Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Для нормы собственной функпнн ',Уа( получаем: Ь а Ь () (э=) 1'а(9) а (9) ид=ег ~)ч (9) 99+аз~ гл (9) г(9. д ) См. [7), гл. 11, $3, п. 9. ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ М РЕШЕНИЯ Вычисляя втн лнтегралы н учитывая уравнение (4) для Ха, находим: е,Л ез (Ь вЂ” Ь) (б) 2 з(п Угу„Ь 2 Ь з )/Х„(Ь вЂ” Ь) Козффнцяенты разложения некоторой функцни / (д) в ряд по собственным функцянм );,(д) определяются по формуле Ь 1 = —. т /(д)Уа(д)а(ИАд.
!) лпе ) е Из уравнения (3) находим: — . Х Ха (л)=А» Общее репкнне задачи имеет вид и(х, д)= ~~, 'А„е " У„(е — )/~,„ а ! Для определения А„используем условие прн к=0 У= ~', А„У„(д). «=1 Отсюда а !) а '9( У Х„)У,(а(а!и Ь/)(„6 а(при„(Ь вЂ” Ь)~ 99. Потенпнал электростатического поля равен зЬ )' 'Ае (а — х) 5(1 )(» и и=! У„(д) прн д ( Ь, а (д)= У„(д) прн Л~9(Ь, выражения для У„(д), А„н квадрата нормы даки в ответе к предыдущей задаче 99, Ха †коре уравнения еч(9)/ИЬ вЂ” Ь)+аз(ЕИ,И =о. Предельный переход прн а-ь со дает решение задачн 96 пеа ,'а = ш яез' так как ай )/Аа (а — х) — Г' Ай а ((щ и =е е са зп) А„О У к а а а н и е. См.
рещение задачи 98. гу уРАВнпггия эллггптггчпскОГО типА 100. Напряжеииосгь злектрического поля Е= — йгаа и, где и — потеггкггаа, равный (.; иг(х, д) при (Ь. и(х, д) и (х, у) при Ь(д(Ь. Г (2Ь+1) 6 „[2Ь+ !) Ь л,~,~ л (2«+ 1) л(2Ь+ 1) „ «=о ег [0 (Ь вЂ” Ь)+е [Ь гг (2Ь+ 1! з[г — — ч Х .
л(2Ь+ 1) з[п — х, [2«+ 1) зп Ь 4д %) Г л (2Ь+ 1) иг (х, д) = — - 7 ~з[г д+ л з"„з ( а «-о + ! '" [Ь л(2Ь+1) Г [[г ' (2Ь+1) Ь Г 11 г (2Ь+1) Ь Х [Ь л (2Ь+ [) ( Г, + л [2Ь+1) Ь а и гг(2Ь+1) х Х „л(2Ь+1) Ь (2Ь+ 1) з[г указ а иие. де[пение ишется в виде и(х.
д)= ~'„, А«Х«(т))'п(у), где и=г .Х„(х) — собствеииая функция краевой задачи Х" +)Л =О, Х (О) =Х (а) =О, 1'„[ь) ори д ( Ь, У (д)= =( -' г(д) ири Ь .,д(Ь вЂ” решевие задачи ӄ— )иди=О, Ё;,— )г7„=0, )'„[0)=0, У„()г)=У«(6), е,)', (Гф=е«У«[Ь), .определяемое с точиссгью до псстояивого мггггжггтсля, !О!.
и (х, у) =- — [(у — Ц« — (х — а! [+гопы. где Ь вЂ” козффициеит тепло2аЬЬ проводи ест н. У к а з а я я е. Требтется решить вторую краевую задачу для уравнеиив ,и,„„+ит«=0 внутри прямоугольника при краевых условняк Ьит(х, О)= — -, Ьгг,(0, у)= — —, их(и, у) О, иг(х, Ь) О. 0 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ И атом случае сведение втой задачи к двум задачам, у каждой из которых на трех сторонах взяты нулевые краевые условия, невозможно, так как при этом нарушится необходимое условие разрешимости второй краевой задачи — да=О. ди дп с Решение. Так как граничные знзчеиня не меняются вдоль сторон, то можно искать решение в виде гармонического полинома и (х, у) = д -(- Их+ Су+ Пху+ И (х* — у'). удовлетворяя краевым условиям, находим соответствующие значения коэффи- циентов и в реаультате приходим к формуле ответа.
Решение можно также найти методом разделения переменных, полаган и (х, у) = ~ ил (х) ул (у), л=э где 1'л(У)=сов г Ллу †собственн функция краевой задачи У"+Л =О, 1" (О)=У (Ь)=О, Г ип)з соответствующая собсшснному значению Л =1 — 1. ') ь)' Найдем: Ь ил(х)= — 1 и (х, у) ул(у) йу для п)0. 2 =ь.) е Подставляя сюда и интегрируя дважды по частям, получаем ь ил (х) = — — — Ь'Мз — (пирл)е+ ихх)'лл с(У Учитывая краевые условия в уравнение и„„+и„„=О, будем иметь: 2() 1 и (х)= — — + — ил(х), »ЬЛ» )"л или 20 ил(х) — Лли (х)= —. пай ' Интегрируя краевые условия при »=0 н х=и, получим условия для и„(х)р и»(0)=0, ил(и)=О. Отсюда находим: и (х) — — — при и ° О. 20 й»ЬЛ» Чтобы найти иэ (х) = — и (х, у) ду, 1 Г ь ~ 1У.
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА проинтегрируем уравнение Аи О по частям, что дает: ае (х) — ио (О) = — и (а) = О, аЦ» откуда ие (х) — — (х — а)'-(-сопа1, 2аЬЬ Таким обрааом мы получаем. лп и(х, у) — — (к — а!'+ — г — +оспа(, 2аЬЬ дал~ л~! и Оп у) — ((у — Ь)т — (х — а)Ч+ сапа( 2аЬЬ так как лн 4Ь ЬУ вЂ” (у ь)г.
и л' в=! 102. Еслн поток д вадан иа стороне у Ь, то „(2т+ 1) л л (2т+ 1) у г(п Ьлг л~г (2т+ 1) л (2т+ 1)в ь имеет внв и(к, у, г) и,(к, у, г)+иг(к, у, г)+иа(х, у, г), где и! (х, у, г) ~' У т=! х=-! ((г)ае а)! т"' х+(!!) аь чтоо (а — х) лт ла Ф „»~ ип Ьуйп г' ет а с Г »ит пг ги' л ~/ — + —, ' у' ь 'с'' 4 Р лт лп !! — 1! (у, г) а!и — у а1п — г Ду !(г тй ь (1 1,2). Функпнн иг(к, у, г) н иг(к, у, г) определнкпсь аналогичными»рормулаын. У к а а а н н е. Удобно представить решение в виде суммы и(к, у) и,+о(к, у), где о(х, у) — решение уравиення Аи О, удовлетворяюшее краевьш условиям о О прил О,к а,у О, — ьог(к, ь)» д.
103. Решение уравнения Аи О внутри прямо>гольного параллелепипеда при краевых условиях и!к е 7»(у, г), и(х =)г(у, г), и!» )г(х, г), и! Ь )»(х, г), и(г ~=)а(х, у), и(х 'а(к, у) ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Реп~ение, Искомую функиню и(х, у, г) можно представить в виде суммы трех гармонических функций и„и,, и,, удовлетворяющих краевым тслоющн и,:„, !г(у, г); и,)„',(д, г); и,=О при и=О, Ь; г=О. с. г"!и-о (з(х, г); из|с-ь=)о(х, г); и,=0 при х О, а; г О, с, из з-о=)з(х, у)1 из1з-с=)з(х, у); из=О прн х О, а; у О, Ь.
()становнмсн на определении и,(х„у, г). Полагая и, (х, д, г)=Х(х) и(у, г), после разделения переменных получим для о(у, г) краевую задачу о собст.веннык колебаниях прямоугольной мембраны с закрепленной границей с „+ею+Ли О, с=О прн д=-О, Ь; г О, с, ворннр 1вонные ссбствгннью функции которой чмеюг виа / 4 . пю ли с .„(у, г)=1à — мп- — дз(п -г (т, =1, 2, ...), Ьс Ь с Г юз пз( а собственные значеннв равны Л пз! — + — ). Определян затем ив урав- озО Ьз з пения Х" — ЛмоХ=О функцию Хм„(х), получаем: и, (х, д, г) ~ ~Р ~(Амо знугхмох+Вомс(з Р Л,„„х) им„(У, г). о1=! о=-! Коэ)фицненты разло сипя А „и Вмо определяются из условий при х=О н х а. Аналогично находим функции из(х, у, г) и из(х, у, г). Заметим, что при решении первой краевой залачи для прямоугольника мы свели вспомогательный гармонический полипом, с помощью которого значения граничных фуннций в углах стали раиными нулю.
В задаче длн параллелепипеда построение такого полиномв значительно сложнее и это сделано не было. Построенные ряды поэтому сходятся неравномерно в окрест.ностях углов параллелепипеда. 104. Потенциал электростатического поля равен 16У и(х, у, г)= — ' ч пз мп — х зю д зн и 1 — + — (с — г) (2щ+1)п . (2и+1)и 1уу (2т+1)з (2и-1-1)з т=с о=с (2ю+ !)(2л+1) зпп ),' + с Г(2ю-(- !)' (2л-(-1)з из При с оо получим ре~пение для полубесконечной трубы и(х, у. г)= мп (2ю-~-!)и .
(2и+1) и Х МП вЂ” д ~/ ггм Ь!)з+(Вор !)з пз о~о лм (2ю+! ) (2и+ 1) м=оо=о ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Ам,„, Вм,а, С,„, 1) .„— коэффициенты разложения функций /(р, ф) и вл й (а) 2 Г Г И3 -=1',."=';) йп и / (а) в „- „, ('~ьею и„) — ~~~ге ° . ати(х„(р("1)1' ~~ ~ (2) Задача решается методом разделения переменных. Подстав- Решение. .ляя выражение и(р, ф, г) 1/(р, ф)Х(а) в уравнение ! д/ ди1 1дзи дти — — (р — )+ — — + — -О РМдр/ рдО д .н разделяя переменные, получама для г'(р, (р) уравнение 1 д/ д)'1 1дтр — --~р — )+ — — +и =о РМ др1 р д4 с граничным условиеи (4) (/(а, ф)=О и для Л(г) — уравнение Полагая далее будем иметь: Л" — Ха=О.
Р(р, й-В(р) Ф(ф), — '„—" (О ~В)+ ~д — ') /(=О, (в) — ' — "(р"— В)+(Л вЂ” "—,)/( О с граничным условием В(а) 0 я естественным условпем ограниченности в нуле а) ~ В(0) ~ «со. .Отошла находшп В(р)-/.О/) р) Храничное условие прн р=а дает: Уа (р) О, где р= )/А а. ") Си. (71, добавление 1. Ф" +АРФ=О, (у) где ч — постоянная разделения. Из условий периодичности функции Ф по углу ф находим ча ла.
Для Д(р) мы имеем уравнение Бмхеля (Ч. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Обозначим Р(")„Р(п), ..., )»(и) корни этою уравнения. Таким образом крае- (' )((и'(з вая задача для Ъ'(р, ф) имеет собственные значения )иип=~ — ~ » которым и»п — '( соответствуют собственнью фуннш(и — / „) образующие дие ортогональные системы фуннций, для которых 1)'ш-1'-'2 Р'()"ш'И'-- Г' Р = 2 [у.'(Рщ')[гя 2 при п=О, гп ( при и г:0„ а»довлешоряя краевому условию при г=0 си»О ,(и) Х ') (Аиьпрм, +В~,~7~, )з)( — "(=)(р, (р), »и ( п=о мы найдем: В ( ° п ,(и)(» з)(— »и й (»и.
и (п)» а)) й гп и =~ ~п., )р .Р„„ ги и »»пьп [»уи [а»» (Р» ф)ум, (Р ф)р()Р((ф ф))тпьп(Р. ф)Р((Р((ф. Общее решение нашей задачи представится в виде ряда и(Р, ф, г)- Ч»', 1»', (Аи, Ре.п(р» ф)+Ви,жиги.и(Р» ф)) 2п„ф(г)» ш=(п е (де 2п„„(г) †решен уравнения (5). Поскольку искомую функцию и(р, (р, г) можно иредставнть в виде суммы и(р, ф, г) и, (р, (р, г)+из(р, (р, г), где и) (р, (р, г) и и,(р, (р, г) — гармонические фуннции, удовлетворяющие условию и)!» О, и,)и е — — )(р, »р), и, ~ ( О. и (~ =О иг!хе=0 их'(и-(=Р(Р ф). то достаточно ограничиться отысканием функпин и,(Р, (р, г). В втом случае (и) 2 п (г) = з() — "' (( — г). ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Р'м (1 — г) )сяы" А аЬ +Вщ аЬ / <а! и и /р, и и(р, г) 1) „, /е!( — р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
