Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 72
Текст из файла (страница 72)
+УР/». Р = +УР/и Р +йр/» УР д( дх ' дт ду ' д( дг где р — давление в грунтовых водах. Пренебрегая (в силу предположения 2) 1 условия задачи) инерционными силами и используя /= — — //, получим из й зтих уравнений приближенные уравнения дР й дР / 1 др и= — — —, и= — — — —, ю= — й ~ — — -1- !), йр дл' ур ду' !йр дг Компонеыты тензора напряжений в цилиндрических координатах определяются аналогично тому, как зто делается в декартовых координатах прн выводе уравнений движения упругой среды в задаче 11 $1 гл.
!/1. 8. Р е ш е и и е. Поместилс начало каорднмат на водонепроницаемом основании н направим ось е вертикально вверх. Пуси в проекциях на осн координат векторы ~, !г, (/ записываются в виде г=(/», /и. /»), (г (!'„, Уи, у») (/=(и, и, си). тогда уравнение движении частиц грунтовых сюа можно зайисать в виде ОТВЕТИ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ которые можно записать в векторной форме следующим образомо [2) 0= — ййгаб Н, где Н(х, щ й, ()= — +2, р — ро йр (3) рь — давленне на свободной поверхности грунтовых вод (не зависнщее от х, у, х). Пусть р, означает гидростатичесное давление в точке, лежащей на высоте а над воаонепроницаемым основанием, а а=Но(х, д, г) — уравнение свободной поверхности грунтовых вод; югда для гидрсстатического давления получаем следующее выражение: ръ — до=ар (Но(х, р, () — г), 0<а<Но(х, у, (), т.
е. — +а=Н (х, р, г). й — до йр (ч) Из (3) и (ч) находим для избыточного давления следующее выражение: — = Н (х, У, а, () — Но (х, У, () Р щ йр В силу предположения !) условия задачи нэ (2). (3) и (5) следует: дНо дНо и= — й —, о= — й —, дх ' ду (б) (7) Если грунтовой слой н слой грунтовых нод над водонепроницаемым основанкем простираются «неограннченнге, то краевую задачу для определения движения своболной поверхносщ грунтовых вод можно сформулировать следующим обритом: — — — Н вЂ” + — Н вЂ” ~, оз<х у<+ос, б<(<+ос, (3) дг щ (дх( дх) др~ ду Д' (х, д, б)= р(х, р), — <х, У<+ (9) 3 а м е ч а н и е. Часто от нелинейного уравнения (7) переходят к линейному уравнению дНо / доНо огоНо ( ййо — =оо~ — + — /, и = — о (7') ааменяя множитель Но в круглых скобках, стоящих в правой части уран пения (7), осредненной высотой йо сапй свободной поверхности грунтовых ВОД.
т. е. частицы грунтовых нод,лежащие на одной вертикали, имеют одинаковые горизонтальные с)ооросги. Рассматривая тонную вертикальную призму с основанием ЬхЛу и высотой Но(х, р, г) и используя соотношение (б), уравнение неразрывности можно записать в виде У. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ф 2. Метод разделения переменных 1. 1(рвение задачи, не требующие применения специальных функций а) Однородньм среди 9. Решением краевой задачи ди )д'и д'и д'и1 д< (дхт ду» дхе) ' — а 1 — + — + — 1, О<х<1,, О<У<1,, О«,1,, О<1<+,о, (1) и! =о=и!»=ц "!У=о-и(а-г,=и(,=о=и(» ..=О, О<1<+аз, <2) и(се=((х У, х), О<<<<И О<У<<а, (3) является: и(х, у, г, 1) = т»' ен Ыт — ОЧР~ —,+ — + Аы, хс ' ' а)п — мп — нп — (о) ° м х г, г г Ам аь н = — ) ~$ ~ дц ~ ) Я.
ц, ~) з<п — в<п — Нп — ~ц. (б) б р р р йпх <г<з<з 3 3 5 ' * <г <в 1» о о о 1О. «(», у, »„1)= + — — ",' «З»+<И+И +о*+<те+<Н)Г =Н' ~ „( и. (22+ 1) (2гн+ 1) (2и-1-1) »,йи о (2»+1) их . (2ю+ И пу (2а+1) пг В центре куба е«Р <т»+ ~Р Ч (-, —, —, 1)-и,(~) ~~) ( — 1)»е »=о При всех 1, удовлетеоряквцих неравенству 1» 1)1* — — (п Зв, битое в где е меяыне наименьшего из чисел 1 н —, в центре куба заведомо будет иметь место регулярный режим с относительной точностью в. ОТВЕТЫ. ХКАЗАИИЯ И РЕШЕНИЯ У к аз анне. Обгоначим первый член ряда, стоящего в фигурной скобке равенства (2), через а, а сумму всех остальных его членов через б.
При всех 1, удовлетворяющих неравенству (3), будет '): ! — !<е; в так как с < 1 и е < —, то при зт~м будет: 9' !"" ' !=3!-'!('+!'!+ -!. ! 1"!=!<а ди, ~дЪ дти дтн1 -=аз( — -+ — + — 1, 0<х<1„0<у<1з, дг (дхз ду' дгз) ' 0 < г < 1з, О <1 <+со, (() ('-"-"") !.-.=Ф+"-) — -(й-") ! =Г-"+" ) =1---Ь~~ =~ +Ь 1 =О, 0<1<+ . (2) дг г е ~дг /г г и (х, у, г, 0) =) (х, у, г), 0 < х < 1,, О < у < 1з, О < з < 1з, (3) является: + СО м(х, у, г, 1)= ~'., 'Аа,м,зз '" "'Ха(х)ум(у)Яа(г), (4) а, м з ! где П гг 8Цгг,'„ч',", ~ ) ) ((х, у, г) Хз (х) Ум(у) Яз(г) даду да (5) ~1 (Ц+Ь~)+Зз) ° (1 (р'+Ьз)+2Ь) (1 (тз+Ьз)-)-23) ' Аз, ...; )гг, рз, ...; еы ъз, ...
являются соответственно положительнымн корнями уравнений 1 Т)г Ь'1 с(311.= — — — — 1 с(ц(зр — ( — — — 1> с(31зт= — 1 — 1 (О) 2)й з)' Ь Ь Ха [я)=ам зал+ — з)п ььт, Ум (У) созрягУ+ з)п рмуг )га мт Ь Я„(г) соз тзг+ — яп чаг. и (7) «) Подробнее см. Тл, 1П, й 2, ответ к задаче ха. т. е. в нентре куба будет иметь место регулярный режим с относительной точностью а. 11. Ращением краевой задачи и, УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО типА В частности, если 1(х, у, х)=ба = — сопя(, то + — а* г тй (т,„, ~ — *(~Ег+вс ~ ргч чэа+г) и а.
аг, « =о Х Лэа„(х)уэ ..(р)2аа.,(х) (в) р, (;+, +д )+2А1.11, (М„„+, +да)+2АН(,(т).+1+в)+20 1!)г А) а'к аэ ание. Корни АА Уравнения С101гА= — 1 . ° — — ) УДовлетвоРяют 2 (0 А) неравенствам 0()ч1, (и, п()а(г (2п, 2п()га1, (Зн, ..., т. е. перавенАг(г н огнам 0( — — ( —, 2 2' и )чг(г )ч(, Зп — ( — 1(й, и( — (— 2 2 ' 2 2'' 19) 11 2ААА Аа 10 ДА1г (10) В силу (9) 1д — ) 0 при й нечетном и меньше нуля прн )) четном. Но ДА1г 2 212— 2 10 0= 1 — 19а— () 2 поэтому нэ (1О) следует, что й — при й нечетном, 10АА г = — — при Ф четном.
6 Следовательно, 1 ! 11. Д Да (х) г)х= — 1(вш АА1, + — (1 — соэ АА1г) ~ = 1 . ДА(, Щ1 Ь Да(т) = — 2 мп — ' сгв — ' ~ 1+ — 10 — ' Ха 2 2~ Ц да(1 2 (а 2 6 д 0 при а н А» 1+1, да(г ~ )га 2 1 11 — при д нечетном, 2 га 0 Аналогично вычнслЯютсв )г У (Р) ПР,~ да(а)г(». Ь 1 гх 6) Подставляя Аа в ураВНЕниЕ с10(гх= — 1 — — — ), ПЕРЕПИШЕМ РЕЗУЛЬтатвандв 2 10 А)' и, и лвнпнип иа лволичпакого типа Указание. См. укааанне к аадаче П.
ГЗ 14, а) !кр — — ап 1ГГ кр= ~/ б) лавинный процесс размножения частиц будет иметь место при любых размерак куба; о ига 1 (' ьг() оййгЗ ) в) 1„р= — агсс(й — ( — — — ), если ()."к Заэйэ; лавинный про- 0 Майра уй )' цесс будет прн любык размерак, если ()~Зазйэ; () — коэффициент размножения, входящий в уравнение ди (дэи дэп дэп 1 д( ! дхэ д(~ даэ ) -= ( — + — + — )+(). ге (. 1)=',)' л„ л=! 2 э . лпг А„= — дч г)'(г) з!П вЂ” Иг. "— г.
3 ге е Указание. Уравнение теплопроводиосги в силу радиальной симметрии записывается в виде до Фо д! дгэ ' — =аэ —, 0(г(гз, О~!~+оп, о(0, Г)=0, о(ге, !)=О, 0~1(+оз, е(г, 0)=к
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
