Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 87
Текст из файла (страница 87)
В(а, 6. Т) ()(а, 6, у) лителем — * ()(Е. Ч ь) 124. Источник находится в начале авяжущейся вместе с инм системы координат О'х'у'г', расположенной, как указано на рис. 57, х'=Ы вЂ” х„у' у, г'=г. и а) Прк и(а, т. е. М= — (1, получается уравнение зллнптнческоготипа а д'и 1 ['дзи гнгг '! 4 дк'з 1 — Мз (ду'з дам ! аз(1 — Мз) —,+ — — [ —,+ — „[= —, 6(»')6(у')6(г'); заменой оереьгениыь х'=$, у =, г= ~ оио преобразуется т! Р'! — Мг' ! ! — М в уравнение Пуассона дзи да и д'и /" '! дяз д!!з . дйз — + - + — — — 4п ! — 1Ь й) Ь (т)) о !Э), 14пату кк знланиния гипенполическОГО типА решением которого является функция влияния сосредоточенного источника У(2, г). Д= апоз рггьг ! т)з ! гьз или в исходных координатах г'. у', г'.
и(г', у', г') чиа~ Р' г'з+(! — Мз)(у'з+г'з) б) при о)а. т. е. при М вЂ” ~1, получается уравнение гипербсличе- а ского типа Ози 1 Г дзи дзи') д дг'г Мз — 1 )ду'з дг зу аз(Мз 1) — = — ~~ —,з+ —,)+ Ь(г')й(у')б(г'). Решая его с помощью надлежащей интегральной формулы при начальных условиях и), =о-0 и;( =о=О получим: и(г', у', г') 1 2паг Уг з (Мз П(у'з -)- г з) 125.
Пусть электрон движется вдоль оси г со скоростью о сопз(ч), с с а= — <о(с, где с — скорость света в вакууме, а а = — скорость света 'ггв г' а в рассматриваемои диэлектрике с диэлектрической постоянной в. Скалярный потеицивз электромагнитного поля, создаваемого движущимся злентроном, равен 2з прв Ф вЂ” г )уг, ф= е )Г(щ — г)з — узгз О прн о! — г ( 'уг. гз Здесь е — заряд электрона, ут= — — 1, с=утят+уз, причем предполагается, что в момент (=О электрон находился в точке к=у=а=0. Компоненты век горного потенциала равны А,=Аз=О, А =з — ф, (2) с причем Н=го! А, Š— йгаб ф — — — „(2') 1 дА с д(" В каждый момент времени ! электро. магнитное поле, создаваемое электроном.
отлично от нуля лишь в нижнем конусе с вершиной в злектроне (рис. Рис. 58. бб), а эквипстснилальными внутри кг иуса поверхностями являются гиперболоиды вращения (М вЂ” г)з — утг" сонат. ') Нз самоа деле зта скорость будег меняться за счет излучения энергии электроном. Подробнее об этом см. (18). 19* ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Укаяа нне.
Для скалярного и векторного потенпиалов имеют место уравнения причем «) б(т А+ — — =О. е дв с д( (4) В вашем случае )(«)=)мг=б, 1(с~=ср=сгб(х)6~6)б(г — срь р = сб (х) б (р) б (г — с(). (6) (6) Подстановка атил аначеннй р и 7' в уравнения (3) ораву ию дает: с А„=-А« — — О. Ас=е--гр, с (7) повтому равенство (4) превращается в равеншно дА е д~р с+ О (8) что позволяет все компоненты алектромагннтиого поля, испольауя (7) н (8), выразить через скалярный потеипиал Чь 126. () —, а г а Е( —, а' МдМп6 а г г < —. а 127.
Для смещений и, о, в по осям х, р, х, считая, что сила г (() прн ложена к началу координат н направлена по оси х, получаем выражение и= — ~ — ( — )~ ° ~ тг (à — т) дт+ а + ~ ~ — ', р (( — — ') — 1, р (( — Я+,—,' р (( ')~, ") См, (7), стр. 451, н,=-~ в дг«р 4п снр — — — - = — — р, са дс) е едА 4п ЬА — — — = — — 7'г', са дР с — ' а, Гг Ф вЂ” ')+ — "мпв(à — '))а|Ей, — ~г мп в(( — ) — — сгнв(г — )~вмВ, ЙИ~ соа В га — ~(га — -6) сгнв~( — — ) + — мп в(( — — )~ мп 6, ЧГ. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА о- — '~ — '-(-'Д~тр(1-т)"+'-."~-'Р~( — -) —,а Р(1 — Ь-)~ =,— ~ — „~ — Л ~ тр (( — ) лт+,'-; (.—, р ~г — -'-) —,—, р (г — Я~, а где (2ж — 2)6 А+2Р Ь'= О = р (т — 2)р р ' р р' р — плотность массы среды, о — скорссть распространения продольных деформаций, Ь вЂ” скорость распространения поперечных деформаций.
Ук анан не. К поверхности малого шара радиуса г с пеитром в начале координат приложены упругие напряжения, равнодействующая которых должна совпадать с Р(1). Следовательно, при г-ю.О наприження должны иметь поря- 1 док — (если только г (() М:-О н является навечной величиной). Перемещения, проиаводным которых пропорциональны напряженна, должны иметь поря- 1 док —. а ГЛАВА УИ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Ли+си= — у ф 1. Задачи для уравнения Аи — нви= — Г 1. Концентрация газа в точке М(х, у, г), отстоящей на расстоянии г от источника Р=™Р ($, е), ~), равна (го и= — —, г =)г(» — ГР+(у — т))о+(г — ь)о, 4пР г где Р— ковффициеит диффузии, не= — р — постоянная распада. Р' ()е Ге "' в(Л( Р) е =4пР'( °, )' где М = М (х, у.
г), Р = Р (5, Ч, Еи г = )г(х — Еи+(и†т))е+ (г — Ь)о гг — — Л(Рг — — )'(х — фР+(у — т()е+(а+7~9, Рг=Рт(ф, т), — ~). Источник помещен в точке Р И, гь Г). Указание. Условие газонепроницаемости стенки г=О г)г 1е=о показывает, что отражение относительно плоскости должно быть четным. 3. Функция точечного источника для уравнения бои — кои=О на плоскости (х, у) имеет внд 1 Р(х, у; й, е))= — К 2п где Ко — цилиндрическая функпня мнимого аргумента нулевого порядка вто. рого рода, г=) (х — з)~+(у — е)) ° Физическая интерпретация функции источннка — стационарная концентрация, соадаваемая в точке г„ у, го источником неустойчивого газа, равномерно распределенным на беског1ечной прямой, параллельной осн г и проходящей чеРез точкУ 4, Го ге; мощность источника.
отнесеивза к единице длины, численно равна Р. 1 6(х. и: " т))= — (Ке(кг)+Ко(иг1« г = у (х — В)о-)-(у — ())е, уп. уРАВнения нллиптическОГО типА 6. Если источник находится в точке ($, ц, Ь), то гл $' (х — С)з+(р — 1))з+(х — ~„)з, г'„~»[х — й)з+(у — т))т+(з — („')з, Сл 2л(+ь, .л гл( Указание.
Изображения в плоскостях г О н е «янляются четными и помещены в точках (ь. ГЬ ьл 2гц+г) н (з, Ц ~'„йл« вЂ” "ь) Сходимость ряда очевидна в силу наличия зкспоненцнальиых множителей — хгл — игл е "не " поа знаком суммы. 6. Если источник находитса в тгчке (Гл т)), то гл 2„(),7, ! «(з «нгл)+«(~ (нгл)). мз где гз:3'ть — ъ1ц . — Уз:гг + г — с«' ц„-2 «+ц, ц,,=йл« вЂ” ц. У н а в а н н е.
См. задачу б, Сходимость ряда видна из асимптотической формулы .» « «(з(х)= Г«г — е"л+... р» 2пх 7. С, ЧГ«ф„(»()ф„(Р) — )» Х +~~«~ — г« 2С4 ф„,з(»х.+из где (А«(х, р)«е) — точка наблюдения, (Р (В, О)«Ц — точка, в которой находится источник, А„н фл — собс1аенные значения н собственные функцнн плоской аадачи б,ф„+),„ф„=о в З, — О «)фл дт на С, З вЂ” поперечное сечение трубы, С вЂ” его граница. т — нормаль к С, «фл(з=~ф» г(з Указан не.
Решение красной задачи («Ьи — ()и — « илн внутри Х, Ьи —: тл () Ди — =о наЕ, ответы. укАВАния и РешениЙ где Х вЂ” поверхность трубы, следует испить в виде «- ~ ~.(.)ф.(Ж. л=- < Зная решение этой аадачи, нетрудно перейти к предельному случа<о точеч- ного источника, 8. Если источник находится в точке (р, 6'. <р'). то и(г, 6, »р)=- о б(г, 0, »р; р. 6'. <р'), где б(г, 6. 66 р, 6', »р') — функция источника, определяемая формуламв У»п" (0 ф) Ул«П(0'.
ф') б(г, 6, <р. р, 6', »р')= 1) !) " ' ! „„, ' бл(г, р), л=оа -л л 1 . »<ч <а! ) совйф при йгаб, ( 2)п!й! < при йл.б — сферические функции, Р»а< — присоединенные функнии Лев»андри, ()г» !'62= — гша —, ва=! а и (л+й)! < й при А=О, хи+1 (г< — й)1' ! 1 при 6 чей, '"~л(ио) Чл(ир) — йп(ир)Чл (иоЦ 0 при г. Р. Ол (нг) .и (ип) бл(г Р)= и (оп(ни)Чл(нг) Ол(нг)йп(ноЦ ° при г)Р: Ол (ио) ! < Ол (х)= ), (л), Чл (л)= )( (л) л+— 2 л+— 2 У К а З а Н И Е.
РЕШЕНИЕ ВадаЧН йи — Наи= — <, И„!г, =О Продатаан<Ь в виде л ал л к(г, О, ф)= ! ) ! б(г, 6, »Р. Р, 6', ф'))(Р, 6', ф') Р2ДР Яп 0' »ОУ»йр'. 6 об Полагая И= ~ ~ И„а (г) Ел<а! (0, р). ( = ~ ~ („а (г) у!А)(о,,р), л=оа= — л л=-од=в получаем сила (галла) — (и г +в(л+1)) ила= — !ла(г), н„'„(о) О, л вл н ила(Г) = ) б„(г, р)(ла(Р)Р»»<Р, /ла-— — 1 ~/(Р. 0', <р) У»а)(6', <р ) Мп 6' «6'<(ф' а о о (.ба=О(г ФР), бл(Р— О, р)=бл(р+О, Р), 1 бл(Р+О Р) — б' (р — О, Р)= — — 2, б'„(о, р)=О Р й. Если ось г прямоугольной системы оординат направить вдоль И<, то иа -пг — <а — ф 2В и( „) а В онг УИ. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА где и= —, г=] (х — 2)з+(у — з)]з+(я — Ь)з.
'() ' 1О. Если г =а -радиус пвлиндрз, то и(г)=ие — —, я=Ух'+у'. (е(и ) )ю(иа) ' У к аз анне. Требуется найти ограниченное решение уравнения Ьзи — язв=О, г~а при условии и!„ ((з (иг) и = и (г) = из —. бе(иа)' 13. а) г =Ура+(» — щ гз=Ур!+(я+О)з, р Ухе+уз. 1, (иг) Уа 2 а з)!Уг 12. а) и=из —. = и,— —; р г1, (ка) ' г з(зиа' 2 !'з (кг) Уа 2 ! а )з иг с)! иг — з)! кг б) и=из — — соз 0=из ~ — ) сев э. г г з (иа) г; иа с(! иа — 5)! Яа 2 ((! (гг! Уа 2 аекг и = из.== — = из —,' Уг)(! (иа) гя ~"' 2 ((3 О!г) Уа /а )зиг+1 е и' б) и из —..— созе=и !( — ~ ° — ° соз 6. Уг Кз (иа) (! г ~ на+! с-"' 2 14.
з) Если поверхность земли совпадает с плоскостью я=0, то распре- деление конпеятравни эманапнн в земле дается формулоб — е и" Фия при 0<я а, )а Р а (! — е с)!иа) прн Ь С2Саа, где и= ф' —, р — пссзояиная распада,  — козффнпиент диффузии, (з— плотность источников, б] Поток эманапии через поверхность земли 1б.
а] Если 2=0 — понерхность земли, а источник находится в точке [О, О, и], то конпентрапня Ответы. укАВАния и Решения б] Поток через поверхносп земли а О равен «(р)-Р—" ~ - — (н( ') е-'~е> е )~р +Л* 16. Требуется определить ()а н )ь Лля этого, пользуясь данными наблюдений, т. е. величиной Е(р), находим полный поток через поверхность земли О-~ ~ е(р)р«р«ф-() затем интеграл ю тл 1' ш 1 ~ ~йрз«р«гр= — ()ей~~ — ~ — )р«р е (( е ле е "е кто та -ЦЛ 1 ' «р-(),Л -"""1 Ц (),Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
