Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 78
Текст из файла (страница 78)
К. У, г, ) — т)с(тс(Ч, В) и(Х, У, г, С) ~ а()) 7($ Ч. Ь)ба(Х, У, г, $, 4), Ь ()СЦС(Ч+ С +со +)сай 1 с(т )с 1 Фа. Ч, т) 63(к, у, г, Е, Ч, О, ( — т) щ с(Ч+ С +со +~ С(т ~ С(Ь ) ) Г(а. Ч. Г„т) ба (Х, У, г, Е, 4), Ь. С вЂ” т) 4$ аЧ. Π— о» вз. У к а а а н и е. Воспольсоаатьса методом, предлоскенньсм в укааании к валаче 79.. Ва. а) 6(х, у. г, е, Ч, ь, ()- (Х- Рс+ (а — П)с (2а )ссп()а (х-В*+Си-а)с Сои (яа ф'яг)а +со осло — е ' а(п — * а(ив ('С ( ( ° ж уудвнвнин пауаволичаского тина б) 6 (х.
у, г, ~, »1. (, Е) = +»' 1 (» — (+гл)Н (»+2+2/И)»; (2а )' н() (» — 2)» + (у — н)» — + 7 е 1 с(м — сов —, (2„У;() )~2 .?, ( ( ~ ° а=о в) 6 (х, у, г, Ц. »), Ь, 1) = — — + ~ (* — (+2»1> (»+2+2»1>»~ сх — $) + (у — н>» Р ( — 1)" е %) (ам — е (а»1 (»2а 'т~п()а (» — Ф>» + га — н)» л=а (» — $>»+ (у — н>» Фа»1 > ' -ажл» е а г) 6(х. у. г, $, »).ь», ()= — )а 2 ~ р,» ) ь» )(1) 2)> >О л=) >((>(л с(м ) ах-)-() е>п >»лх) (>л сов )„Д+ >) а1п ХД), >)» — >)» ))н — положительные корни уравнення с(ц (>.=— 2>О 8о.
1() б»(х. у, г, х', у', г', 1)= (х — му (а 1 + / (х —.»'+2»1»м (х+»" +2»1»)») 1~ У'г —,))а (у — У'+2>Н»)' (у+у'+2А(»!» ) >( Е 4»»1 Е йа( р) ба(х, у, г, х', у', г', Г)= (» — «')» — аа 1 + а» ! (х — х'+2л(!» (»+ »'-> 2л(»)») »а'1 + (а»1 » ( ~2.) „-() (У вЂ” у'+221»)» (у+у'+га(»)»~ Ха а" +е Ук а з а н не.
Воспольтоваться предложсннем„сформулнрованным в ввдаее 79. + «» / (х — »'+2И,)» (».Ь»'.~-2(1 >») ВВ. а) б,= (2а )~ п()а а' 1 а. т, л=- — »о (У вЂ” У'+2м)»)» (У+ У'+2»»1 )*) ! (» — х'.(-2»1лм (х+»' ~-ЪМэ~)) >( е Ь'1 — е (а( 1 '(е ь»м -е ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ б) Оз получается нз О„если всюду в скобках перед е поставить знак плюс У к а з а и и е. См, указание к предыдущей задаче. 87. а) О(г„ср, г, г', ср'. г'. !)= -'-""'"'-- [ "*"( ° -'-" — ') ""*-( ° """-)) 4чч Са С 4аи рг — Сга б) О (г, ср, г, г', ср', г', !) = — — '"" -- (""-(-'--Е) ""-("' -.)) 40М 44Ч ( 444 е — о У к аз ание.
Пусть мгновенный источник находится в точке Рч с ксюр. дннатами (г', ср', г') (рис. 48). Строим последовательно: симметричное отраже. ние Р, точки Ро относительно плоскости !. аатем симметричное отражение Рз Рл4 Рг Р+ Рис. 43. тачки Рз относительно плоскости у!. затем симметричное огра!кепс!а Р, точки Р, относительно плоскости! и т.
д., поведая и случае а) в точках с четными номерами мщювенные источники положительной единичной мощности, а в точках с нечетными номерами — отрипательнай; в случае гке б) ио всех этик точках помещаются мгновенные источники полажительной единичном мощности. ))(ы имеем: ~ АОР-,= — ф', ~ АОР';=ф'+2 — -, ~ АОРТ= — ~ф'+2 — ), ~ АОР,+=ф" ( 4 ', ~ АОР—,= — (ф'+4 — ), ~ АОРгу=ср' ) 6 ~ АОР~.
4= — ~ф'+2( — )) —,"„1. Точки Рзм 4 и Ро симметричны относительно плоскости С); действительно, л АОРзм 4 — 2( — — — ср')=ср' — 2п. Легко вндеггч что при указанном разме. Ч. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА и= — 0(т. т', 1), ср где ( и и 4 4 с + 8т Р'лт называется фуннцией влияния мгновенногсс сферического источника тепла. У к аз а н не. Решаем уравнение ди (дии 2 ди) — =и* 4 — тг+ — - — 1, 0<с«+со, 0<1<-(-со, д) = '(дт: ° дт)' при начальном условии 0 при 0<с< ГЛ и(т.
О)= „при т'<и < «'-1-дт', срчпт'идт' 0 прн т'-1-дт' < и<+сс> (4) а затем в полученном решении переходим к пределу при с(т' — и О. Решение уравнения (3) при начальном условии (4) заменой о(т, 1)=-ти(т, г) сводится к одномерному случаю, причем о(0, 1) =О, тая как и (0„1) — величина ограни- ченная +Г ( 4' — 1)* "+йи) 89. и(т, 1)= ~ Вир(я) ье и — е "и и ) ссг+ 2 ту'Ц о + со (и — 1р (и+ 1)и 1 Г дт Г сьи) (ьс т) 4а' (4 — 'с) 4ои (и — т) 1 иия 2а)'и )с1 — т о ь 90. и = — 6 (т, г'. 1), (1) ср где + со и +и'и б(т, т', 1)= — 1 е и ~ии(Лт)уи(Лт')ЛдЛ= — е 'и" 1 1 1 (2) 2и — 4дд~~ и (2ои( и называется функцией влияния мгновенного цнчиндрического источника тепла.
") Подробнее см. (4!), стр. 186. '*) См. (41), стр. 184. шенин источников в случае а) и б) граничные условия на плоскостях ! и П будут выполнены. Замечание. Метод отрвкений неприменим уже к клину с углом раствора —, где и и гп — натуральные простые числа ). В случае клина сш и с пронавольным углом распкра сри выражения для функций влияния при граничных условиях а) и б) были получены в решении задачи 76 настояшего параграфа (см. также задачу 74).
Если три= —, где тл — натуральное число, то выражение для функций влияния, полученное методом отражений, может быть преобразовано в выражение. полученное в решении аадачн 76**). 88. Помепгая начало сферической системы координат в центр сферы, получим: ОТПЕТМ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ указа н ие. Решаем уравнение да,~дзи ! дн) — =аз1- + — — ), О<г <+, О<(<+ О, (3) орн начальном условии О при О<г<Г, и(г, 0)=,, при г'<г < г'+дг', 6 2пг' дг'ср О при г'+дг' <г <-(-со, (4) + го +оз а(г.
()= ~ ~ ()(Р, г)У4()(Р)(4(йг)))д)4РдР. о о См. также указание к задаче 74. 4 +СО 1г 91. и(г, 0= — е 44*( ! 4)е(4)е (зч ) ( — ~д~+ 2аг(,) ( 2аз(/ о 44'(4 †) г ь) з~4.ч "' - 4( „, )ч. о 92. Функписй влияния для уравнения да д( - - =()()и — эйгад и, является: 6 (». У. г, х', У', г'. () = - . .
е 4О( ! (4 — ч*( — Ы)'+от — «н — «')*+ (з-о,г-г'Р (!) (2 У ()()з где о, о, о — составляющие вектора е по осям х, у, г, а з', у', г' — координаты точки, в которой подействовал источник в момент 1=0. указание. В системе координат, движущейся вместе со средой, уравди пенне диффузии принимает вид -- — 6 Ьи. Записав выРажение для функпии влияния в подвижной системе координат и возвршпаясь к неладен)кной си стеме, получим [1). 93. Для источника с коордннатамн (О, у', г') имеем: (У вЂ” г )г+(2 — е )4 О о 4 — з 6(л, у, г, у', г')=— г Р+(":- )* (з-(гр+(2-~-Ы)4 о О 4 — з 4 — з 94. в) 6(г, у, у', г, г')= — е " +а з затем в полученном решении переходим к пределу при дг'-4-0.
При г=О а(г, () дельно быть ограниченным. Реп)ение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию (4) н ограниченное прн г=О, ищем н виде У, УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА !е — УЧ'+Ге — УР Ог-г,о+(е+а» О О о 4 — х 4 — х в) б(х, р х р' ) 4(»ях 4 О ~ ~ ~ ~ о ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 и ~ ° Π— Е в) 6 (х, р. х. р'* о з'»о+(о х'У О 4 — х е о 4(Гггх (а З ] +Ге+о» О 4 — х +е О И+о'+ер +ГО уй ~е о 95 и(х* р г г) г „»)о+(„Е<,,Н.+(* нПР' г )(), 4О и — т> ( у О)з х) (( т)*го Указание Ишем решение уравнения ди (дои сии дои» вЂ” ио —;+ — + —,)+/(()б(х — м(())б(у — ф(г))б[г — х(Г)).
(!) при начальном условии и(г о-— О, б — символ импульсной дельта-функции. 88 и(,,» о[ф( +~~~~ Ф( — о)~ ) где (Р(г)= — о е ь дб, ргп б (г — г'Р (г+г'Р ) » 6(г, г', 4)= — — -- —:=="- ( е 4'" — е впгг' )Оц»74' (в) Указание. Если воспользоватьсв функцией влияния мгновенного сферического источника, найденной в решении задачи 88, имея в виду подобие тепловой и диффузионной задач, то решение уравнения ди ~дои 2 ди1 д( (дго г дг) ' --=(»1 — +...— — 1, о<., (<+ Ф (з) улавлетворякхцее начальному условию и (г, О» =) (г», О ( г (+ оз, (4) мажет быть представлено в виде +О> и(г, г)= ~ (г') 0(г.
г', Г) 4пг'одг', ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ Н РЕШЕНИЯ Задачу мегино решать также сведением к полуограниченному стержнво с по. мощью замены о (г, !)=в и(г, !), 9Т. а] и(х, у, г, Е)=и(!'ха+у"+(г — г )", Е)+и (!'ха+уз+(г+гв)в, !), б) и (Х, У, г. Е)=и ()' ха+У'+(г — га)а. !) — и(!' хв+Ув+(г+га)в, !), где и(г, !) — решение предыдущей задачи.
„в]гв и(г, Е) = — е вп! ! ~ — ~г' дг'. 20Е ~ 20 ди Ед'и 1 ди] — =О( —,+ — — ], 0<г<оэ, 0<!<+со, (2) д! (диву г дг! ' удовлешоряювпее начальному условию и(г, 0)=)(г], 0<!<+па, можно представить в виде и(г, Е] ~ Е(г')6(г, г', Е]2иг'дг', (4) г*+ г'в 0(г, г', Е] — е еп! Ев( —, 4ЕЕОЕ (20Е ) ' (б) 99. а) и(х„у, !)=и(У(х — х,)'+у', Е)-]-и(У(к+ха!'+у', «), б) и(х„У, !)=и(У(х — ха]в+Уз, Е! — и (Уг(к+ха)в+Уз, Е), где и (г, Е) — решение предыдущей задачи. 100.
Решением краевой аааачи (рис. 49) дН !дан двн], йй — ав ~ — + — Е! а'= —; ") — со < х «+со, О < у, Е <+со дЕ '(дха дуз Е' ш ' Н(х, у, О)=На=сола(, — ао<х<+со, О<у<+со, Ё́— со<Х<0,] н(х, о, !)=~ " о =!<+... ((Н„О <+ )1 (2) является: уг) 2 [ 2 УгЕ Е1 (Нв — Нв] У " — — до чв+е и ~+уз в) См.
решение задачи 8. У к а з а н и е. Если воспользоваться функцией влияния мгновенного пилиндри«еского источника, получеяиой а решении задачи 90, имея в виду подобие тепловой и диффузионной задач. то решение уравнения У. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА У к а з а н и е Построить функцию влияния мгновенного точечного источНика Для поауплоскости Уха О при однородном граничном селении первого рис 49.
рода для уравнения [1), а затем представить решение задачи (1)„(2), (3] с помощью атой функции песочника. 101, для искомого потока 0(1) получаем выражение с — )с~ (гз, 1) с) (1) — — ~ .( — ф (т)+ — ~ Л И Г 1)Гн 1 Гф(1)дат Лт ".) ) .— -~Ь=. О о ук а за н и е. С помощью замены о(г, 1)=пс (г, 1), где и (г, С) — температура пространства, приходим к задаче: до д'о — аз —, гз~г (+со, О (С (+со, дг дгг' о(г, О)=0, гз(г ~+со, о(гз, 1) гзр(1), 0 с (-(-со, гз — ! = — 9(1)+ф(1), 0(1 <+со, где 0(1) — искомая функция. Затем, как в задачах % и 90 9 2 гл. Ш, решая интегральное уравнение Абеля, находим 0(1).
ГЛАВА Ч! ИЧВНЕНИЯ ГИПКРВОЛИЧКСКОГО тИПЛ $1. Физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа; постановка краевых задач 1. За лагрвнжевы координаты г) частицы примем ее декартова| координаты х, у, а в невозмущенном состоянии. Пусть декартовы координаты частицы в возмущенном состоянии равны $ а+ив'(х, у, в, (), Ч у+икь (х, у, а, (), г+и'г'(х, у, г, О. Векюр а )и'х~+уи'г'+Фн"' харакгеризует смещение частипы из невсвмущеинсго состояния х. у.
г. Вектор скорости частицы равен е — (йв'+/й'г'+ййсл )е'м+Ге'г'+де™, г(м г(( где точка сверху означает производную по времени. Потенциал скоростей и потеицивп смешений определяются равенствами йгао У е, йгао Ф и, каждый с точностью до произвольной слагаемой функции времени. Возмущение плотности р и возмущение давления Р определяются, как н раньше "'), Каждая из величин Р Р Р Р П гв ""' омь ( !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
