Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 90
Текст из файла (страница 90)
УП. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Выражение для ) А', л)з см. в ответе к зккаче 27 а!. де до б) В этом случае — О при р=а, Ь, — =О при г=О, г=(, так что 'дг= Флйр)= ' (л=О, 1, 2.. ), з!и шр пй Ез (г) = соз — г ! (й О, 1,2,...), )гльл (р) дано в ответе к задаче 28 б), ! ( [л))е+ ~пй) и! ) от.л.з)'= †за) )щ,л)' всегда положительна, а при малых е равна 2 1 1 А)ч = ) - — +...=7,41 азг) А)а аз!п Ф йее 2,4048г где члены более высокого порядка малости относительно е отброшены.
Из этой формулы видно, что Вш М,=О. е в Решение. Наименьшее собственное значение л) жестко закрепленной по границе р=а круглой мембраны определяется из уравнения .Г, ()').;а) = О, а первое собствениге значение лт кольцевой мембраны ер(а с хлестко закрепленной границей определяется из уравнения 7 (У),1е) !т',(УКа) — )з()Г)ча) !Уз(Р ).1е)= О. (1) Полагая ~Ъ, =)ГА)+а, так что адг 2)гЦа, и Учитываа, что I~()г)че)=1 —..., )У~()Г)че) — 1и )'Х,е+..., )т» (гг)га) = !Уз (Уг)) а) — гУг (У)за) аа, ле О' йта) = уз (г' )Ра) — у, (р ца) аа = — аа/, ()/Хоа).
Иэ уравнения (1) получаем: л Аа(Р'Ца) 1 2а У ()' 'А! а) )' Цв 31. Если Х, †перв собственное значение кодьцевой мембраны (е( рПа) с закрепленной границей, а А) †перв собственное значение круглой мембраны р (а с закрепленной границей, то поправка бйг =Х, — Х) ОТВЕТИ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Воспользуемся теперь ныражением для определителя Вронского у (х) й/е (х) — Хе(х) )уа (х) 2 так как Хе Ц/)(оа)=0, то отсюда находим ф.
()/Цо) = 2 и)/)хха/х(р ) хха) 1 1 а= )/ ! х ое г х ()/) хи) 1п = )/Цз Ьйх ~ 7.41 1 ах 1п 32. Если нагрузка М мала, то Цго )х )„о ы о 1 Ых Хх — )хх х (п— е Если нагрузка М велика, то 1пп )хх=0, (пп )ха=ах, ы сю м а) )„= 2чС вЂ” -1-,. 1 и где С равно 1 1 С= — =— 1п— Р где е Р=— а так что 2п 1 )х, = — — + 1 И !и— Р Р е ш е н и е.
Уравнение колебаний мембраны имеет вид 1 х( / х(и! — --(р — /!+Ми=О для в(р~а, рб~ бр! где б — плотность массы. Гранина р=а закреплена, так что и (, О. е Обозначим У)хба=х, )/йб е=рх, р= —. а Так как первый корень уравнения (х(р) = 0 равен рх = 2 4048 и Хх(рхх) =0 5!91, то ОП. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ))ля получения второго граничного условия изменим задачу, заменив нруг радиуса е с центром в точке О абсолютно жесткой пластинкой оюссы М, для которой уравнение двюкенин имеет вид тя Г ди о(и Р = з — р и р=2пе — (в), 3 г)р г(р о=о — )гМи 1, =2пеи' (а), так как и= — Хи. Обшее решение имеет внд =ЛУ. (Уйбр)+ Л У, ()ЪВР) или г' х !х и=)уо (х) уо ~~ — р/ — /о (х) Фо ~~ — р).
Условие при р=е дает нам уравнение для определения )и уо [Рг) (то 1х) — га (х) А~о (Рх) 2Р Хз (Рх) Йо (х) — Жо (Рх) Хо(х) Б [х), где 8=, х=)' Аби. Решение дисперсионного уравнения (1) моигег быть найдено графически. График функции 3 гх) имеет вид рнс. 59. Рис. 59. Здесь ьо. йг йо — ксрни знаменателя функюги 3[х)„а пунктирная кривая — парабола 1 3= — - хз 1пр.
2 бодаазя значение М (но рис. 59 оризон~ аль Алй наиден соотвегствую- Шис корни дисперсно,нного уравнений. Ответь<, умлзйния и Решения При М-ьсо горизонталь АВ стремится к оси х, первый корень стремнтсн к нулю, остальные корни стремятся к значениям Ц, Л",, Лет, ..., которые являются корнямн числителя функции Ю(х). Величины Ль|, Л), Л), ... отличаются от я„ А, йм ... на величины, имеющие порядок везйчийы емкости круга рахн)чз в С= —. 1 е (ив а Для больших масс М первый корень будет мал.
Раазожим цнлниарнческие функции возле нуля: Уз<с)=! — „, .! <х) = — х+..., Ьз (х)=1п (х)+..., Д<г (х)= — — + ... 1 1 Подставляя шн выражения в равенство (1), найдем: 2л 1 1 Лг — ° — = 2иС вЂ” + ..., М вЂ” 1пр М 1 а где С= — —, р=— 1пр' а 33. Пусть внешняя гранина калымной мембраны е «р.» а является свободной, т. е. Оо — (а, ф)=0. 'Тогда 2 12,3 ОЛ вЂ” Л Ле— +..
ФЮ атлет, ()~Л(а) !и — а" 1п— )' Л<в 3,83а грт<т где Лгг.=<1 — '), Ртг — пеРвый коРень УРавнениЯ Ут (Р)=0, Рьг=3,83. 3ч. Задача о собственных колебаниях круглой мембраны. натянутой на отверстие сосуда объема (ге (барабан), приводит к следующему уравнению: Ь.гь=гг ~ (чггч (1-~), если предположить, что скорость поперечных волн значительно меньше, чем скорость звука в вгвдухе. Здесь бе †плотнос воздуха в с суде, с, †скорос звука в воздухе при давлении и температуре в сосуде, соответствуюц<их неподвих<ной мембране, I т с=1)г —, Т вЂ” натяжение мембраны, а — ее радиус.
Интеграл справа означает добавочное давление, создаваемое колебаниями воздуха в сосуде (см. (38), стр. 217). Из (1) и ортогональиости тригонометрических функций на (О, 2л) следует, что прн а~О собственные функции мембраны , ~р.),)(-Р, не меняются, несмотря на наличие присоединенного объема воздуха. Ин. ИРАВИЕНИЯ ЗЛЛИПТИЧБСКОГО ТИПА Собственные фуиицвн, обладающие цилиндрической симметрией (ц О), имени вид зм(Р) зз( о- Р) зз(рм) ~Д,з/ ° (3) где Рм — НоРеиь УРавиениа Уз(р)-- — У (Р). Х рз цбзс(а' Узт (4) ( 0,8373 при 2 1, а 0,5570 прн )( 5 и соответственно рт 2,442!. рт 2,9618. 35.
Основная частота юз1м 1520 ген К Онв может быть увеличена в 1,45 раза, если присоединить воздушный объем Уз ~ 2()18 слз О( 1О). Ун звание. См. задачу 34. 9 5. Расирастранение и излучение звука Уравнения акустики, кан известно «), имеют вид ог —— — с ксали з, зг+6(ч е О, Р Рз где в — пентор снорости частиц газа, з — — конденсация газа, с Рз ° Гуре =- У вЂ” — — сноРость зерна, Рз и Рз — нвчальнаЯ плотносп, и начальное давРз ление, у †постоянн адиабаты.
") См., например, (7), гл. 11. 20 в. и. Булак в зз. которое получается, если (3) подставить в уравнение (1). Ряд для зз(р) лает Уз(р) 1 Р' И4 — — — — + — ° рз 8 96 3072' (5) Если ч, =2,4048 — первый корень уравнения ./з(т) О, то уз(Рт)= — г,(тг) --05191 а ( -Р,— г). Иа (4) н (5) получаем: 6,8619+0,4229)( ~' Эта формула позволяет вычислить поправки н первому собственному значению за счет присоединенного объема. Тзя. например, б)б ОТВВТЫ, УКЛЗЛНИЯ И РИШГИИЯ Полагая о= — йгаб 0 илн з=сз1)н где 1/ — потенцнав скоростей, получим для потенциала уравнение колебаний 1/и = сад 11.
Полное давление р просто выражается через конденсацию з: Р = Рз 11+ уз). Обозначая Р=Р-Рз — избыточное давление, имеем: Р = — Рзз = Раста. УРэ Рз Отсюда видно, что иэбьаочное давлеяие Р также удовлетворяет уравнению колебаний Рм=- се бр. Если грж~и|га Х области, в которой ищется решение, предполагается абсолютно жесткой, то на ней нормальная составляющая скорости равна нулю: где и — нормаль к Х. 1 Кинетическая энергия объема дхду да газа равна — рэоздх дуда. 2 Потенциальная энергия, очевидно, дается выражением — 1рз) = — РК 1 1 2 2рзсз Полная энергия в единице объема равна з йг-- 1 оз+ рз 2 2рзст Пользуясь формулой Грина, нетрудно записать закон сохранения энергии в виде —" )Унт= — Удя, У=РФ д Р дт где Т вЂ” некоторый объем, ограниченный поверхностью 8.
Вектор у=ро есть поток энергии в единицу времени через единицу поверхности, называемый вектором Умова. Полная энергия, изучаемая некоторым источнииом в единицу времени (полная мощность), равна где о' — некоторая заики)чая поверхиошь, окружающая и~точняк. 611 У11 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА В случае устав вившихся колебаний р,гчм гле амплитуда р удовлетворяет волновому уравнению бр+ йзр = 6. В дальнейшем мы всюду будем рассматривать установившиеся акустические пронесем, т. е. иметь дело с волновыми уравнениями, опускав, как правило, временной множитель йа»». Если з=жгыг, о=о»ж', то з и о также удовлетворяют волновому уравнению, причем д=йсрз(à †амплиту.
В случае гармонической зависимости по времени обычно используются величины, являющиеся средними за период значениями рассматриваемых функций. Если зависимость от времени взять в виде ег"г, то амплитуды р и о будут комплексными (черту .ад о опускаем). Учитывая зто, получим длн среднего по времени потока знс,гни выражение 1 )»= — )ге (до»), 2 называемое также интенсивностью или силой звука. В акустике широко используется понятие нмпеданса, ((ак известно, меха. нический импедаис системы г определяетгя как отношение давления к скорости. Величина р»с называется акустическим сопротивлением излучения. Безразмерный акустический импеданс опрелеляетск отношением — или г Р рас рагс 1. Т оче чн ый источник 36.
Требуется найти функпию г †» б (х, у, г, ~, т), ~)= — + о, г=)«, ~)з+(у „)з+(, ~~~. где о — регулярное решение волнового уравнении. которое должно быть выбрано так, чтобы при г=б выполнялось одно из условий: б1» ~=6, — ~ О, дб 'дг > е г໠— и», е а) б(х,у,г, $, г), Ь)= 4пг 4пгт г, = )г(х — С)з+(у — т))»+(а+Ь)з. Решением первой краевой задачи будет: и (х У, г)= — — — ~ ) ((й+ — / — Г(в, Ф])г(вот), 2.~3~ й/ й б у»(х — $)з+(у — т))'+гз; е а» е б (х, у.
г. в ГЬ ь) = 4 + 4 20* В13 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Решением второй краевой задачи будет: 1 ''е и (к, р, а) = ~ ~ 6 )~ ) ($, г)) г(~ дг)= — ~ '~ — 1[5, т)) г5 дг(. У на з а н ие. Лля построения функпии источника 6 использовать метод зеркальных изображений. 37. а) 6 (Д(, Р)- — - (Н„г (йг) — Н)а (а т)), 6(д(, Р)= — — (Н(и (аг)+Им(йг )), 4 где Д(-)И(к, р), Р=ра. Ц), =Ф'( — )дт+(р — т))а, г =~ ( — Иг+(у+т))'. У к аз а н ие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
