Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Задачи, требующие применения сферических и пилиндрических функций 123. Решение первой внутренней краевой задачи для сферы Ли=О при г (о, и[а а=[(6, гр) может быль представлено в виде ряда и(г, 6, ф) = '~) Я™')ге[6, ф), а=о где )га= ~ (А„асс»ар+В»ваш йр)Р„[сов 6). а=о (2) 1 Г А — ~ )(6, р) и Ог[агвр„ 4» ~ 02»+ 1) (» — й)1 4,а= 2»(»+й)1 (6. ф)Р~~~)(сг»6)соз[зрашбдадр, »~0 ([6, ф) Р[а[[сгма) зш [арми аг[6 ьр. (3) (2»+1) (» — й)[ аа — 2 ( +й)1 124. Решение первой внешней краевой задачи для сферы ли=о при г~о, и~ =((6, р) представляется ридом и(г, 6, ф) Р [ — ) )'а(6. Ог) а О га а -,'~ ~)', ( —;)"+' (Д. 4+Вал йф) Р'."'[ 6). «=за=О где г( ь и В„з — козффициеиты, определяемые йюрмулами (3) задачи 123.
123. а) Решение второй внутренней краевой задача для сферы да[ Ьн 0 при г~а, — ~ ')(6 гр); д»!г =а Подставляя зги выражения з формулу для О, получим решение задачи в форме [1). Аналогичным методом может быть найдено решение задачи о то. чечнгм заряде внутри цилиндра 423 1ж уРАвнения эллиптиЧЕСКОГО тнпя ) (6, >р) — функпия, удовлетворяющая условию тн я ) ~ )(6, >р) вш бдбд>р=О, имеет ввд чт г" и(г, 6, ф) = '1 — „у'„66, >р)+сопя(= «=-1 и гч 7 — „, (А з сов й>Р+дзз в1п В>Р) Р(з! (совб)+ сопв1, э.=>З--Е где А„ь и В«з определяются формулами (3) задачи 123.
б) Решение второй внешней краевой задачи для сферы ди! ди 1 ь«=О при г~а, — - ~ =)(б, >р) или — — 4 )(б >р) дл ~г= — а дгг=« (л — внешняя нормэль) имеет вид аз+3 «(г, б. >Р)= 7 „У'„66, 6>)+сонэ(. Для частного случая ) (В, >р) = А соз В получим: Уи(6, >р)=О при л~-1> Ут(6, р)=А 6, и (г, 6) = Аг сов 6 (г С а), Аа' и(г, В) = — совб (г) а). 2гв !26. Напряженность злектрсстзтического поля. кзк обычно, выряжается через потенциал и, Е= — Кгад и, рваный — чт Гг !«2л+1 =У + У 1 — ) — Р„(О) Р„(совб), где а †ради сферы, Р„ †полин Лежандра л-го порядка, Р«(О)= ( — !)" ! ° 3 ° 5 ... (2т — !) ч12т О прк и 2ч+ 1.
У к з з а н и е. При вычислении интеграла 1 ~ Ря (л) дк е ВХПОЛЬЗОВШЪСЯ1 424 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 1) рекурревтной формулой 1 Рл(х)= — (Р„+1(х) — Рл 1(х)), 2л+1 2) формулами Р,, (О) — Рпат (О)= Рл, (О) 2л+1 Р 1'З б" (2 — 1) т! 2" Р, (О) О. гл ,агл О е 5' ~ л+,— —,„, Рл(созб) пРн г(г„ а=о' О юа л а л О О е à — „, — —... Рл(сгиб) пРи г)ге, ! гль л=о и(г, 6) а плотность поверхностных зарядов на сфере ОЗ л е Ът 'о о= — — р (2л+ 1) — л Рл (ссп 6). б) Если ге ао, то потенциал Е! гл ож+ь 7 ~ — „! ~ — л,х „4 ) Рл(созе) пди г <гл, а==О а л! ! ге злат — ~т + Рл (СОЗ 6) Прн Г Ге, л =-О л(г.
61= а плотность поверхностных зарядов на сфере равна е ъ~ ел-х о= — — ~ (2п+!! — Р (созб). 4л .2~ «.1- 6 л ГО л -О Ук аз а н не. Следует воспользовюъся разложением — 7 — ~ Рп (соз 6) прн г ~ге> гз а~. (Уе~ л=-Π— — Р (соз 6) прн г ) ге> г г л=е где )! — расстояние точйи наблюдения (г, 6) от заряда (ггл О). !22. Заряд находится в точке г гл, 6=0, где г, б — сферические координаты, начало коорлкнат в точке г=О. а) Если гл ~ а, где о †ради сферы, то потенциал ту уРАВнения эллиптического типА Потенциал точечного заряда ищегся а виде суммы и(г, В)= — + 7 Ал~ — ~ Рл(созе) при г(а, )( э~» (аг' л О и(г. 6)=--+ г Вл~-) Рл( оэе) пр л=э (2) Коэффициенты Ал и Вл определяются нз граничного условия и (, =О: г о А = — е— л+1 а а" В = — е —.
л+1 О Плотность поверхностных зарядов находится пс формуле а поверхностная плотность кндуцнрованных на сфере зарядов дается выражением е ъ» алщ а= — — ~~ (2и+1) — 1'л(соэ 6)+ — ', 4и л+» 4яа ' л=е ге е» е )в= + а гэ Указание. Решение по-пре»кнему ищется н виде и(г, 6) = — + 7 Вл~ — »1 Рл(созе). л.=е Граничное условие и ы = У„ дает: ал и(а, 6)= ~ (е — +В„~Р„(сове)=Ул=сонэ(. л =О Отсюда находим: 1 Ол Ве — — Уэ — е —, Вл — е г "+1 е О При этом э случае а) надо пользоваться формулой (2), а случае б) — формулой (1).
1М. Пусть сфера радиуса а, на которой распределен заряд е„помещена в поле точечного заряда е, на»ищящегося в точке (г, О). Потенциал пола раасн е аУО ц;» а~+э илл — + — е ~ Рл(сеэе), г л+! л+\ л=е отняты, иклздния ы няшиния Пользуясь разложением — ~ — ) Р„(сааб), а в найдем: Лля определения ра служит условие нормировки нтв г) ~ опт яп Впбйр=е. Ь Ь 129. Пусть (г. 6, р) — ц)ерические координаты, г=Π— центр шара, а— его радиус, и=и(г, 6, ~р) — потенциал скорости. сапа саоз а) и=и(г, 6) = — Р,(созб)= — сев В, 2гз 2гт оа ) и = и (г, 6) = — еа ~г + — / Р, (соз 6).
2гт / У к а з а н и е. Решение ищется в виде "=Х. Оаьа (в ( П аьт)'а(6 ~р) и=-о где у'„66, ф — сферическая функция. Из граничного условия при г=а находиьц 0 прн вФ1, — Р, (осе 6). 2 Ср. решение задач 74 и 75 этой главы. 160. Потенциал искаженного поля равен Ею Зге 2еа+ е, г соз 6 внутр ° шара (г (а) ~ — е, (а)з иа= — Ее[1+ — ~ — 1 <гесаб вне шара, 2еа+а, ( г / где а — радиус шара, и=ач= — Еаз= — Е,гсозб — потенциал внешнего поля в отсуштвне шара. Поле Е=(0, О, Ег), где ди 2 а — Е ут шара, 2е,+е, Еа = дг ( еа — е, 2оа') (11 — — „- ~ Ее впе шаРа. 2ц+, 1 Указание.
См, (7), дополнение, часть П, б 3. 161. а) Если заряд находится вне сферы в точке (га. О), га)а, то потен- циал влектрического поля равен и,(г, 6) прн г~а, п(г, В) = иа(г, б) при г>а, !У. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА где 2п+! л из(г, Е) е л.а )л (Сав Е) л е лез+(п+1)е ез — ез %1 и авлш е 1 из(г, В)=е — ' 7 — )л( В) + — —. ее зле пе +(л+1) е глчтгл+з сз й л=а в а е ук аз ан не. Решение нщется в анде Г г !л и,(г, 6) = ~~)' Ал~ — ) Рл(сазз) л о (г(а), г (а.
при г ~а. (г < а), (г)а) (г~а), (г ~а). е 1 %Ч го !л+з из(г, Е) = — — + 7 Е„~ — ~ Рл (амз) (г~а), 1) а=а где Ал и Вл — ивффнпненти, опредсляемые из условия сапрюкення дид ди из=из. е1 — = ез — прн г=а. дг дг 6) Еслн гз(а, то л л е — 3 к) и+1 гг е и (г. Е)= ез а' ! па~+(л+!)ез аи з е,)1 — Рл (сгп 6)+ — при =а 2п+1 гл из[г, Е) е пз,+(п+1) ез гл+з — — Рл (соз е) уз аз а н не.
См. задачу 131 а). 132. Платность тока 1,= — о,Отваги, при г(а, (з — оз угад из пРи г ~ а. Источник тока находится в точке (га, О). а) Еслн гз(а, та з ъ1 "+ 1 и|= — - — з „г, — '.„Рл (-~ е) +— 4эт о, а~! по,+[и+!)оз ав~+г 4ло,Р ю=-а чсч! уп-(-1 — Рл(сов з) 4л,~,~ по,-)-(п-(-цо, глн л=а б) Еслн гз'д а, та л "(' е)- — Х вЂ”, Р„(сазе) 4 ~~ ло -)-(и-(-1)о 1о,— о,у л а'"+' иа(г, 6)= — — '' 7 Рл (саз Е) + 4п о ~ы ло -)-(п-(-1) о Р+зглчз - 4по Р 428 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ !33. Если шар идеально проводящий (о, со), н источник тока мошно стью 1 находится в точке (гв, О), ге ~а, среды, обладаюшей проводимостью о„, то 1, -О, 7з= — ой Егад им ГАЕ 1 %~ аш+т 1 ,(г, 6)«л —— Рл (сова;+ (г ) а).
4пой ~ г"'+тгл+з 4по 17 «=О й 134. Температура и(г„6) вне шара рвана (источник в точке (гл, О)) гл гз %т 1 и аг «з 1 и(г, 6) = — -( — р — л(соз 6), 4ВАЯ> 4пй ( л+ 1 гл«тгл т л=о л где 6 — козффнпнент теплопроводшхти среды, 17= гггй+г! — 2г„г осе 6, а — раантс шара. !36, Температура внутри свара г (а равна Ол 0« мт (л+1) — ай г,",гл и(г, 6)= — + —,7„ 4ндр 4п6 лгл л-1-аЛ ай«+' — Рл(оса 6), ю=-О где 6 — козффиниент теплообмена, источник в точке (гл, О). Указ а н не.
При г=а имеет место условие ди 6 — +ли=О. дг Решение следует, как обычно, искать в виде «=О 1 носпользоваться разложением — и определить Ал нз граничного условия. !36. Потенпнзл точечного заряда е между конпентрнческнми сферамн (а~ с~6] равен лл йл+1 йи+1 гл Ой«+! т««1 йл+1 .(., 6)=~ — г ~~,6й«+! Ол«х „+!+!а«+! й.+т л,т,+т Рл(~~~6). Прн а-«0 отсюда получаем решение задачи 127 а), прн 6-ьоо — решение задачи 127 6).
Плотность нндуннрованных зарядов з у (2л+1)г(бь ы — с~а~')а" ' и! =о (г-л = йле! йл+! «ш 1 «('"за) 4п.аы Ол — а «=О О 4п 66«т! — ий«+! г +! л О (У УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Указа и ив. Решение следует искать в виде е %~( Вл ) и (г, 6) = --+ 7 )А лтл -1- —," ) Рл (ссн 6). л=о определяется формуламн Гг '1л и,(г, 6)- ~~)' А,) — ) ('л(сова) л~а) при т< а, иа(т 6)= 1), ~Вл( — ) +Сл( — ) ~Рл(с(жб) при а<т<Ь, л==з г Ь )л+1 е иа(г 6) = ~, О» ~ — ) Р~ (с(ж 6) +— л г ааЕ л =-о при г)Ь, где В=)' ге+ге л— 2гга соя 8 — расстояние между точкой наолюдения (г, 6) и зарядом„ а аалЬ !ла +(л+1)) л г а 1згц.з ю 1 +" ("+ )) ~ Ь ) Ал=(2л 1 1) еДлВл. (а )л+1 (ЬМ еол — (еа — а() 61алВл, ()л — — ~ — ) Вл+Сл —— '(ь) ') а ) а Ге+1 аз 1 О(.(+1= „) (( 1, 2), )(иалогичио решается задача, если точечный заряд помещен внутри шара ге<а или а<«а<Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
