Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 85
Текст из файла (страница 85)
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ (Р'(Ы, о, го ге)= ~2 ~ г!оа(2 (Лаг) — ОАНа (ЛагЦ дг г1 2 2 б) Неоднородное среды 1М. Репением краевой аалачя 0<г~~гг ~ 0(ф<2д, (1) г < г = га, ~ 0< (<+со (1') и (ге — О, ф, (! = и (ге + О, ф, !), ( О е- ф < 2н, и (г, — О, ф, О=-и,(г,+О, ф, Г). ! 0<( <-)-оо, (2) (2') я (г„ ф, ()=О, и (г, ф, О) )(г, ф), иг (г, ф, О! = .
(г, е), 0 -, г ~ га, 0 К ф < 2н, (3) является! + ео и(г, ф, !) ~ )(„>,(г)Ц6 сов нф+Ь„аа(пяф)соаЛ „(-(- ли а ! +(а- р+б а)я р)е)яЛ „!Ь (4) тде Лща — корни трансцендентного ураане ия =О, Р,Л э о' е рю )"о ' !Яи, . !д'и, ! ди, ! 'д'-иД Ре —., Ре( —,. + — — '+ дИ (дгг г дг г' дфе(' д~ие (дене ! дие ! дена! Рз — !е' — + — — +-- — (г д(2 ( дг' г дг га г)фе ! ' !т'„(аг,) еЗН (еаг,) ф „(Егее) 2 Р а(о) 2 2(„) чп няявннния гипиовгиличкгкого типа ( гл (ыелгг) Л'и Овелгз) )уи (мелгз) ) (ыт гз)1 уи (меиг) 0<г~го (ил(шиег) А л (шеигз) ~уи (мелг) (и (миегз)1 ул (меиг1У гз г «- гз, Зи гь байр~ р(г))(г, е)Я, (г)созлес(г Пеи вин~ р(г) Вли (г) Йг Зл ги ) йр ~ р (г) 1(г, е) Я л (г) еп ер бг о б„ и ( р(г1 К~~ (г) бг о 1 пря пчь0, 2прил=0, Формулы для аел и Ьие получаются иэ.формул (В) н (9) заменой пояынте- гральной функцйи 1(г, ~р) на р(г, е) и добавлением множителя й , л а знаме- нателе.
2 4. Метод интегральных представлений 1. Применение интеграла Фурье а) Пргоброеманьм Фурье Напомним, что образом Фурье функция р(к, р) с киром г' "бич называется функция Р (х, )ь) - — ' ~ о' "1'вч' р (В. и) с бц2п,з Оригинал восстанавливается по образу с помощью формулы обращения р(к р) — 1 ~ ' ио' р (Х. и) гн,бр. 2п,) (П) — — юи'/. з и,, )— нзп (й, )ь Е) п()ь рл 0)=Ф(), р).,0 ' ='р(д )ь) г(й()л ри О) ") Подробнее см.
гл. Ч, у 3. Аналогично определяется преобразование Фурье в пространстве и). 1Оч. Решение. Применяя преобразование Фурье вида (1) к уравнению (1) и начальным условиям (2) рассматриваемой задачи, получим обыкновенное дифференциальное уравнение н начальные условия Ответы. указания и Решения где и, Ф, чг — образы Фурье функпий и, Ф, зг. Решение уравнения (1) прн начальных условиях (2) записывается в виде И=Ф(Л, р)сезар( + йг(Л, р), р = )гЛз-(-рз. (3) ар Применяя обратное преобразование Фурье, находам: +СО 1( н (х, и, Г) = — ~ ~ Ф (Л, р) сезар(е ' '~*+па' ЫЛг( + 2п ~ .~.Дт<ьь — ' ьь).
н> зю ар( ар Подставляя значения Ф(Л, р) и Ч(Л, р), придем к равенству +СО (х. р, ()= — „',, ~ ~ ~ ~ ~Ф(й, Ф аа.рг+р а, й) .',"~ )с Хе'""-П+"Ф вЂ” П11 ВЫВЫЛЫП. (6) где р=):гЛз+рз. Введем полярные координапе с помощью соотношений $ — х гсозр, Л рсгиб, ~ (6) г) — р=гз(пр, И=рипа, получим: Л(с — х)+р(т) — у) рг сов (8 — ф)=рг с<и~р', где ф' — угол, отсчиты. ваемый, как указано нз рис.
64. Рис 54. Первое и второе слагаемые в правой части равенства (6) обозначим соот ветсгзенно через иг(х. р, () и аз(х, у, 1). В силу (6) мы будем иметы из(х, У. 0 (2 з чг(Ь т)) е ' ' Рг Ыг ЫР йР Ы<Р'. (7) В силу равенства е) 1 огеозе'Ы 2п о «) С (7), р. 666, (16'). те виденными гнперволнческаго типа из (7) получаем 1 )- —,„, Ц $ га. э)' гь(гь е, в Но ") +ее О при а((г„ .....;=! прн а(> г, ((О) 1 Г'аэг:: — гз поэтому ег тл 1 ~ ~ 'К(В, т))тй бф ив можно получить из из дифференцированием по т, если предварительно заменить %'16, т)) на Ф(й, т)). Таким образом эв та Г Г 16 т))г ВР 1 [~'У(С, Ч) б ф 1 д Г('Ф о В г = 'гг(х — 6)э+(у — э))э.
вто было л 103. Рещение, Применяя п еоб р разование Фурье аналогично тому, как то ло сделано в решейии предыдущей задачи, мы получим: и(х, у, г, () и,(к, у, г, 1)+ив(х. у, г. (), (1) +ОЪ и, (к, у, г, () — ~ Ц ~ ~ ~ Ф (6, т), В) сезар(Х хе Ю Ы вЂ” ВН вь — чэ+ таз 6)1 лз с(э) с(( лт лр дт, (й) д2 в Хе'(" (г В'+вот и'Ч е Ы вЂ” Ф) ц Лэ) щ Лй др бт (3) (р=)Г ~р + тв). Переходя к полярным координатам по формулам  — К г МП Всозяь П вЂ” у=г э(п В ми Ф,  — г=г сов Я, где Š— угол между положительным направлением оси г и вектором г = (з — х)(-[-(т) — у)(+(ь — г)й, а 6' — угол между г я р=л(+ Ч-1-тй й я (рис, 55), т.
е, принимая направление оси г эа поло ол рной оси в сферической системе координат, получим: эа положительное нап валенке +со+со и и эп зл ! — (к+г мп Всов~р, у+г мп В миф, г сов В)Х Х вЂ” [ — е" ~~~ рзгв з)п В мп В' ар аг сй аВ йв йр'. ') См. [7[, стр. 603, (12) в (13). ОТБЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Выполнение интегрирования по Ф' и 6' дает: +ос+со З та с- — ( ~ ((сос о с,сс ос, с.
ох ! дна Ь бв Х мп рг мп ар! т мп б ар г)т с(6 сбр 1 — чс (х+ г мп б сов ~р, 6+т в!п 6 мп Чч в+т сов 6) м бп"а .! о И (сов р (г — а!) — совр (г+а!)) г мп б с!г с(р в(б сбр Интеграл +о: с со с(р ~ гЧ'(х+г в!и 6 совр, д+т в(п беби ср, «+т сов 6) совр(т — аб) с(т (5) ! о е можно вычислить с оомошью интеграла Фурье + со +со 1 — ~ др ~ )(г) совр(т — а!) с(т )(а(), о положив гЧ'(х-1-г ил бсовр, д+г в)п 6 в!псу, «+тсснб) при г~О, )(т)= О при г«0.
Если )(г) удовлетворяет условиям разложимости в интеграл Фурье и иепре ЖР ! l I Рис. 55. рывна, то интеграл (5) равен нулю при 1«О и авсд(х+а(в(п «сов<у, д+агып 6 ми ~р, «+а«сове) при «~О Аналогично +со +со 1 г(р ~ гЧ'(х+гв)п бсовбь д+гми ба(п~р, «+т сове)совр(т+а!) дг= Ь ' — а(Чг(х — а( в!и бсовср, д — а! мп бмпЧь «-а! севе! гп ~ ! «О, О прн !~о.
У3. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ггякям образом яегх у г. П= и ти «+ а( МП Ь З)П гр, Е + О( СОЗ Е) З(П В НВ бзи пд(х. У, г, г) может быть полУчено из ия(х, д, х, П ди е е после предварительной замены Ч' на Ф. о1( (' — — Ф(г+чг ми всозп, в+а( мп ~ а(пп, т+отсозе) а)пег(вйр ч, ъ. ! оио ис иЧ, ч', п и — и ьги' Ф вЂ” т) — гг Ггггеггв:Ьт. г гг( к — ф)з+(у — Ч)'+(з — дт. Переходя к о)мрическим коордянатам, как в п вить интегрирование по ', 6', ,риг как в предыдушей чадаче.
выпол- ге !Юй и(х. В () — 3 3 Ф(х+2Й УЫ У+2Ч 1/Ы) ми ((Ь+ЧЧг(1йч+ 1 (( + — и( ~йг,г+2й)гЫ, «+2Ч)г Ы) а(п г(тг+ з ойг( . Ж к а в а н и е. Применяя преобразование Ф ье, яет дувшее выражение для и(х, я, (): урье, яетрулно получить сле- п(х, и. () 1 .—.,)) Ц "- - - - . Ф Х сод Ы (А +)г )с$ г(ПЛАгй~+ 2 р ~ ят ~ ~ ~ ~ гу(В, Ч)созА(х — С) Х г. Ом Р Ф вЂ” Ч) стает (Ат+Рь) Ой НЧ г(АЩ (2) если ч у есть, что аналогичные интег алы, в к р, в которых вместо совА(х — й) или в х — или ап р (у — Ч), равны нулкь 1(альней~дие отняты.
нцдздния и рншвния преобразования могут быль выполнены с помощью равенств Гц уц д.'т осе р«Г«соево «(о= у — сов ь — — — ), е' р 14 4ре' +«ь в(п ро'созда«(о ~/ — з]п ~ — — 4 — ), «О у~о (2] и замены переменных $ — х - в) — у ==4, — -Ч 2Р'ы ' 24гМ (4) равенсьва (3] могут быть потучены, например, из интегралов Френеля +«с +оэ „Г" сов х««(х 1 н ь в1п хь «(х 1' 2 ) 2 переходом к переменному интегрирования о по формуле х а егр — —. Д 2 («гр б) Преобразаванне Фурье — Бесселя (Хаюиел] ~(д) ~ уФХт(~4)«($. 4)ригннал восстанавливается по образцу с помощью формулы обрашениа +ы 1(г)= ) Ц(д) ет()ьг]а)ь е А 1 109.
и(г, Е] + ' ~~ + — "")+'1"-)'1' гв — авев ыв Ьь ~~1+ — а— )+4( — ) ~ ь) Или, короче, образом Фурье — Бесселя т-го порядка. Напомним, что образом Фуры — Бесселя функции ((г), Ом..гц+со о ядром 1т(лй) ") называется функция вд нидвиниия гипннволичнокого типа Вби г'о"и ! ди 'б — аб! — + — — 7)б 0(г, Г(+со, д(б )дгз г дг!' и (г, О) 7(г), иб(г, О) = я (г), 0 б г + со, (!'г (2) нетрудно получить следуюшее выражение для ее решения: б, б- ( ГМ бббб,аб~бб — ~ ба~(б1б, бббб. ~б> 5 а В нашем случае и,(г, 0)=я(г)=0, следовательно, я()б)=0, г(г)= А )/р",, Для ЦЦ нетрудно получить выражение г'()б) = — е "з.
Х Для этого нужно воспользоватьси соотношением 1 е-е*аб (рх) дх- ') ь )'р'+"" н формулой вращения. Подстановка (4) в (о) дает: +бб ( + б, б-А ! (ббпр б )"б=б (б ! ~' мб(б)а) (бб о Ь где Ке(р+б)!) =р — действительная часть комплексного числа р-)-б)!.
1!О. Решением краевой задачи (!), (2) (см. условие задачи) является: В частности, при )(р)=Ае об" ПОЛучаем; Ае !+т 7 язт ш(г. П= !стж +тв(п-~ — 7!б 4Ы т= — и )с= —, аз а «) Ы. (7), стр. 607. Ук а ванне. Применяя яреойразованне Фурье — Бесселя нулевого поридка к краевой задаче ОТВЕТЫ, УКЛЗДНИЯ И РЕШЕНИЯ У к а з а н и е. Для образа Фурье — Весовая нулевого порялка решения краевой задачи !1), (2) (см. условие) получаем выражение + «« и(Л, !)=сов(ЬЛМ] ') О!(О) ««(ЛО) г(й. О (4) Если, применив формулу обрашеннн, воспользоваться интегралом Вебера + а ~Л'+ г«) — '''Г) 2А(~РА(М~ «» г$= -е ~ '" ~А~ /.
О положив р= — !Ы, то для и(г, !) получится выражение (1). Если в (4) подставить )® Ае' а'«. то для и(Л, 1) получнтсн выражение + йг ! т гл«* и(Л, !)= А соз(ЬЛ«!) «е ~'а (ЛЦ) о$ = — -Аа'е т гоз(ЫЛз), (б) 2 причем нужно воспользоваться интегралом Ханкеля «) + гч атр р+ и ! 1 Рг н ! 2 2 ('1 ! а~') О 2нирз" з "Р(1+т) при Т=О, р=)/ат. И=2, а=Л. Пршчсняя формулу .1брашения н воспользовавшись этим же интегралом Ханкеля прн И=2, Т=О, а=-г н ~и= — „' ~ « —,'2 .Я)«. Если ф (!) задаегся соотношениями (1) (см. условие), то где интегральный синус и интегральный косинус опрелеляются соотношениями « + сю 31(х)- 1 —.ДО, С1(х)= — ~ — нй.
рмг!й . р О «) См. [42(, пункт 393, получим выражение (2) для н(г, 1). 111. Если точка г=-О движется по закону и(О, 1)=-1р(!), О<!<+со, то выраягение лля а (г, !) может быть получено по формуле (1) ответа к предыдушей задаче„если в ией положить ОТВЕТЫ. УДАЗАНИЯ И РЕП/ЕНИЯ РВ О(к), ~сов ( — ) + — вж ( )~, с р=— 4Ь' ж+ и Указание. В случае а) положить /(г)= —, где 6(г) есть импульс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
