Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 94
Текст из файла (страница 94)
В цилиндрической системе координат (а, ф, р) а) длв поля электрического типа (Н =0) дг(/ Ег дгт дг(/ Ер — — —, дрда' !й дН Нр — — — —, дф ' (4) — ей д(/' Ер р дч дтН' Нр дрдг ' 7(к В сферической системе координат имеем: а) аля поля электрического типа (Н =0) ! дтН г дгдб ' — !й дУ На = —. таш Е дф ' ! даН +Фа(/, Е .= — =, р дфда' д(/ Н = — Й— др б) для поля магнитного типа (Еа — — О) имеем: Е' О, а Е' =!Д вЂ”, ИГ в д.
г Н . ) йг(/ Н' а даа ' ' р гарда 1 дти Еч = —. г мп е дг дгр (!) гй дО Не=в г дЕ тп. кплвннния эллиптичнского типа причем и и и' удовлетворяют уравнеишо ди !д/ди! !ди — + — -- ! р — ) + — — + «си=о, дзз р др ~ др! рз дфз (6) илн Л!/+Ж/=О, и = п, и' = и'. з' зт Отсюда сразу видно, что В сферическом случае и~п, » и чьп;. У к а з а н и е. Для доказательства основного утверждения задачи надо подставить выразкения для составляющих полей через и (или и') в уравнения Максвелла, расписанные в ортогональной криволинейной системе координат (см. задачу 66), и потребовать их выполнения; нз етого требования следует уравнение лля (/ (илн и'). /Ри ! ди !и!з ! ди' 71. Ез=«зи+ —,, Ез= — — + — —.—— дх', ' Ьз дх,дхз с Ьз дхз ' 1 дзи кзр ! ди' Ез=-- Ьз дх,дхз с Ьз дхз ' ди !«~! ди ! ди Н, «зи+ —,, Н.= — — --- — + — —, дх', ' юр Ьз дхв Ьз д.тздхз ' зс«з 1 ди 1 Фи' Н,= — — — + — —, ыр Ьз дхз Ьз дх,дх„' где и и и' †решен уравнения дзи ! Гд Ьз ди д Ьз ди! + Г + 1+«зи 0 дхз /,Ьз Гдх, Ь, дх, дх, Ь, дхз! врш' чпор сз сз йиз-!- «зиз — — О, пз — (з=1, 2).
з из г У к а з а н и е. Па границе сред 1 и 2 тангенциальные составлязошие вектора напряженности электрического поля и вектора напряженности магнитного поля, в данном случае Ев, Ещ, Нв, Нч„должны быть непрерывны, Указание. См. задачу 70. 72. На границе раздела двух сред прн г=а должны выполняться условия «з «9 «! «з — з и, = — ' из, — ' и,' = — из, ГИ Рз Рз Рз диз диз д(/; диз дг дг ' дг дг ' где значок 1 нлн 2 означает номер срелы (1 при г ~ а, 2 при г ~ а), «з н «з определяются по формуле / з азизы . Епоз!ззте сз Функции и и из удовлетворяют уравнению згт(/з ! д / ди~ ! 1 дзи — + —.— - ~з)па — ~~+ —.— — +«зиз=О, з=1, 2, д 'шзде~.
дз/ И З дчд так что ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ Н РЕШЕНИЯ 73. Ук аз анке. Воспользоваться аехторной формулой гйч !аЬ[=(Ь го1 и) — (а го( Ь) и формулой Остроградского. 74. Решение. В формуле '1 [ и' го1 го( (У вЂ” (У го! го1 иг] г(т= ~ ( (У го! иг! — [иг го( (У] ) и г(о гхаг полагаем: ИУ а), где <р — а — произвольный постоянный вектор. ВычиВ слепня дают: го! )У=[йгзб~р, а], го( го( Иг=аМФ+йгаб (а йтаб~р), (У го1 го1 Иг= а [Ьгф(У вЂ” йгай <р б!У (У]+ МУ [(о йгаб <р) (У], [)У го((У]п=[го1 (У, и] Иг [(Уго( Иг] и [(У] йтаб <р, а]] (Аа) (йгаб ~р, и) — (Айгзб ф) (ап). В силу формулы Остроградского ~ гйч [(айгаб ~р) (У] г(т ~ ((Уп)(йгад фа) бг.
х Под знаком поверхностного интеграла в формуле (1) стоит выражение Уга, где Е (У(агад ир, и) — (6 йгаб гр) и — [го1 (У, и] гр+((Уп) йгаб гр= ((Уп)агабф+[йгабф[(Уи]]+[и го1 (У] р. (3) Ппаынтетральное выражение. стоящее в левой части, имеет вид Фа, где Ф =(го( ггй (у — Ьэ(у) ~р+ гтаб ~р гйч (у. Вектор а является, таким обрамж, общим множителем для всех членге формулы (!), и так как он произволен, то на него можно сократить; в результате мы получаем формулу (4) если точка Ме не принадлежит области Т.
Если же точка Ма находится внутри Т, то мы опишем нокруг этой точки небольшую п)еру Хе радиусом в и применим формулу (4) к области Т вЂ” Те, ограниченной поверхностями Е н Ха. Опеннм величину Р на Еа. Заметим, что У! 1 ! йтаб~Р (х —— !1 — — УЬ ! ~Р !х пмч — и, <Р [и ~ —. е ! г У1 е з' ' з г Поэтому Р~и —— ~-- — !Ь [ф(е) [((Уп) и+[и [(Уп]Ц вЂ” [го1 (Уи] ф(в)~ .— У1 (У и, следовательно, !пн ] Рйг=4п(У(Ма). е зх е ЧГЬ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Поскольку 1пп ) Ф от=О, то мы получаем в пределе е ет 1 Г 0(М )= — Фо(т — — ([ Ео(о 4л ) или 1 Г (г'(Мо) = — ~ «(го( гог (г — АоЕУ) ф+йгад ф ойч Ю) о(т -ю') т — — ~ «((Гп) йтад ф+ [[и(Г) агао) ф]+[л го( О) ф) о(ои.
(б) ! 4л, 76. 1 Г Жд= — '— — — «(йод [лН] ф+ [[лЕ) йгаб ф] -]-(лЕ) йгаб ф] йт, 1 Г 4л й) Н(Мо)= — - () йгаб ф] Ео+ — «)йое . лЕ] — ЦлН] йгаб ф] — (иН) йгаг) ф) г)о. 1 Г 1 с ) 4л ~ е'аг ю .г — ю р= —, й=--т'е)г, й,= —. г ' с с где Указан н е. В обшей формуле (5) в ответе 74 положить охлвететаенно Н=Е н (Г=Н. Во втором случае справа появляется слагаемое ) ]л)]фйг, Е которое следует преобразовать к объемному интегралу с помощью формулы )г [и)] ф йт = )г « — (/ йгаб ф] +ф го( 1) йг (1) Е т Для ее доказательства надо умножить обе части на произвольный вектор а н попользовать соотношения [л)] аф= и [гл] ф. Йч [)а ф] = а ф го( / — (/ го( аф) = а (ф го1 у — [( йгад ф] ), так что )г а [и/1 фон= )г б)ч(/, аф] г)т=а ~ (фго1/ — [)йгадф]) г(с.
т г Отсюда в силу произвольности а н следует (1). 2. Распространение электромагнитных волн и яолебаиия в резонаторах 76. Направим ось а пнлиндрнческой системы координат р, ф, а вдоль оси пилиндра. Пусть а, Р, о — оарзметры окружающей среды. Существуют волны вида Е Ее — ьхз+гоие — р(о) (И~О) Н=Нео + о РШ) (])) О), 640 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ т. е. волны затухакоцне. Здесь приняты обозначения причем Ай сй Ео = —, Нов= — — Еор р' юр рю Вй Еое= Нор. Нор= —, Ас ' р' где А н  — постоянные множители, ермо 4 па)но Ао= — — 1, й = — а — 1(). со со со Если в=1, р=!, а=б (вакуум), та й= — Ао — волны вдоль такога провода с распрастран шатоя со скоростью светы Е=Еерем — а»~, Е Ай» о ° ар= Р Вйо Но = р Р Н=Н»л~нм "»', Еое=!"вр 77.
Репрев не. Пусть е». р», а,— характеристики провода, в», ро, нов карактеристики окружающей среды. Выберем цилиндрическую систему координат (р, 42, х), направив ось а вдоль асн цилиндра и поместив начало координат иа асн цилиндра. 2 Обозначая П =и, П» о и предполагая, что зависимость и и о от а дается множителем ерт-, т. е. и=и»о'т', о=ооерт» и т. д., получаем после сокращения на этот множитель о о ру дио (о42 доо о дио (ыр доо Е»=Р»ио. Еор= -- — — — —, Ер=(у — +— рд(р с др' др ср др' о о !А»с дио 17 доо о (й»с ! дио дпо Н", р»„о, Н'„',— + ... Н,",— +17 тор др Р дор' ир Р дру др' где Р' й' — уо, А'= — — 1, функции оро22 .
4нарго со с" но=а(2(Р, Ч! н по= 0») (Р, 2Р), где и и () — постоянные, »р(р, ор) — решение уравнения 1 д! д2)1 1 д»2) — — ~р — 1+ .; —, + 221=0. р др( др/ ро д2ро Отсюда находим частные решения вида ( Хо(РР1е'ов ант»Ри цилнндРа, (Н„" 0»Р)еоое вне цилиндра. р'е»р»ио+ 1бноаороюо+ арюо и= 2со Ео — — (Ео„, Ео, О), Р' е»рооп+ )бп»пор»о!2 — врио 2со 2 Но=(Н»р Ное О) ОГГ, УРАВНЕНИЯ ВЛЛИПТИЧРСКОГО ТИПА ПодставлЯЯ выРаженне дла зул в фоРмУлы (1) и (2), полУчаем. внутри цилиндра Ео а роу (р р аглч Но и р»у (» р) оглв Ео ~ — — а )л (ргр)+ ар~щ 6 Х„'(р,р)1ег~е, ул (й",срг ар~ Ео =( з"~ й Х (р р)+ гур а о' (р р)~оглв ср йоса '=~ — а'( р)+ ~'(р+™т соргр вне цилиндра Е",=а,р„н„(р~) сг Н;=й,р";Н„г~(р р)агле, Ее ( ~ (хн (рхр)+(ур а Н (розг)е е йосп Нов=~ — сс Н~~' (рЯ+(ур бзН'„~г (р р)~ сын, 1-!а границе при р=а должны быть непрерывно тангенциальные составляющие Е н Н.
Это дает четыре однородных уравнения с четырьмя неизвестными аг, ао, йг и ро. Приравнивая определитель системы нулю, получаем дисперснонное уравнение относительно у где з=р,а, Ч=рзо, а в радиус цилиндра. Зто уравнение имеет бесчисленное множество корней у„ (см [Зо), стр. 460) для основной волны л=й днсперснопное уравнение распадается на двз уравнения: ЧНоо (т)) (;рг Соо (С) Н(о(Ч) й)р о М) ЧНО' (Ч) рт (о(о(ь) (6) Н',о(Ч) Н ог(с) Первое из ннх определяет допустимые волны магнитного типа, в второе— волны электрического типа.
78. Пусть 2 — поверхность трубы, 3 — ее перпендикулярное сечение. С— граница 3. Направим ось з параллельно образующей трубы. Зависимость от времени е-гмг. ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РРШИНИЯ Любое поле внутри аолновода можно представить в виде суммы полей электрического типа (11»=О) и магнитного типа (Е»=О), каждое иэ которых определяется г-компонентой соответствующего вектора Герца (см. задачу 69) Если О»=0, то, полагая П» = П, получаем задачу для скалярной функции АП+я»П О внутри 2 ~й= — 1, от' П О наХ Если Е» = О, то П' = П' и АП'+й»П' О внутри Х, дП' — =0 на 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
