0 и .Радиуса а, 7) — ток, текущий по петле Сь радиуса Ь с центром а точке а=а, Р=О. где )[ — положятельный корень уравнения хэ рэ аз+ 3 Ьз+5 — + — 1. Плотность заряда, распределенного на эллипсе, равна )'э 1 Гх а+Ь Г' а' Предельный переход прн Ь-ьО дает потенциал отрезка 0 ~ х~а иа плоскости (х, р) 1 У [х, р)=рэ 1 — х 2!ив )с 1п рэ+ г' (рз — аз)з+ 4а'рт+ у' О,брэ [рз — аз+ )' (р' — аз)з+ 4агр е) + а'уэ~ 448 ОТВЕТЫ, РКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Лля силы взаимодействия между С„и С» возможно одно из представлений: сз)' аЬ < (и — Ь)з+оз 2 <и+Из+Л" й< )'1 — й з.
2 Е (й) = ) Ьг< — йз а<пз юр йр с †эллиптическ интегралы первого и второго рода; 9) Р= ' У 1<†1 1 <СОЗ )~ <О) <й~+Ь пи(Г апсс ъ~ / аз у )Ьз+ р< з где а=й» вЂ” координата точек кольна С», если начало координат находится в венгре кольна С„; 3) Г= — сг — ( — 1 Ра+,(ССИР)РЧ(ССИР) <Ь~а); цр«Ь:() ъ 1 < )а+~, ! ,~~ и+1(, Ь~ прн атом начало координат помещено в вершине кругового конуса, проходящего через С„и С» (ачь Ь) н имеющего угол раствора (); если а ( Ь, то ряд, стоящий справа, быстро сходится.
У к а»а н не. Сила, действующая на контур, по которому протекает ток <, помещенный в магнитное поле, равна Р- — <В (с<а )Г), 1 Г с 5' где  — магннтнзн индукпия внешнего поля, а интегрирование производится по данному контуру. В нашем случае рГ ь (сзг) В- — с~~ —. с '~ гз для вычисления величины В на контуре С» следует использовать реше. иие задачи 1бб 169. Пус1ь кольна Сс радиуса а и С» радиуса Ь лежат в параллельных плоскостях Х„и Х», а йх пена.ры расположены на одной прямой, перпенднкУлЯРиой к плоскостам Ез и Е»1 козффипиент вэаимной иидУкнин может быть представлен следующим образом: 1) А<ы Ь ~11 — 9 йз/ <( — Е~> где й (~+ЬР+йз~ << <й) и Зр )' аЬ ГГ 1 1 1 4аЬ Е (й)-вллиптические интегралы, с< †расстоян между Венграми колщ.
тв уРАВнения ЭлЛИптИчЕСкОГО типА 2) Есхн начзло координат поместить в центр С„, то колыю Сз будет иметь координаты гз='г'Ьз-(-пз, ба=й. и ви — ! (2гл — 1)!! /аз+аз( М,з= прЬ у~ ( — 1)"' ~ — ) Рзм ! (соз )(), (2т — 1) (2т)И ~ а [аз+ ив тт — ! аз+ дз ГЬз+ аз( Г ат Если же — ~1, то нместо ~ — ~ " надо писать !1 — 1 аз аз ) за+аз) Аналогичную форму имеет выражение для взаимной индукции двух произ вольно ориентированных колец, если нх сон пересекаются.
У к аз а н н е. Коэффициент взаимной индукции контуров 1 н 2 определяется Формулой Д(ге = ф Ат аз„ 1 где Аз — вектор-потенциал полн, созданного единичным током в контуре 2. В нашем случае )Иза Ф Аа "(Зз=2ПЬ! Аа(о=ь С, где ! А„! вычислнется на основе решения задачи 156, 16 в. ж. ахваз и аз. ГЛЛВй У УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 5 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа; постановка краевых задач К Для температуры жндкостн в нестацнонарном случае имеем: ди (д«и д'и дти~ ди дт' (дх«ду' дг«т дх' — =а ( — + — + — 1) — о« вЂ”, — со<, р<+~, 0 <а.
«+со, ат — коэффициент температуропроводностн; ди л — =и [и —,') прн г=о, дг (2) где 1(х, р, () †температ» плоскости г=О, где ) (х, у) — температура плоскости г=О, и(~,=ф(н, г), — со<0<+со, 0<а<+по. бн) 2. Для концентрация вещества, днффунднрующего в поданжной среде, заполняющей полупространство г ) 0 н движущейся с постоянной скоростью в направленнн осн х, прн условии, что плоскосты 0 непроннцаема, в неста- пноаарном слу гае имеем: ди тд«и д«и д'и ~ ди дг 1дх«прт дг«у ох — ))~ — + -)- — ~ — о« -,—, — со<я, у<-(-оо, О<г, т -(,„, (() ди — =0 прн г=о, дг 0 — коэффнцнен«днффуэнн; и)«а —— ф(х, р, г), — со <х, у<+со, 0<г <+со, в сгацнонарном случае (с «пренебрежнмо малой» теплопроводнслъю в направ- леннн осн х) ди а«(д«и д«и ) дх о«(др«дг«) ' — = — ~ — + — ~, — со<у<+~, О<», <+~. () ') л — = сс (и — )) при г = — О, ди дг (2') и.
внлвннния плилволичнского типд 451 (3') (3) (9) в стаиионвриом случае (при условиях задачи) ди В /дти дги г — = — ~ — + — (', — со< у <+со 0 < х, г <-(-со, (1'» ди — 0 при г=О, дг (2) и!х-о Ч(у. г)* — со<у<+со, 0<г<+со. ди / дги д'и о.и '1 3. а) — В! — + — + — /! — Ои. 6>0, — со<я, у, г<-»-со, д/ ( дхт дуг дга ( 0 < Г <+со, (! ) и)/„а —— ~р(х. у, г). — со<х.
у, а<+со. (2) ди / д'и д'и дги 1 б) — В~ — + — + — )+()и. ()~0, — со<я, у, г<+со д/ ~ дх' ду' дга ( О</<+ ю, (Р) и)/ о=~р(х, у, г). — со<я, у, г<+оо. (2') дЕ сз ( даЕ деЕ даЕ ~ д/ 4про 1 дх' дуа дга(' — со<х. у, г<+оо, (1) дИ ст (о Н д'И дтН '! О </<+сю, [1') д/ 4про '( дх' ду' дгх (' где Е н Н вЂ” векторы электрической и магнитной напряженностей, с — скорость света в вак>уме, р — магнитная проницаемость.
о — проводимость, Е»ил=Ар, (х, у, г)+(р,(х, у, г)+й(М(х, у, г), 1 (2) — с:о ° х, у, а<+со, Н», !ф,(х, у, г)+(фг(х, у, г)+йфг(х, у, г), ) ' ' ' (2') где /. (. й — единичные вектоРы по осам х„У, г, а ~Р„4Чь йв, фт, фг, 1)г— заданные функпии. у к а з а н и е. Рассмотрим систему уравнений д(аксвелла 1 дВ 4и го1 Н= — — + — (, с д/ с 1 дВ го1 Е= — —— с д/' (4) д!ч В=О, (5~ б!» В=О, (6» напнсаинуювпредположении, что в рассматрннаемой области иет объемных за- рядов и сторонник электродвижущих сил. Используя так называемые материальные уравнения поля В=еЕ.
В= РН, (=оЕ (у) 1 дВ н условие постоянства е. р, и н пренебрегая токами смешения — — по сранс д/ 4п 4по нению с токами проводимости — ( — Е. получим уравиеиня с с го! Е и дН с д/' (6) 4по 1 Н= — Е. с ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Если от обеих частей уравнения (8) взять го! и воспользоваться известным равенством векторного анализа го! го(а Егаб б(ча — б(чбгабп, то с помощью уравнений (6), (Т) и (9) можно получить уравнение (!).
Анало- гично получается уравнеяие (!'). ди Г дзи дзи дзи ! б. — аз!! — + — „+ — !, ОеЕх~(, — со~у, г(+оо, д! ( дхз дуг дгх /' О <! <+со, (!) Ьих (О, У, г, !) — Ьи (О У, г. Г) О, У~их (!. У, г, !)+Ьи ((, У, г, Г) О, (2) и (х, у, г, О) )(х, у, г), где ! — толщина пластины, Х вЂ” козффициент таил«проводя«чти. Если темпера- тура меннегся по толщине пренебрежимо мало, то н и (у, г, !) ди Т дгн д"и ! — аз! — + — г1 — 2Ьи. — со <У, г<+оз, 0(Г(+оп, д! '(ду дг 1 Ь Ьз ср| где р,-масса единицы площади пластинь!.
д«з (! д г' ди! ! дзи! 6. — аз ! — — ((г - -г)+ — — !. гт~г~гз. ОеГфий2п, д! (г дг ~ иг ! гт дфз)' О ~!.б+о, Его(гп ф, Г) — Ь(и(го ф. !) — (Г(!)! О, О С(~+со. )(и,(гм ф, !)+Ь(п(гз, ф, !)-(Ь) О. 0(((+ос, (!) (2) (2') иг,е'р' — — Ь 2л(Г(!) — и(ги ф, т)йр, 0((~+со, (2') * ь ~~(' (!) и(г, ф, О) ((г, ф), г~~гмаг, О(фч 2и. 7. Для определенна скорости «(г, !) часпщ жидкостя ) н угловой ы(!) цилиндра получим краевую закачу ди !дз«! д«и ) — «! — + — — — — з, гз ~ г ху, оо, О ~( ~+со, д( (дгз г дг и)г ~, гзы(!), и-ьО прн г~ +со, 0(г(+оз ды !'ди и1 К вЂ” М+ 2пгххрт ! — — — ! дт (дг г ~~ скорости (2) «) и(г, () ие(г, Г); си.
указание а насчоящед аадаче, гдв (Г(~), р'", с — температура. плотность массы и удельная теплоемкость жидкости внутри трубы, у. уРАВнения пАРАБОЛическОГО типА Указание, В цилиндрических координатах 1! уравзения движения несжимаемой вязкой жидкости ди„ди, и, ди ди, и' — + и — + — — +с'» — — — = д/ г дг г др дг 1 др /дли, 1 дли, дМ, 1 ди = — — - — +т( — + — — + — ! —— Р дг дгл г' дсрл дт' г дг ди, дие ио ди, ди, ии, — + иг — + — — + О» — + — = д/ дг г дср да г 1 др ( д'ио 1 дло, дли ! ди, = — - — — +ч( + — — — + + — — —.' Рг дср (, дгл гз дс(а даз г дг ди ди О, ди до ! др +О» + +» = — ' + д( "дгдср'дтрд / д'съ» ! д'Ос +ч '( — + — — + '! дга .* дча 2 дсЪ О '! гл дяс г" /' 2 ди, Оо 2) уравнение неразрывности дЦр ди» вЂ” +-- — + — + — - =-О, дг "др др г =' и, и,, и» вЂ” составляюсцие векторы скорости па направлению единичных коордйнатиых векторов цилиндрической системы координат; 3) компоненгы тензора напряжений ! 1 / дио т —.~ + '! да /дс т„=ч ~ — -(- д~ до, о = — Р+2т— дг 1 ди» ') г дср!' Ф) /! де о и о = — Р+2и~ — — + о '! ° др ди» о,= — р+2и дг др„др др др др Р = =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
