Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 88
Текст из файла (страница 88)
1(,( Л), 3/р'+де 1- Щ[((е (нЛ). Из формул (1) и (2) имеем: 1 Л((е (нй) ен»" — * О* Отсюда, поскольку 1 и (~ известны, определим величину Л и затем по формуле (1) — мощность источника ()а. Полсзкенне источника в горизонтаяьной плоскости гпределяется, очевидно, по максимуму наблюдаемого потока п(р). 2 2. Некоторые зидечи о собственных колебаниях 1. Собственные колебания струн и стержней 17 Обозначим о о(л) — амплитуду отклонения точки струны с координатой л.
Требуется найти решение однородного уравнения ге+)го О прн соответствующих однородных граничных условнах. а) Граничные условия о(О) О, о(() О, собственные значения Ла 1 — (л 1,2,...) собственные функции пл о„(л) мп — х, нвазрю нормы собственных функпий о„у И б) Гранмчные условия о'(О)-О, М(г). О, УП УИАПНЕВИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА собственные значения да=Я (л=О, 1„2..), собственные функции пл о„(х]=сгн — х (я=О, 1. 2, ...), квадрат нормы (2, п=О, '"' — 2га е"=(1 .жа в] Граничные условия о(0)=0, й(1)=0, собственные значения собственные функции о„(х) = мп и (2н+ 1) 21 х (л=О, 1,2, ...), квадрат нормы ( о„Г = (г2 г] Граничные условия и' [0) — Ьго (О) =О, о' (1)+6!о (1) =О, где 6~ ) О Ьз ~ О, собственные значения ]га определяются нз трансцендентного уравнения Рга1 (Ьг+Ьа) гг]г )г — Ьгдз нлн собственные функции " (х) = — ()ГЬ )Ъ„х+Ь, з]п р Г4, Ьа+Ь! квад ат нормы р (6!+да) (р" +6,6,) 2 + 2(И~+6()(р~+Ь;) В частном случае при 6!=да уравнение (1) принимает внд 26— р ре (ар= рз В Х (з ' — — Ье (з д) Граничные условия п(0)=О, й(()+Ьо(1)=0.
собственные значения Ха определяются нз уравнения ]а р — — )чг= — (и=1, 2....) р 6(' 1' собственные функции о„(х) аю У' Ьа х, квадрат нормы ЬР ! юл ч 2 + 2(ра+Ьз(а) ОТВЕТЫ, УКАЗДНИЯ И РЕШЕНИЯ а) Граничные условия о' (О) О, о' (()+до (() =О, собственные значениа Лч опРеделнютсн из УРавнениЯ )гг рч (ер= —., л =-' р ' " И собственные функции ан( )-с Ф/Л.», квадрат нормы (Ех ) "ч =2 2(Рзч+Оа)з) а) Граничные условия о(01=0, о(!)=О, собственные значения опреаеляютсн из уравнения а,р, с(Š— ха+агре с10 — (( — ха)=0, )'Л а, аз где и/Е, а/Ез собст енные фуннции .
~/Л яп — «х а, , Р'Л„ яп —" ка а, он(х) = при к~хат яп —" (( — х) . УЛ„ ат яп — "(1 —.ха) . )'Л. аг при ка(к~), квадрат нормы г'и З + 'рт(( — ) (п=!, 2, ...). (( —; Ла аа р,ка ,,)/Л„ а, б) Граничные условия (О)-о (()=О. Собственные значения определяются нз уравнения ргЛ агРг )Š— -- ха+ааРа 10 — Д вЂ” ха)=0. ах аа 10.
Уравнение продольных собственных колебаний неоднородного стержня имеег нид ии. уРАВнения ЗллиптичеакОГО типА Собстяениые функции У'к„ ыз — "х а1 1/Е. соз —" х йз вЪ. -з — »(1 «) йз при Осксх„ о„(х) =~ при кз(х(1, соз —" (1 — хз) йз ниадрат нормы )з Рз«З » ))„ / 2 созе» Щ вЂ” ( =1,2,„.. ) )„ Г а=,, „.). 2созз — "(1 — х ) йз а,= ~/ —, = )/ Собстаеиные функции Х„(х) Х» (хз) и»(х)= у ( при хз(х(1 У» (х) У» (хз) при 0(к(хз (л=), 2, ...), Х (х) = У )з соз — «+аз)зз з(п — » х, — )ГХ. )')' а, а, У„(х) = У')з» сси —" (1 — х) + азяз з)п —" (1 — х). — У'й.
йз аз )(вадрат нормы хз )о»)з= р' ~ Х»(х)з(х+ У»(х)бх. Х» (хз) ~'(~) Указание. Требуется яайти нетривиальные решения в(х) прн 0(хсхз, о(х) о(х) прн хз(х(1 однородных уравнений Л -„А 6" + — 0=0. о" + с:=-0 а' ' а' ! з в) Граничные услоаия о' (0) — йзо (0) =-О, о' (1)+ йзо (1) = О, Собстяеиные значения определяются из ураанення )У'Х У) У)( УА йз 1» хз Аз (н (1 хз) а, а, а, а, а,р, +ацз .
=О, ~+А,(2 ~«з ~+А 1» ~(1 х) йз а, йз йз ГДЕ ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ удовлетворяющие граничным условиям з) или б), или в) и условиям сопряжения з месте рээрывз коэффициентов уравнения 6= в, Егв'=Е«в' лри к=хо. Решение удобно искать в виде — при ОСк<хз, Х (х) Х (х«) — при хз ( х ( 1, у (х) ) ("з) к где Х (х) удовлетворяет уравнению Х" + — Х О и граничному условию о« д при х О, з )'(х) удовлетворяет уравнению Га+ — у 0 и граничному услоа,' вию прн х 1. Собственные функпии ортогонэльны с весом р(х): «« ! ва (х) вм (х) Р (х) бх = Р, ) Ха (х) Хж (х) ох+Рз ) 'г'„(х) У„, (х) ох= О, т ~ л, о «в «« 1 ( ва (з= ~ в' (х) р (х) ох= — Х* (х) дх+ — ~ г'з б».
г рз а а Х«(х) ~ а у«( а о 19. Груз помещен нз конце х=1. Грэничиое условие нз этом конце имеет вяд о' (1) = — Хв (1). М Р Собственные функции (ва (х)) удовлетворя зт услозию ортогонэльносги с нзгруэ кой вм (х) в„(х) р (х) ох+ Мва, (1) ва (1) = О при т чь л. Квздрвт нормы сгбстнениой функция в„(х) определяется по формуле (в«~1=~в«а(х)Р(х)г(х+Мва(1) (л=(, 2, 3, ...). з) Конец х О жестка закреплен, в(О) О.
— М Собственные значения определяются нэ урзвнення с(в )г'),„1= ),') р собственные фуняции ва(х) " (л~ (, Е, 3, ...), (п УХ„х )«1 квадрат нормы Формулы для попрввох я собственным энзчгниям~ 1) если нагрузка М мала, то )„-)о ~) '+ .~, 591 чн. гилнниния аллиптичкского типа где Л» =~ ,и Гн [2л+ 1) 1» 21 ~ — собственные значения свободным концом; 2) если нагрузка М велика, то ненагруженного стержня со Л =Л'з'+ — +..
»» М( о (к) — » (л 1, 2 2 ) соз УЛ» х соз УЛ»1 квадрат нормы ) .)'= — 2(+ — „.)+ —,. в) Конец х=0 упруго закреплен, о'(0) — ло(0)=О. Собственные значения Л. определяются из уравнения Л» М (ОУл»1- м — ("=' 2 2 ") ( -"-) . м„),— и Собственные функции о» (х) Х» (к) Х» (1) ' Х» (к) = УЛ„соз У Л» к+» з)п УЛ» х. Квадрат нормы ) о»Р= —,) Х» )з. 1 " "'=Х„()) У к в з а н и е. Динамическое условие нагрузки конца х 1 имеет вид Мигг= — Еи,(1, Г). Полагая и(х, 1)=о(х)Т(Г), получим после разделения переменных для и(х) уравнение с»+Ло=О, о'(1) — Ло(1). М р Условие ортогональностн следует нз формулы Грина ~м( )- (.)~"=~ "-:ц где Л (о) = (Ео')'. Прн вычислении нормы слезуег пользоввтьсн характеристическим урав. пением.
Гял Р где Л' ( — ) — собственные значения стержня с жестко закрепленным конй цом к=б б) Конец х 0 свободен, о'(0) О. Собственные значения определяютсн из уравнения (2УЛ»1= — 1— - УЛ . »» Собственные функции 592 отпиты. указания и рцшцния 20. Сосрелоточенназ пасса М находится в точке х хо.
а) Оба конца струны жестко закреплены, о(0)=0, о(1)=0. Собственные значения Ка опрелелякпся из уравнении с)к — "хо+с12 — "(1 — хо)= — ! а„. )'). р'~„о)( й й йр Собственные функции у'~„ Б)п — — х й пун 0(х(хо яп —.-' — ' Хо й и„(х) == Б)п " (1 — х) Ук. а при хо ( х ( 1. о (1 .
)Я.— й Квадрат норыы рХО р(1 — х) М )Гул о. )~Л 2 згао —" то 2 Б)по — (1 — хо) й й б) Оба конца струны свободны, о' (О) О, и' (1) О. Собственные значения 2а апрелелякося нз уравнения !')Б„ пм — "х й при 0(х(хо, 1 )Би со% — х„ а соп —" (1 — х] при хо(х(1, соз — (1 — хо) 2» й и„(х) = Квадрат нормы + — (я 1, 2....) Рхо р(1 — ) М 2 соз' — хо т созе — (1 — хо) )ол )оа а и в) Концы струны упруго закреплены, О (0) (ОБО (0) 0 О (1) )- Лов (1] 0 12 — х +12 — (1 — хо) — — ! )чо ° Ю И г— й а йр Собственные функции ны трлвцпния эллиптичнскога типа Собстеенные значения определявтсн нз уравнения аа — )тХ (й — (1 — «е) ад — р Х (й — хе Уд а о аМ + . Ул —.
) Х )'). оь, (я — (1 — х,)+ ~'ъ о)ь (ц — «,+ ~'л а о Собственные функции пря 0(х~х„ Ха (х) ои (х) = — при хе ~ х(1, уз (х) 1 а (хо) Х» (х) = ) йа соз —" х+ай, мп —" х, Уд„. )'Г о о Ра(х)=) Х„соз — а[( — х)+п)ьзз)п — "(1 — х). )'Х„ г' л» о и Квадрат нормы г ) о„)'=( о'„(х) р И~+Ма*„(хз) (и=1, 2, ...). 21.
Уравнение собственных поперечных колебаний однородного стержня имеет внд о — — о=О, (го> оз ЕХ где а'= —, Š— модуль упругости, а — молзент инерпин поперечного сечения относительно сеней горизонтальной оси, р — плотность стержня. Я вЂ” площадь его поперечного сечения. б) Оба конца жестко заделаны, о=-О, о'=О при х=О, 1, где р — корень уравнения сп и соз и = 1.
Собственная функция х х) ол (х)= Фа ~~сп ра — 1- — ссвр» -1 ) (зц р„— мп р„)— х х )) — (ей 1 — р„) (зй) „— — з)п р„— 1), где А„— произвольный множитель. б) Оба конца свободны. о" О, о"'=О при х=О, х=й ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ где р„— корень уравнения сд р соз р = 1, ол (х) = Ал ~(сц Ре х+ сов 1)п х) (зЬ (зл — мп рл)— — (сп р„+ сев р ) (зЬ - - х — з!п — х !1.
Рл рл л в) Один конец (х= — 0) заделан, второй конец (х= 1) свободен, о=О, о'=0 при х=О, о"=0; о'"=0 прн х 1, лл — — ьл — л(а=1, 2, ...), где р„— кореаь уравнения сп р совр= — 1, Ол (Х)=Ал ~(С(ГРЕХ вЂ” СОЗЕ(Е Х~(ЗЬ Рл — ИП Рл)— — (сЬ р — совр ) ~зЬ вЂ” х — в)п — х)~. рл рл л л 1 2. Собственные колебании объемов 22. Пусть х=О, х=а, у=О, Е=Ь вЂ” стороны прямоугольника. а) Если граница мембраны жестко закреплена (о= 0 при х =О, а; у=О, Ь), то собственные значения ггл~ аз ~ ~м.л=п' ~ —, + —,~ Ол. и=). 2.
-.)~ '!ал собственные функции пж . ип о . (х, у)=з)п — ха)п — у, а Ь аЬ (о, .л ° 4. б) Граница мембраны свободна (о„=О при х=О, а; о,=О при р О, Ь), , гтз л'! Х-..=- ~- + Ь4 (-'=О 1 2 -.) '1цз от л(» р) — оси «соз 1, р о )о,л(з= — е е„. ел=2, вз=1, А~О. аЬ льл =,1 ил а) Дие по'п1воположиыг стороны х=О. х=а жестко закреплены (о=О при х=О, а), а две другие — Е=О н Е=Ь вЂ” свободны (о„=0 при у~О, Ь), Х~,„= ( — +„) ( =1,2,...;и=о,),2,...), пгя пп ом л(х. У)=-з)п — хсоз 1 Гь л ! ) ель л )з = — аЬв,и УП УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА г) 1(яе соседние стороны х=О и У=О жестко закреплены. а две другие стороны свободны, ле((2т+1)е (2л+1)»1 4 ( л' Ь' л (2т+ 1) . л (2л+ 1) от, «(х, у)=мп хып р. аЬ 1о, )е= 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
