Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 86
Текст из файла (страница 86)
6 (г) 2пг ' изя дельта. функция Лирака; в случае в) сначала найти образ Фурье †Бессели для и(г, /): Вфвв/, (ай) 1 — ом (Ьйв/) Ьвйв ю 0 ~ / ~/О д(Х, /)= Зфвв/, (ак) сов(Ь (/ — /,) )Д) — соз (О/Ав) наь Ьвйв /в «/ «<+со, а затем применить формулу обращения. Прк выводе асииптотичсских формул воспользоваться интегралами Последние даа интеграла могут быть получены нз интеграла Вебера. приве.- денного в указании к задаче 11О, в случае г) нужно воспользоваться упоми. нутым интегралом Вебера. 2. Построение и применение функций влияния сосредоточенных источников а) Фрнх/(иа авнянах мвновснных сосредотаненных импульсов В случае, если мгновенный точечный импульс имел место не в начале координат в момент /=О, а в точке й, са ь в момент / т, функция влияния 1 /кт ') Следует учесть, что 6.функция четна и что 6(х)= — 61 — /1, где и— ороиввольнан положительная константа.
Последнее Утверждейие проверяется интегрированием по к от — со до +оо. /11 /в (к) сов (Ьх3 ах= 1 — ом 1( — /1, о /,( ~~(ь )ак- — 'и ( — ), о /в (х) в)п (Ькв) с(х Мп 1( — /1, /1т О ! /11 к,/, (х) мп (Ьке) //х — сов ~ — р 2Ь ~ф. УЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА принимает вид 6~» — — ') 4 ,Е, (с ~/ (Š— т)э —,) ) а оа6 . '1 ° (1) гэ а) (Š— т)'— аз г 'г 6 Š— т — — ~ 1 а Е' если в исходном уравнении перед сга стоит знак плюс, н и (х, р, х.
$, г), Ь, Š— г) Ег (с ~/ (Š— т)' — — ) а аа Š— т — —, (Ке гэ а) (Š— г)'— 6 (Š— — —,') наэ Г если в исходном уравнении перед сэи стоит знак нннус; г рг(х — 6)т+(р — т))'+(а — Г)'~. У к а а а н и е. Задача решается аналогично предыдущей; сначала получается выражение для функции влияния мгновенного сосредоточенного импульса, имевшего местов началс координат х=у=з О в момент Е=О, а затем, как и в решении предыдугцей задачи, делается переход к более общему случаю мгновенного сосредоточенного импульса в точке $, О, Е в момент т.
Функция О при — со(х(О, оа(х)= 1 при О -х(+со связана с функцией 6(х) соотношением 6;, (х) = 6 (х). ПЕ **). н(х, р, й, ен Š— т) ~оа( — т — — ) 1 2 ГЭΠ— ) — ' г=3/(х — 6]2+(у — 0)э ° ) См. (7), стр. 274. "*) Как и в случае аадач ЦЗ н !14, сначала получается функция влияния мгновенного сосредоточенного импульса, имевшего место в момент Е 0 в начале координат, а затем делается переход к импульсу, имевшему место в произвольной точке в произвольный момент Е т, где г = (х — 6)т+(р — т))'+(а — ()' ° У к а а а н и е. Нужно воспользоваться тем, что *) + чч 1 г" г а также тем, что 6(х+ха) О, если х н ха)0 одновременно.
Выражение (х) получается иэ (1) заменой х на х — Е, ..., Е на Š— т. что законно, так как уравнение ие, аэЬаи инвариаьтно относительно этой замены. 114. н(х. р, з, $. т), ~, Š— 'г) ОТИНТИ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ ()н"). х(х, Ч, й, и, .— т,- о,~) — т- — ) си ~» 1//И вЂ” т)з — — ~, и )/(х — р)т+(о — т))т, 2па )/от (и — т)з — г' аз х(х, ч,й, гь г — т)= 1/' "' ип па(à — т) 1 „+— — мп — мп — мп — ' з)п — ° ° ьп =' и (и дх! дх! дх ! 2] аля второй краевой задачи, когда — ~ — ~ О, дх)к.=ь дх)к =н ' ду )у дх~ О, ду )„=И ( — т х(х, У, й, гь ( — т) — + (Д 1/' ' *.
СО + — Г~ л, л соз — соз — соз — соа— и, «=о и/+ фа ~/ -)з ц где алла 2 при пл ° л О н е,л 4 прн пп ° ичьй) 2) для третьей краевой задачи, когда дх! — — азх' . О, ду )з= с дх дх — — атх) О, дх «=о 'к=" ' дх д" дд +)ьх)к ! О, к=И +й,х )„, О, У =(к х (х, р, $, ))„ ( — т) - Х,„'„; и.. 3!п (ьплл+Ч,п: ПП Гпля+ Чп1З)П (Рай+ел) ПП (тлз)+йл) ( А+И" ) (" +М1), ("Ф.+")("~+д)) ~ И,,„ мп ~о (( — т! )/рпп +оп~ Х а Ь/р +чп *) (;и. Шорую сноску на предмдущен юранице, если перед зл и уравнении стоиз знак плн)с если )ке в уравнении перед сзи гт ит знак минус, го в ответе нуюно сй заменить через соз. ))Т. Сначала рассмотрим прямоугольную мембРану.
!) для пер~к~й краевой задачи, когда х О на границе прямоугольника, 675 ун впхвннния гипппволичнокого типл выражается следующим образом: ! П(Х, У, Г) ГГ+)З+Лз~ дт$ РФ, ПЬ т)К(Х, Ю $, КЬ Г вЂ” т)Гфдт), (4 ) г где 1т и /з означают первое и второе слагаемые в формуле (4), в) Решение третьей краевой задачи, отличающейся ог задачи а) лишь граничным условием [ — +ах~~ =О, вырахсается следующим образом: и(х„к„т) 1,+(~+аз~йт~Р(6, т), т)к(х, Го $, т), à — т)да, (4") где !т и гз имеют те же значения, как и в (4'). У к аз ан не. Переходя в уравнениях (6) дти -у- гузбзи.+. сеи+)(х, Р, () (6) от х, р, Г к й, т), т и используя начальные условия для к(х, у, $, т). à — тй к б,-о,, |г -* б (х — $) б и) — р). нетрудно получить с помощью формулы Грина — Остроградского, что п(х, Го Г)= ~~ (П($, кв 0) кг(х, у, й.
г), Г) + ог($, з), 0) к(х, Р,ф, т), Г)) Щде)+ + ~ дт ~~! ф, г), т) к (х, у. й, т), à — т) пй пг)+ -)-о' ~ Лт$~к(х, у, й, з), г — т) ди(й, тв т) дл о г дк(х, у, й, т), г — т)1 дл Пля этого нужно уравнения (б) и (6) после перехода к й, т), т умножить охп ветственио на и($, т), т) и я(х, Го й, ть г — т), вычесть одне из иругого и результат проинтегрировать по й Ч по области 6 н до т от нуля до 4. с помощью соответствующей функции влияния к, удовлетворянхней гранич- ному условию 576 Огветы, укАВАния И Решения 120.
Указание, Пусть область й ограничена поверхностями Ю, и дз цяю. 66). Опишем, как нз пеитра, из точки (х. у, х) сферу до радиусам з; ограниченный ею объем обГмначим ы . Умножив уравнение дои — о= побои+) ф, 0, й, т) дто зой на 4 б~ г) н(х,р 4.0 й à — т)- —,. а уравнение д'н †, =подои йпь Рие 66.
на Ге(2, тз т), нужно вычесть нано из другого н результат проинтегрировать по объему 1) за вычезом гоо и по т от тч (0 до то)0, считая и и 7 как-либо продолженными для отрицательных значений 1. б) ФулГщии влияния иепреромио деаспГоуащих пкредогпояеииои псшооли пм. 1'--.') 121. оз(х и а хм Ро хо Г1= 4пао г где г= (х — хо)'+(р — уо]о+(г — ао)о. г 7()д г прн 2по,) Ргао (1 т)о )„го а 122. и(х, У, хо.
Уо Г)= г при 0<1<— где г = рг(х — «о)о+ (и — ро)ч 123. ы(х, и, г, 1)= — о =. Ж 2 ! Г)г 1г= го где с (г) — )х (à — ) х1 + !у ~1 — ) У1 + 12(1 — — ) — а1 — г ° а го — положительные корни уравнения р(г)=0, -'! — "'-" !-И вЂ” — ) ! где Ф вЂ” проекпия скорости источника нв нзнравление радиуса-вектора г; дР0) проведенного нз точки наблюдения в источник) пазтомУ вЂ” можш абра, Г1г 577 РЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА шаться в нуль лишь в том случае, когда скорость движения источника ю ) о; следовательно, лишь при этом условии уравнение Р(г)=0 может иметь более одного корня. Если источник движегся прямолинейно с постоянной скоростью о, ш, направляя ось х по направлению двингения нсточаика, получим .
а) при о са, т. е. при М = — <1 а ( М ( — ог)+ р ( — ог)г+(1 — М=г (рг+2Ч) а (1 — Мг) 1 Оэ (х, и, 2, 1) 4пог $' (х — ог)ь+ (1 — Мг) (йэ+ гг) б) ярн о~а, т. е. прн М= — )! о М (х — ог) + рг(х — ог)э — (М' — 1) (Уг+ ге)~ 7(г+ а(х, у„г, 1) —— 4паг а(Мг — 1) 'гг(х — о!)' — (Мг — 1) (ут+ге) М (х — ог) — У(х — иг)г — (Мг — 1) (у-+ гг) ) о (Мт — 1) 1 +— 4па' )' (х — ог)г — (Мт — 1) (уг+2г) Рис. 57. ось х и отреэок ОО' (см. Рнс.
57), с1йи=М» — 1- В этом конусе корень )г(х — ж)г — (мг — 1) (дг+гэ) действителен. Если источник начал действовать в момент времени (=о, когда он находился в точке О, то областью, в которой вызванные им возмущения могут быть отличны от нуля, являешя часть пространства, ограниченная упомянутым конусом и частью сферы радиуса аг с пентром в точке О (причем точка О лежит внугрн этой области, а конус касается сферы) 19 В. и. Егдаа а лр. 3 а м е ч а н и е. тнм равенством решение определяется внутри кругового конуса с вершпной в О', осью которого служит отрицательная полу- 6У6 ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ В точку гнаблюденнкт А(х, у, г) в момент ! при и)а приходят возму.
щения, посланные источником нз двух положеинйг А, и Аэ. Расстояния АтА и АзА равны М (х — и()+'уг(х — Ы)з — (М* — 1) (у'+г') А,А=», Мз — ! М (» — Ы) — (х — и!)з — (Мз — ! ) (уз+ гз) АзА гз Мз — 1 г, В точке А, источник находится в момент (г=! —, з в точке Аз он нахов' днлса в момент га=! — —. гз а Если мощность источника постоянна и равна 4, то и в) при и(а, т. е.
М= — (!. а 4 ы(х, у, г, г)= —— 4паз У(» — Ы)з+(1 — Ма) (уз+ И) ' б) при и) а, т. е. М= — ) 1, а Ч ы(х, у,г, г) — —- 2паз !' (х — гг)з — (Мз — 1) (уз+гз) )г к а з а н и е. В интервале, вырагкающем решение уравнения (1) при начальных условиях (2) ы(х, у, г, !)= —,, ~ ~ ~ .— 6($ — [Х!) 6(т) — [у!) 6(~ — [Л!)дядт) д~„ г (х — цз+(у — т!)т+(г — ь)з, г где [Ф! означает, что в функпин Ф аргумент г заиенен иа г — —, целесообразно перейти к новым переменным интегрирования а, 6, у: а=4-[Х! 6=т) — Р'[, Т=ь-[Х[; о(6, т), г) при этом вместо определителя ' пелесообразио пользгваться опреде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
