Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 81
Текст из файла (страница 81)
в в а в о — соз — го+ — о)п — ге о п ге о 3 а меч анне. Выражение для (г(г, г) прн 0 =.У<ге получено в пред. положении, что иет резонанса, т. е. что Х вЂ” не совпадает ни с одним из и собственных значений йв *). 34. Пусть центр сферы лежне на оси Ог в точке хо ) г, ~О, а плоскость з О является граничной для рассматриваемого полупространства. Тогда, обозначая через ()(г.
)) решение предыдушей задачи, получим решение задачи 34 а виде и (х. и, х, Г) = 0 (га, Г)+ (г (го. () пРи ге ) го н г » О, и (х, у, х, т) у (г„ () при 0 <ге <г, -У -> -н*- г. -УоЪд+Ф~:а *) с) разыскании решения в случае резонанса см. задачу 134 ф 3 гл, ц, 33. Лля потенциала скоростей частиц газа вне сферы позучаем выра- жение ок килвниния гипигваличиского типл 35.
Для потеициала скоростей получаем выражение ~ -=.) гю) ,,„( Г и — ге при !<в где вектор м )а га У к аз а иве. Решеияе задачи можяо искать в виде ( — '.") В=3(т г Скорость частиц газа 3(уи) л — у + 3(у и) и — у (иу.) лгэ озг (и — едииичиый вектор е направлеиии г; штрих оэиачает диффереицироваииеу по его аргументу) удовлетворяет грзиичпому условию о,= ги при г=г, откуда лая Г'получаем уравиеиие ул, йаа "'+г у ")+ — т у(')=~у~' () го 36.
Для потенциала скоростей О, вызваииых малым возмушеиием„и для возмушеиия давления р получим выражении 0(х, у)=, О<к<+со, к(За<у- к13а, о,(у — х(йа) с(3 е+ (3 сс $3а " с(й е+ (й а ' У к а э а в и е. Для определеиия;6 иужио воспользоваться соотношением (4) ответа к залаче 1*). 3У.
0 (г, к)= Г хэ ! х — М а+ 1г/ — 13з а — ! г — ~/ — (йза — 1+ — — 13а!п ~~;у х Гкч — )к а — ~/ —. )(и а — 1 Г гу оаг ! и+ т' — 1 — (3 а, — 1+ 3 (3 а (й а 1п т — г~тя — 1 О < к <+со„т с(3 а < — «с(3 а, ч = — ) 1. х )да г ' (па !и и -1- )гчз+ 1 т — 1' ча — 1 р!г=х!аз=уз~а 13 а. 1 т+Р тэ — 1 у та — 1+ — (йа(3 е!п т — г' к — 1 *) Нужно перейти в указанном гсоткошекии к эйлеровым координатам и воспользоваться стациоиаркостью процесса и малосгью воэмущеиий. По повцзу обозначений см. ответ к задаче 7. 524 ОТВЕТЫ, УДАЭАНИЯ И РЕШЕНИЯ и (х, у) — о сов ых.
()з У'~ — М б] В случае сверхзвуковой скорости лооока 1 — Мо (О и (х, у) = — ' мп ы (х — у У М' — 1). (г К'м — ! У к аз а н и е. В зллиптнческом случае решение следует искать в виде и(х. у)=и*(х)ио(у), а в гиперболическом — в виде распространяющихся волн, учитывая, что в гипсрбознческом (сверхзвуковом) случае малые возмущения распространяются вправо от источников возмущения. Граничное условие (хт получается из точ- ного граничного условия (Л)„..-й)"- пренебрежением малых величин высшего порядка. 3 а и е ч а н и е. Сопоставляя решения в зллнптическом и гиперболическом случае, мы видим, что возмущенна„вызванные волнообразной стенкой по мере удаления от нее (роста у), в зллнптнческом случае быстро затухают, а в гийсрболнческом случае сохраняют свою амплитуду.
40. при 0(г(— го — г п(Го гп го — а('1 го го+г Оо'( — +асса)п — ) прн о'( 2 г а й 0 при — (1 (+со, го+г ЧЧ.. 1)= 0 < г < км пр, О<!(' й г — го г + го прн — <1(— й а гн го — а(1 ор(г, 1)= (Го~ — +агсз1п — ) (г г 0 го < г С+ со прн — (! (+ось с+го Указание. См. ответ к задаче 8; решение уравнения (1) с краевыми услониямн (2) и (8) можно искать в виде гх) х (г'(г, х) гор( — 1=г (Ь), ~г/ Лля определения Р нужно воспользоваться соотношением (4) отвага к задаче 1. 39. Для определения потенциала возмущенных скоростей, вмазанных влия- нием стенки, получаем краевую задачу (в лагранжевых координатах) (г (1 — Мо) и „+изя — — О, — оэ<х<+со, 0<у<+со, М= —, (1) где а — скоросп* звука в газе, и„(х, О)=(/высотах, — со(х(-(-со. (2] а) В случае дозвуковой скорости потока 1 — Мо ) 0 уравнение (1) является зллиптическим, уе уРАВнения ГипеРБОлическОГО типа ози /д«и 1 ди) — =а«1 — — + — - -~, ге=к'+рз дР = ~дгз г д4' в виде и(г, г)=е-им) (г); зто дает: и (г, 1) = Асм™ 3з (ДГ) + В Н«о (дг) е гис„д = —, А и  — пРоизвольные Яонстанты *), и,(г, Г)=А« имХ«(аг) — стоЯчаЯ монохроматичесная цилиндрнчесхая волна, ве имеющая особенности при г=О, прн больших г - — ож( (т — — ) и,(г, 1)=А ~~ — еыи., Уд; из(г, Г)=Ва ™Н,'о (дг) — распространяющаяся, «рзсходящаясяь монохроматвчесная цилиндричеснзя волна, имеющая особенность при «=О.
При малых г 21 и,, (г, ()  — - 1и (дг) е 'и', при больших г г (аг — «х — — ) /2е из(г, 1) ~В 1гг р' )ге, Рис. 52. Интегрируя плоскую монохроматнчесную волну к со«в+ а «1п В) по углу 6 от О до и, получим: й,(Г, 1)=Е-Гис ~ с~а«он(6 Е)д6=2ПЕ ииа,(ЛГ), 6= —. а а Если же вьпюлнить интегрирование в плосности комплексного переменного 6 по пути 5 (рнс. 52), то мы получим: -вм ~ вм в,(6 -ганН,о(лг *) 0 фуннцинх Уа и Н'," см. (7), стр. 511, 580, 589, 511 н др. У н а з а н н е.
Полагая к=« сез ар, у= с зю ~р, и = он 6, В= а(п 6. выполнить сначала интегрирование по 6 от О до 2п. а затем сделать надлежащую замену переменного ннтегрироиання; зто приведет х выражению (1) условия задачи. 41. У н а з а н и е. Выполнить интегрирование сферичесни симметричных ), (аà — г) (з (ат+ г) волн н по х от — со до +оп, а затем «делась надлежат г щую замену переменного интегрирования„ 42. Реш ение. Ищем рипсиме уравнения ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 44.
Решен не. Примем за плоскость раздела двух сред плоскость г=О (рнс, 33). Величины, относящиеся к полупространству г(О, отметим индексом !, а а(носящиеся к полупространству г Π— индексом 2. Обозначим паданхцую, отраженную н преломленную волны соответственно через « и ,((и,г — а,«,г( фг= ай ф* лге ( 1 ( (и«( — а«««г) Ч!= ! фа= д е( (и*( — а «чг1 (а, ю*, ы, Здесь й,= —, й«= — ' и Аз=--— а, ' ' а, а, мг волновые числа, ыг, ш««м ыз — частоты « падающей, отраженной н преломленной волн, а, и о — скорость расправ странения волны в первой и во второй средах; пг, л««н па †единичн венторы в направлении распространения аютветствунхцих полн; вектор г = = (х, у, г), На плоскости г=-О должны ныполйяться граничные условия «) лг рг (а+фу) =рг((Ч при г=й, (1) Рис.
53. — — + -' = — при г=О. (2) Будем считать вектор п, параллельным плоскости кОг, т. е. л, = (сов пп О, с(н у() . Запишем теперь в координатной форме векторы л«и па( п«,=(сови«„саар«,, с(пу«), лз=(с(и а«, с(лйз, созуа). Тач как функции т: еч'т. е"'ч, еч т, при условии, что тт, ч, т различны, линейка независимы, то подстановка ф(, (р*„ф„в граничийе условйя (!] и (2) приводит к равенствам ы*, = юг= ма '-=-.-= ) пг и( (3) соз()«г=соз Ох=О, (4) т. е. единичные векторы л*, и пз также параллельны плоскости АОг, й, соз а, = й, соз а«, = й, соз пз, ю ссв лг йг а, сова, й, в аз а, Если равенсша, получающиеся в результате подстановки (р, (р«и (р, в граничные условия (!) и (2), сократить на общий перемеаный множитель, то пслу.
«) См отлет к задаче 3. откуда палучматся изнестные соотношения между углами пгдення, отражения и преломления; пг= — а««и поскольку отраженная волна, как и падающая, лежит в полупространсгве г ~ О. и 527 уг, внлвнннии гмпнрволичнского типа из этих уравнений, используя равенство сову",= — ссиум получаем: рай, соз у, — р,узсоз уз у РФг соз уг+ Ргуз сов уз Ам 2ргйт соз уг рзй, сову,+р,й сову, 45. Обозначая через и,. п*„л„каи и в предыдущей задаче, единичные векторы в направлении палающей, отраженной и преломленной волн, получим (см.
рис. 53) сов аг от . / аз с с а*, — мо чтй» ° ос = ° оз ссваз о, е, )'е, ) аз где с — скоросп света в вакууме, е, н еа — диэлектрические постоянные первой и второй сред (мы считаем рг =рз= 1). У к а з а н и е. Плоскую злектромж нитную монокроматнческую волну можно представить в внле *) Е(е) г 1иг — ааю УУ У(1в)ег [гм а ю Затем нужно воспользоваться услониями на граннне раздела двух днзлентриков *).
46. Представляя падающую волну в виде"') е (ег) гея — ег11 О. 0) Щ )01 'г'з еег~иг — ась О) получим: Еч=(Ечзг вм *ж1" 0' О)' Н*,=(0; — ) ет Еч1ег юг +а*а1; О), еа )езег< ' е"1; о; о)1 н,=)о; — $'а ер'нм аж>; о), где 1 — чо, ,2 -,/е Ег= Е„Ез — Е„ч,з= зг 1+ам ' 1+уж ' )' е, ф 3. Метод разделения переменных 1. Краевые задачи, не требующие применения специзльных функций а) Однородном среды 47. Решением краевой задачи ии — — аз (и„„+ и„„), О < и < (о О < у < (з, О < 1 <+ оэ, ")х "! =и="1„~=")„=г =0 и(х, у, 0)=Аху(1,— к)(1 — у).
иг(х, у, 0)=О, 0<» 1, О<у<1, (1) (2) (3) а) См, (7), стр. 445. ) С . (17), р. 400 — 500, чаются соотношения ддя определения амплитуд отраженной и преломленной волн ртА, +р,А";=рзАз. й, соз у, А, + й, соз у*, А", = йз соз узА з; ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 64А(11» а(х,у, 1) ~ Х +, (2т+ 1) »тх (2п+ 1) пу сь» О 48. Решением краевой эвдачн является: 16А 1»»1»» п(х, у. 1) — '' Х пто + (2т+1) пх .
(2п+1) пу . ) в/ (2т+1)» (2л-).1)») х еь о=о (2ш+ 1)» (2п+!)» 40. и (х, у, 1)= +»ю 1 -1»+ 1» 1» 1» где р — поверхностния плотность массы. Указание. Можно найти сначала решение, предполагая импульс К равномерно распределенным по окрестности х» — е<х<х»+в, у» — э<у< < ьь-(-е точки (х», уе). в зятем перейти к пределу прн е-ьО "). Можно также воспольэоввться импульсной дельтэ-функцией дирака и сформулировать начальные условия следувшвм обрезом: и(х, у, О)=0, пг(х, у, 0) — 6(х — хц)6(у — у»), 0<»<1„0<у<1, К р Второй путь гораздо быстрее прнведет к неля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
