Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 76
Текст из файла (страница 76)
[)О) ,[[ля и(г. !) получаем краевую задачу ди !гдеи ! ди1 д( [дге г дг! ' .=а4 +- 1, г,(г.Сг„б(!(+сю, и[г, О)= — Не, г, е,г ге, и О „!) = — О, О с ! .с+ со, д) !г=„г1 дг !»=, Частные решения уравнении (11), удовлетверякхцие граничным ищем в виде (11) (12) (13) (13') условиям [13), — а ьье Еуз(г, Г)=е ' яь(г). Подставляя (14) в (1!). получим: дейв 1 Щ; — + — .
— +)[е)(„= О. дгз г дг (14) Следовательно Не (г) = 2е Р ьг) [15') где Ее [а)=АНе(а)+дуе (а) — общее решение уравнения цилиш[рических функПяй нулевого порядка. Выберем константы А и В так, чтобы условие (13) для Хе[лег) выполаялось при любых значениях ае! например, положим 2е [)еаг) = Не [)еьге) !е (лег) ее ()"зйе) Не [) аг). ( 16) Подставляя (14) в (13'), найдем: Щ,(г), г, дг г=г, Р = — "ьее — Ре (г) (17! !г =ге или г~ 2е Йьге) = — д» де ~лагг) и [Рд) Интегрируя (Б) по поперечному сечению внутренней полости, применяя прк ртом формулу Стокса и используя условие, гласящее, что ваоду в полости Н равно значению Н на внутренней поверхности трубы.
получим: ге дНе! 2Е, [ [2) с дг ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ (Ла — Л'„') ~ г//ь (г') Ра (г) г/г = )г ~//ь (г) " — //и (г) !! . (19) (г) //и (г) !!г=гг !/г В силу граничного условия (13) и (17) получаем: гг гт /! (20) откуда при з ть /! накосим: гзг г//ь (г) //„(г) !/г — -А //ь (г!) Яи (г!) = О.
И г~ (21) Таким образом функции //а(г) и //и(г) сбсбщеяно ортогональны (соотнощение (21) являетсн выражением обобщенной ортогональности). рещение краевой задачи (1!), (12), (13) ищем в виде суммы ряда и(г, /)= ~~ Аье ла(г), е=! (22) и(г, /) удовлетворяет уравнению (11) (если ряд сходится достаточно хоро!по) и граничным условиям !!3), (!3'). Потребуем выполнения начальных условий, предположив сначала для общности, но и(г, О)=/(г/, Полагая в (22) /=О, получим: + СО / (г) = ~', А/,//ь (г); (23) а=! прн г=г! + СО )(г!),)'~ Аь//ь(г!). (24) Умножим (23) на гРи (г) и проинтегрируем по г от г, до гз! гг ~ г/(г) Ра (г) г/г ~ ', А» ~ г//а (г) //з (г) !/г. г а=! г, (25) гз Умножим (24) (на -" — //и (г!): р + О мтт г", †' / (г!) )/и (г!) = ч Аа - !- //з (г1) Аз (гг).
а = ! Таково уравнение, из которого находятся собстиенные значения Л,, /.г, Лз, ... краевой задачи. Иа уравнения (15) и нз уравнении. которое получается заме- ной в (!5) /г на л, получим, умножал их соответственно на //з(г) и на г/а(г), вычигая результаты и интегрйруя: Ц УРАЕНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Складывая (25) и (26), получим в силу (21) гг ( гг гу(г) К. (г) д — — ' ')(гт) К. (г,)=А„~ Р! ГР'(г) дг —" а, (г )1. (2у) р гз г, Следовательно, гг гл г! (г) Ал» г') дг — ' ( (гт) )»л (гт) А и г)Ьс (г) дг — ' г»л (гт) 3 гл !$ г, гг г» и, ~' ~л) и, 2 гз г гК»! г)»й(г)дг= —, (! ! ' " 2з().„Г) ц л р l (29) Подставляя а числитель (23) )(г)= — )ге и используя вронскнан цнлнндрн- ческнк функций, получим для указанного числителя значение »У (~ )з ! г' )Ул()»лг) (30) В силу (29) и (30) равенство (23) принимает внд —, + — ) 2л (Алгд) — —, и) р г;"1»2 )й р и)» (31) и Ол 2 г,' 2 3) л — — — ~ — +1+ — "" ) 3; [длг1) и"Хйз 2» р рз где 2е()'игт)=де()игз) ге(тлгт1 ге(тлгз) А»е (тлгт).
(32) 38. Решением краевой задача ди 11 д (' дл1 1 д Г. ди 1 дзи ср, -=А,'-,— ~гз 1+ . 'з»пб д! ' ! г' дг» дг) г'мп8 д8 '» де) гзз!Езй дйл )' 0 <г< ге, (1) гл < г:» гт, ( 1') и(гл — О. 8, ~р, г)=и(ге+О, 8, Яь г), ) 0<8<ц, О=-~р<2п, (2) йзнг(ге О. 8 ~р»)=данг(ге+О. 8* »р !) ) 0<1<+со, (2) « (г,, 8, р, !) =О, (2") и (г, 8, р, О) =) (г„ 8, ф) Р) С помощью равенства (10) задачн 34, вронскнана цнлнндрнческнк функций и граннчвого условия (13) получаем: ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ является: и(г, в, (р, () +го +со )( „(г) Р~~)(с(пб)е ~"и (А»рсозпир+В ррз(п лир), -Х е, р=о1»=о где собственные значения )(и»р н собственные функции )(,„»р(г) находятся аналогично таму, как это делалось в задачах 53 н 24. 5 3. Метод ннтегрлльных представлений 1. Применение интеграла Фурье 69. Решением краевой задачи иг азбыг, — са < х, У, г «+ со, 0 < ( <+со, и (( е '(х, р, г), — со<х, у, г«+со, дз дз где Ьз — + — + — являетсш дхз дре дгз ' (1) (2) Если ) ие зависит ат г, то + со (» — 9'+(г — цн и(х.
и. й= Г з ~ ~)6, ц)е "' ~%ба. (2а ) "и()' (3') Указа н и е. Образом Фурье произвольной») функции Р(х, у. г), определенной прн — со<х, р, г«+со, называется: Р(Х, р, т)= —, Ц~ Р(й, т), ~)е((зй+ич+т»1(фдт)с$. (4) (2. )*г* .1 Переход от Р к Р по фориуле (4) нааывается преобразованием Фурье с ядром е' (аз+и" +чь), Переход от образа Р к оригиналу Р осуществляется по формуле Р( ) 1 ( 1 1 Р()( е П( +ир+ч»1 (2п)'А д (б) умножая обе части равенств (1) н (2) иа е((Ь'~по~~»1 и интегрируя па $, т), (, ат — со до + со„получим обыкновенное днффереипиальное уравненпе и начальное условие для образа Фурье я решения и краевой аадачи (1), (2), Находя и и применяя обратное преобразование Фурье, получим и.
р) Мы не останавливаемся па ограничениях на Р(х, д, г). прн которых занедомо существует Р(Х. р, т) н имеет место формула обращения (5), отсылая по этому поводу к специальной литературе. + ОЭ (» — П*+ (р — Ч)'+ Н вЂ” Р И и(х. у, г, 1)= Ц ~ р(й, т(, й)е (о*г Щдт)((Ь. (3) (2и Ргп()з 491 и. УРАВНЕНИЯ ПАРАВОЛИЧЕСКОГО ТИПА Е случае. когда 1 не зависит от г, краевая з»щача (1), (2) превращается в краевую задачу нг=а»Лзн — оо<х, у<+со, О<1<+ось «!с, =!(х.
0), — <х. р<+ л (1') (2') где Г ()», р)= — ~ г (0. ) е' (Ь4+'"'! 43 бт». 2п ! (4') При атом формула обращения имеет вид ! Г 2п 60. Решением краевой задачи и»=аабзи+Ц(Х, Р, г, 1), — Со<Х, У, а<+СО, О<1<+па, (!) п(т е.з, — оп <к, р, г<+ОЗ (2) является: » +ш (х-!»ь+Ш вЂ” Н»ь+(а — (Р ~~~ е аа 1» т» 2(0, гн Ь,т)»Цат)»(Ь. (3) Если и(х, у, г. 1) не аавнсит от 1, т. е. 0 2(х, р, г), то ныражение (3) для решения можно преобразовать к виду и(х,у, г,т) — Ц~ ' Гв . (1 — Ф( ))айд»)»(Ь, (4) Где Ф(а) г бы, а г ) (х — 3)з+(у — т»)з+(г — ь)з. Еслии(х, р,г,т) ие зависит от г, то .$;. исай.†,я'.
Ук аз а н не. При 2=и(х, р, г) выражение (3) преобразуетсн в (4) путем г р= у— Дня решения задачи (1') и (2') нужно применить преобразование Фурье для функции двух переменных ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ +СО +СО + С 1 ЕЕ «(х, р, а, ()= . 1 рс —./)З вЂ” сΠ— сс О Х е (» з)а+(у ава+(2 с)а (х — 1)»+[у — ава+ (2.(- )а 1 2 3ж.
(1) Если /(х, у, 2) ие зависит от у, то и(х, 2, ()= +сс +»О ~ (х — а) +(2 — С)а (х — 1)*+[»+С)а 1 4« (Ч вЂ” со О Указ а н ие. Применить преобразование Фурье с ядром — а/ —,— Е( (аа+)'Ч) ПП УО 2 'тс/а в полупространстве — сю<$, т)с+со, 0<, <+со. Если же /не зависит от р, то нужно применить преобразование Фурье с ядром ! — епд пп ч~ при — со ( ф (+ со.
0 с ь (+ со. У к а а а н не. См. также решение задачи б9 гл, ПЕ 62. и(х, р, г, /)= (» — 1)а+ (у — НР+ 2' Если /(х, «, () ие зависит от р, то ( + »О (» — а)а+ »а 4 Указание. Применить преобразсеанне Фурье, предлагаемое в указа.- нии к предыдущей задаче. +Ос +со +со 1 .
° . », *. >- - [ О 1» ~ »2. а. О (2« у/аи)з ) Хе (х С) + (У »за+[2 Ь)~ И Ы +(У Ч)а+ (2+1)а 1 +е 42( ~с(д, Ук а в а н н е. Применить преобразование Фурье с ядром 1 2(1»ч+ин) (ятг 2»/аа[ /» в полупростраистве — со(фа ц(+оз, 0(~«с+ось у. врлвнннин нлрлволичнского типа Если ( не зависит от у, то Г (х — 4)в+ гк — ()в (х — 4)*+ (2+ ()в и(Х, 2, ()= 1($ С) (Е 4аи +Е ваи 4лоЧ [х — 4) в+ (2+ 44- м)в уу ~ „, [ав( Ъ Указан ие.
Воспользоваться преобразованием Фурье с ядром ([л4+кн) ™т( +Лап( [ь та+62 в полупростраистве — со~$, в) (+со, О(~~+со. Если ( не зависит от у, то нужно воспользоваться преобразсванием Фурье с ядром 1 „4 тсозтс+й мптЬ тз+йз при — со .с $ (+ сс, О ( [, (+ оэ. См. таквке решение залачи 65 гл. И1. +ав + во +» Л Г Лт ( ° У ° ()=,—, ( ., ~ 44 ~ лп ~ (+И(4, ),Вх р -)з 1 )вы (х $)в ( (Е П)в.( [2.( Фв хе Хач ((ь.
Если (' не зависит от у, то [ +ав +ав й Г ([т г à — ь( и(х, 2, ()= —, [ — ~ ((4 (2+Ц)1($, т)е 4па' ) (г — т)2 о — ва (х — 4)в+ [2 + (,) в »ав( У к а а а н и е. Воспользоваться преобразованием Фурье, предложенным в прельшушвй авлаче. 64. +ва (х — 4) +(Š— Ч)в+2» ук а Хан не Применить преобразование Фурье, прелложенное в указании к прелылувпей залаче.
+~ + в [" (" — 4)*+ [2 — вп [ — () '6 м(х у ' й= — '1 ду ~ Л,) ~ (е (~р'ы)' ~ (х — $)*+(Š— Ч)»+ [2+4)в +е 4»Ч -(- »а, (х — $)в+ (х — вз'-(- [2+ С+ и)» б ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 67. ( +оо +оо 1 1; йт — а ] ° (2о)Г„„— )а ~~ (г ) А (и-И'+ (г — ЧР+ (» -(Я (и-И*+(и — ЧИ 4- «+0'] Х е — е ои <4 — П )ас л(Р 68. и(х, у, г, 1) 41",~4(т)~г ($, (1, С)б((х, у, г, $, т), С, С](($, 1 1, 2, 3, причем в случае а) под ннтегралом стоит б(, в случае О) — бм в случае в) — бл, где б, (х, у, г, С, (1, (, 1) Ря -(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
