Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Рен!еннем краевой палачи ~-"- — А! ~ =О„~-"-+А!и~ =О, — "~ =О. д". ~ =О, 0(! С+со, (2) (з) является! п,а п, Ф=-О где Ла!и! †положительн корни уравнения =о (з) ( Р (г, !р) Е„(Л!и !г) оса — Р с дп д!р и 4ЛА!и!" н и (4» и! =- ! п. Ф =- а пп Ви !и! КИап г'! л!лл ~ ~ ~ .!!.. и. сп ( о а п4а. пап п.и! '(,'у' (И!и!М-' (з) е Л!и! !' чь О. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧВСКОГО ТИПА ди,,)дпи ! ди ! дпи'( д! (дсп с д! са д!р!) ' =оа( —. +- + ---)!, г!.=с (г„О~,р ~,р ()) и. и!! 0=!!с (р) с (с(са О "С!рС4а, 'рп 'р Чп — Лап!Л!„'н(Лап!с,) — лаз!„(Ла"!с,)~ У„,(Л<„',), (З ) ! '"'.—:-. "' а.
ап еп (Л!Ап!са)+Баl,„(ЛА"!г,) Л'и'; А!„'„(Ла!и'г,)+!!,!У„(Л'-"!г,) аь е Ю» й!се+ Ла(п!г! —,~Зп(Л!и!с ) — ~(р!Яс!! ( Л!и!*,~ "!' ~За(Л!и! ) + ш + сю, (и!п!' и!ппй) !и! и!на Х(ЛА. п.псов!р+с'а.папа!и пср) а!и — ()) ОТВЕТИ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ сде )сй"! — положительные корни уравнения (3) (2) (3) (7) (О) г„(р~"!)= о; 2 при л=О, е„ 1 прн лте 0, 4 ~ г!(г, ф, т)Ул~ — ~яплфрш — дгдфдр га пгрт( р' ~ 1л!)) 43. Решением краевой Балечн ди ~дри ! ди ! Фи дри ~ д( (дг' г дг гт дфт дгт ]' — атс( — -1- — — -(- — — -(- — ~, 0<г <гр, 0<ф<2п, 0<! «1, 0 < ! <+со, (1) [ — — Ь,и)! О„[ — + йри1 =О, [ — + Лри1 =О, 0 <! <+со, и(г„р )(г, ф, г), 0<с<ге, О<ф«2л, О<с<1, является: +.ю 4"и — аг — +р' !! т-!л!г г, ! Х (Аь, .
л с!и лф+ Вр, яь л ап лф) ып (те,т+ гм), !4) где рр(л! — положительные корни уравнения рр(л! („(Р)л!)+г Ь„г„~рь!л')=О, р †положительн корни уравнения тр — йтй, Б„,=агс10 — > ттж г,тл ! (л! ° /рр г! 4 г) (г. ф Б) гл(( —. ! сорлф Б(п (тмс+г,„) дгдфдс ! 2 при л=О, е„ ( 1 прн л рь О. г,тп ! !л! !Иь г(. ! ( ~ ~г.г, )ю ( — 1е ч ( ~чгъи ~ а 479 Ш УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 49, Решением краевой задачи ди (дзи 2 ди 1 д !, ди) 1 дзи( — = аа ( — + — — + —.
— ( в!и 6 — 7! + —. 6( ((дгз г дг г'ашб дб(1 дбр! гвин«бд«р4' и !« =«,= О, и(( ~-)(г. 6. «р) (2) янааз(ся (л! . ( г а ~аи„, ) (л! 2 ~" l а+в и (г, 6. р, () У ,г' а ' ' ' 1'„, в (с 6) Х а«. а=ов=о Х (А аз „, * соз А«р+Вш, „, з мп А«р), (4) Где Р("! — Боиожнтельнме корин уравнения , (Р(„"!)= О, а+в Авил,з г«л2и 3 (а) ) (Р г'( р(г, 6, «р) г Х ( — (аш ВР„.А(созб)сааб(р«(г«(6«йр „+(~ га 2 в "( + "г' Г (лши в (2л-(-1)(л — 6)! ~ „+ ( ~~ а«7~ 2 2щрибо, 1 нри дчаО, "=( лго (и+к)! ! 1' г (л!1)2 (2л+ 1) (л — А!) ~ 60. Решением краевой задачи ди (д'и 2 ди 1 д Г. ди! 1 дги) а*(! — + — — + —.
— ~мп  — 71+ (дгз г дг ге ил 6 до ~ дб~ гав(па Вд«рз) ' + (2) и((-в=)(г«В««р) г«л2к з (о] 11«а а,а 2 г«(г, 6, «р) гз г ! — (мибР,З(с«мб)ми А«рдгдбд«р л+' .О 2 ° (7) ОТВЕТ)Л УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ явлытся: где р'л) — положительные корни уравнения р)л) г' ( ,)л))+ ( 1, 1 г ( )л)) 0 л -)-— 2 2г а+в 2 я гл з )л) о 6 рт г ~ г(г, 6, )р! г У 1 — ~ап6Рл.з(совз)совйр))гг)ВФр л+- , (е) гэ О 4т.л.з лге (л + 6)1 (2л+1) (л — 6)! ~ (газ+я) (~вя л 1)1 )2 г !~)ъ 2 прн 6=0, ) 1 при А ля 03 .,(=,.
р)л)г) ) ип ВРл,в(совВ) ип йрс)г)(6)зр (6) и 2я з ~ ) Г(г, 6, <р) гвХ О О в ')г((л+2)! ( (гвз+л)(гв)) — и — 1)1 2 Г )л)т (р ) ~ л+— 2 ТХ)")г) + " лвз)л)') л ) ) т л' 61. н(г, 6, )р, 1)= У 5 е 2 Рл,з(созз)х л ) л «=о я=о х «Ат, „, з соз йр+ Вт, „, з з(п йр), (() где г (), ) у (А)л)г ) Л ().1 )г)- А) (),)л)г ) у 2 2 2 2 2 (2) Х~") — положительные корни уравнения Х, СА)")г,)=0, ° + 2 (' р)л)гт -ь л ~лят ~ )л) 2 ))~ гв l и (г 6 )р 1) — '~ Р~ е ) гл / Рл, з (сов 6) х 1~к т.
о= о Л=-О х(А,тзссв66)+нт,л„» зй йр), (4) У. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА г» л2л а А ли А ) )и ..л ',(яи г..л ~. щчслгг «+- а (4) ( 2 прн А=О, прн А-. О, гг л2л з в '( ('(г, 6, гр) г 2 2 (л(",(г) мп 6Р„,А(сот 6! мп)ард ((6 д(р (6) ,(2 , (Л(л(, ) 22 (Л(л>г ) 4л (л+й)! " + 2 " + г (2л+ ! ) (л ц( пяЛ(л! , (Л'л'г ) 52. Решением краевой аадачн ди ((еи 2 ди ! д (' . ди'! ! дал! — =и~( —,+ — - — + я д 6(мп — )+ а~, д(,(, г,л.г(га, (1) ди 1 (ди — — йти) О, ((- — + Лги~ =О, 0~((+Ос> (2) дг г= и(г а=!(г, 6, <р), г,(г(гм является: 2 ! (Л(" г) ят — оал(л!'( л+ -2 и (г, 6,,р, !)= ~г 7 е '" — Р , (с 6) )с й.й а. «=аа=а г((лаял,а с(яйр+Вакл, А мп й(р», [!') .2 (Л(")г)- л+— л+-- ш г (2') 16 Б. М. Вудая л др. (2 4л (л+ А)! "( +!)( — А)! 'Л""!' ()(ч(г ) Аг ()(л!г ) 2 482 ОПЗЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ хв л вл 3 ~ ~ ) (г, 6, ~р) с 2 2, (А~"'г) ип 6Р„,А (совб) совйрит д66р х+— .4льл,в 2л (и+6)1 С 2 оо "=( 2 при 6=В, 1 при АльВ, ххл вл ) '1 1 ) (г, 6, ~р) 222, ~К~"'т) яп 6Р„, в(совр) Ип Алис Еббр х+- в„„„- (4) 2п (л+Й)1 [' 2 +1-( 61 сХ в (Х~л г)лс хв ~ савв , (А("1 ) (- + х (л+ — ) ~"+И'1 х[хв'ю', (х'",)х(ь — Д~„~ (хс',,))( 2 гле Х("1 †положительн корни уравнении (6) ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ г, с глпа «Р йг ~ дв( ~ !' (г, гг, а) Аввллр (г) ып шР мп в(а о о влвцв (О) п( !" ! «)вйвмвлр (г) дг о ср, при 0<г<г„ р= св(вг пРн г, < г < г!.
Функции )вв „„(г) и лв л (г) при рааличнык р! отрезке О < г < г, с весом гр, 54. Решением краевой задачи (1О) и р, ортогональны ва ди (дги 1 ди) — =ае ! — + — - — т, г, <г<гв, О<!<+со, д! (дгт г дг) ' д(l ди 1 1 ди! пг',с*р* — =2пгвл — ~, (г(!)=и~, — ~ =О, 0<!<-(-со, д( дв (г=гв' ~г=г,' дг ~г=-; и (г, О) =! (г), г, < г < ге, (2) -лаги! и (г, Г) = вг ' А не " 2» (Х„г), (4) л=! где 2а () „г) = Х; ()в»в«а) )уа ()вввг) — А)~ ()вввга) Хо ()в„г), (5) )вл — иорни трансцендентного уравнения авг с'р* 2»(?~лгт) — Хл ~~„ 2»()лг!) (5) гв ааг',с*р* г) (г) 2» ()влг) дг — ') ) (гв) 2» (Хлг!) 25 А л г„ 1 аз«во»р* г ( е (Хлг))ад« 2Х (Ле ()"лг!)) г, 55.
Решение краевой задачи ди !даи 1 ди! д! !дгз г дг! * — =аа! — -(- — -), «,<г<«„О<(<+аз, пг,-с»р» — =2пг~)в — ~, (г(Г)=и~, — ~ = — Йи 1 оу дг~, „~, „° дг~,. „ о<(<+ (2) (5) и(г. О)=1(г), гв<г <га '1 в и. (и!) Н (27) а ЗадаЧЕ 57. где А — теплопроводность материала трубы, с* и р» †удельн теплоемкость и плотность массы жидкости, является: 485 у уРАВнениЯ ПАРАБОЛИческОГО тл!пА получается из решения предыдущей задачи. если положить 2« (Лаг]= Р Аl«(Лого]+Ауо (Лого)] до (Лог)— — (ЛА]у«(Лого)+Алто (Лого)) Х«(Лог). (4] 66. для определении скорости и(г, 1) частиц жидкости «) и угловой ско.
рости ы(1) цнлкндра получаем краевую задачу ди ]дои 1 ди и! д1 (дго г дг го ! — =т! —, +-- — — --Г, г,<г <г„О<1<+От ! (1) ды Гди и] и] г ы(1), и' =О. К -- =А4+2лг«орч(! — —— г г, л 1« =«« ' «(1 (дг г )г=г,' (3) и(г, 0)=0„го <г < г Исключан ш(1] нз граничных условий (2), получим; 1 ди! Гди и1 =А(+~нг1рт( ~, и]г =О. 0<1<+со. (2) г, дг ]г=г« Гдг г (»вЂ” и(г, 1)=и(г, 1)+Р (г), (6) то для и(г, 1) получаем краевую аадачу ди ~дои ! ди и1 = (--+-- - — -1,;«.., 0«<+, д( (дго г дг го!' (6) ди( Гди и7 К вЂ” ~ =2лг"',рч ~ — — — ~, и , '=О, О <1<+со, (7) д1 (г г, ' (дг г )г=г,' и (г, 0) = — У (г), г < г < го.
(8) Решив краевую задачу (6), (7), (8) и определив с помощью (6) и(г, 1]. нв граничного условия и]г, =й ю(1) найдем также ы(1). Решение краевой задачи (6), (7), (8) о*ожет быть выполнено аналогично тому„как решалзсь предыдущая задача. Частные решении уравнеяия (6), удовлстворикицие граничным условиям (7), ищем в виде — «АА м ГГА(г, 1)=е )(ь(г). Для )(А(г) получаем уравнение бой«1 «(Г( 1, 1 ] — + — — +~Л; — — ) Г(-О, «Гго г дг ( А го! )«о (г) =2« (Лог); где 2« (з) — общее решение уравнения цилиндрических функ- ций первого порядка. в котором неопределенные констенты выбраны так, чтобы граничное условие 1(о(го)=0 выоолнялссь при любых Ль.
2 (Лаг)=А)л(дага) 7«(Льг) — Гл(Ляг ) АГ (Лаг) (11) Требуя выполнения первого нз граничных условий (7), получим уравнение для *) и(г, 1)=и, (г, 1) (см. решение задачи 7). *) У(г) — предел, к которому стремится скорость частиц жидкости при 1 "ь+оз. (О) Ищем стационарное частное решение уравнения (1) р=]г(г), (4) удовлетворяющее неоднородным граничным условинм (2')*«). Если зателл по- ложить ОТВЕТЫ. ИИАЭАИИЯ И РЕШЕНИЯ определения собственных значений — М((г, (ЛИ,) =2,р ~~Л,гг (Л,М-— г,(Л, д1 С помощью соотношения (14) аадачи 34 и равенства (12) находим соотношение, выражакхцее обобщенную ортогоиальность собственных функций Е, (Ляг), гйт (Лаг) Ет (Л„г) Дг+ — Хг (Лаг,) Ет (Л«гт) = О «) (13) 2пггрт г« прн йчьп (12) +««вг« и (г 1) ~'.~ п«г г (Л«г)~ (14) «=! (4) в цилиндрических координатах 1 дН дН /4по в д( — — « — — 2=~ — + — — 1 Е йр Дг ( с с д(/ дН, ДН«74по в а) г «+ Е д а.
( с с д( ) в' 1Д(Н) 1дН, (4па е д'( дг гдф (с сат/ 1дЕ дЕ, рдН, г д~р дг с дг ' дЕ, ДЕ«Р аНа дх дг с а( ' 1 д(гЕ,) 1дЕ рдН« г 1 Дм= с Д(' «) Си. (21) и (27) в задаче бУ. (6) (6') (У) (7') Г гР (г) 2, (Л„г) Дг+ Р (г,) 2, (Л„г,) )( 2пг,рт А» (16) г (Д,(Л«Г))~ Дг+ — [йд(Л«гт))~ 2пг,рт 37. Решение. Как и в вадаче 33, получаем: дН И~Н 1 дН1 са ат о '(ага+ г дг) ° г,(г(г«, 0~1~+со, оа= — ° (1) Нрч О) О, гт(г~г«, (2) Н (г , Г) = 11«, О .м: С 'ц + с о, (3) где Н вЂ” составляющая магнитного поля по осн г, которая совпадает с осью цилиндра (другие составляющие вектора напряженности магнитного поля равны нулю). Найдем граничное условие прн г=г,.
Запишем уравнения Максвелла го1 Н= — Е -(- —— йцо аЕ с с д(' го! Е= — — —; р ДН с д(' (б) и, ннавннния паранолнчкокого типа Тзк как мы пРенебРегаем токами смещениЯ и так как Н =Не О (см. Решение задачи 33), то из (6') получим'- дН 4по д (8) Из (8) и (9) получаем, наконец, искомое граничное условие т. е дН! р дН! — = — ае — — !, О С(~+со, д( [г=г, г, дг [г=г,' Чтобы освободиться от неодноролностн в граничном условии (3), ищем решение краевой задачи (1), (2), (3). (3') в виде Н[г, !)=Не+и~[г, !).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
